[音樂] [音樂]
[音樂] 各位同學大家好
歡迎收看機器人學（一）的線上課程，我是林沛群 那今天我們就要開始正式的課程內容
那各位同學知道說我們這門課，主要是要跟各位同學講解機械手臂的一些運動，以及它的- 一些操作
那在正式進到機械手臂的內容之前，我們要先 幫各位同學補足一些相關所需的一些數學細節
那基本上就是想教各位同學，我們要怎麼去描述一個剛體的運動
因為我們在後續操作機械手臂的時候，都是把機械手臂當成一個剛體的運動來 做後續的分析。
那我們現在就開始來看這個的內容
我們先從最簡單的開始，我們要怎麼去描述一個剛體的運動 那麼先從平面開始，就像各位同學在
PPT 上面看到的，我們假設我們的剛體 就是圖中所畫的這個綠色的橢圓，那假設這個橢圓的
質心位置我畫在中間，就是一個黑白這個混合的這個圖形。
那我們今天在平面上面我們可以定義一個 所謂的世界座標，就是在 PPT 上左側的這個世界座標。
那因為是平面的所以它只有 XY 兩個軸 那麼要怎麼去描述這個平面上的運動呢？
各位同學看說，我們可以知道說在平面上面 簡單地來說一個平面運動總共有三個，我們稱之為自由度
就等於說我們需要三個參數來描述它的運動 那從圖中可以看出來說，這三個自由度裏面有兩個是移動的
所以圖中可以看到說我今天的這個橢圓可以水平的移動 沿著
X 軸，或者上下移動沿著 Y 軸，所以等於說 我們需要兩個參數來描述這個剛體的移動狀態
所以等於說我們就說平面上它有兩個自由度 那今天這個橢圓也可以在這個平面上面做一個旋轉，對不對？它可以順時針轉或者是逆時針轉
所以我們知道說平面上它需要有一個自由度來描述這個剛體的運動
所以總結來說，我們在平面上我們總共需要三個自由度來 描述這個剛體，或者說我們需要三個參數才夠
那麼現在就再進一步，假設我們是一個空間中的剛體
那這裡同學也可以看到說，我在這個左邊的座標繫上就加上了一個 Z
軸 就等於說我們今天這個座標是在空間中的，所以空間中是三個維度。
那這裡 我們可以知道說今天空間中變成三個維度之後，假設從移動來看
它這個中間的這個質心就可以左右、 上下跟前後動，就加上了 剛 Z 軸，一個新的軸線的方向。
所以等於說移動有三個自由度
那轉動部份，我們今天這個剛體等於說我們如果從這個軸的方向來想，它也可以分別對著 X
軸、 Y 軸跟 Z 軸做轉動。
所以今天到了空間之後，轉動是從 平面的一個自由度直接跳到三個自由度。
所以我們說今天如果在一個空間中的剛體 原則上我們需要六個參數來描述它的運動，三個是移動的三個是轉動的
好，那今天總共六個參數之後
我們有沒有一個簡單的方法，可以把移動跟轉動混在一起來表達 就等於說我們以後在列式子的時候，不用說針對移動的部份
寫一個式子，針對轉動的部份寫一個式子，而有一個一統的表達法 來讓我們同時能夠涵蓋移動跟轉動兩個部份。
那基本上我們的做法就是說我們直接 在這個剛體上面建立一個座標系。
就像這個 PPT 上面 show 的，我今天在這個綠色的剛體上面 畫上一個橘色的座標系統。
那因為這個座標系統是建在剛體上面，它會動，所以我們一般都叫它叫做 body
frame 那一般在以前，或者說一般通用的方式上面，我們會
把這個 frame 建立在這個剛體的一個定點上面，那如果 像圖中一樣這樣簡單的一個剛體，我們就會定在它的質心上面
所以各位同學可以看到說，我今天把這個 frame 畫在這個黑白相間的這個質心上面
那今天把這個座標建上來之後 我們要怎麼利用這個座標的資訊來代表剛體的運動呢？方式就是像這樣子
我們在移動的部份，我們知道說今天這個座標會跟著剛體在動 就等於說剛體動到哪裡，座標就動到哪裡。
所以我們可以直接 說，我們今天借由判定座標的原點位置 就可以知道剛體的移動狀態。
這是直接可以看得出來，因為它們兩個是一直重合的 那至於轉動的部份，我們也知道說今天剛體上面牽著這三個座標軸
所以只要這三個座標軸在空間中轉來轉去
那我們借由看這三個座標軸相對於世界座標的姿態，我們就可以知道剛體在
世界座標下面的姿態是什麽，所以等於說我們借由一個 frame 的設定 同時利用
frame 的原點，以及 frame 上面三軸的一個姿態就可以 來描述一個剛體在空間中移動跟轉動兩個部份的狀態
那剛剛講的是，比較像是一個瞬間或是幾何上面的狀態
那我們知道說我們這門課其實要描述的是一個運動，那我們要怎麼去講說這個東西的的運動呢
那其實是很簡單，就說我們現在已經知道說剛剛我們 隨著不同的時間點，或許剛體的質心會在不同的位置上面
那我們如果把這個軌跡記錄下來，就像是我這裡圖中所畫的紅色的，就等於說這是一個
這個綠色剛體質心運動的軌跡，那我們只要把這個一路上的軌跡的
位置都記錄下來，我們借由這個軌跡 對時間的微分，事實上就可以得到剛體質心速度的狀態
那再經過再一次的微分，就可以得到這個剛體質心加速度的狀態。
那在轉動的 方面也是類似的道理。
就等於說我們今天知道了這個姿態之後 我們借由微分跟二次微分就可以知道整個剛體的 角速度跟角加速度。
所以等於說我們其實只要先確實的掌握住剛體
本身幾何的狀態，包含三個自由度的移動跟三個自由度的轉動，借由這六個狀態的
微分我們就可以知道整個剛體的運動狀態
林沛群 (Pei-Chun Lin)教授
