好，我們接下來呢要進入 第一講電的第五節，那麼這一節裡面我們要介紹在 處理電場跟電荷關係裡面非常重要一個定律叫做高斯定律。 我們前面呢已經提過在電荷之間的交互作用呢可以產生電力，然後電力呢又可以用電場 來描述，那麼到底為什麼需要高斯定律呢？因為我們之前提到的電荷跟電荷之間的交互作用 都像是兩個點電荷之間的力的大小，但是對於一個 電荷分佈來說它不見得要是一個點，對一個連續表面或是一根很長的線 或是一個很大的平面，這樣子的電荷的分佈呢它會造成什麼樣的電場 要怎麼樣從前面學的庫侖定律來求出來呢？ 所以這個時候呢我們就需要引進所謂的高斯定律，它告訴我們呢怎麼樣來求這些不同形狀 的電場的分佈，還有電場的強度，那麼在這一節裡面我們要先介紹所謂的電場通量的概念 然後透過高斯定律的介紹呢跟各位稍微說明一下怎麼 來求電場分佈跟電場強度，然後最後呢再一次地因為電 跟重力有一個非常像的數學關係，所以呢可以用在電的高斯定律可不可以用在重力 的分析上面呢？那麼高斯定律的發現呢基本上可以從電場最根本的數學定義 就可以得到，我們來簡單地玩一下電廠的數學定義。 已經知道一個點電荷它的電場大小呢像右邊這個方程式所寫的，它跟電荷 量成正比，跟距離平方成反比，那麼根據這個定義呢，在距離這個點電荷 半徑為 r 的球面上，整個球面上的電場大小應該都一樣。 而這個球面的面積大小也很容易知道，它就是 4πr 平方。 所以這時候我們就可以發現一件事情，如果把這個電場跟這個面積 兩個乘在一起的話，會變成 4πkq 這時候這一個乘起來的量跟距離就沒有關係了， 就好像變成一個只跟裡面電荷量有關的數值。 那麼這個數值什麼意思呢？這個數值在高斯 來定義他就把這個電場乘上面積這樣的一個數值呢定義為電場通量。 他的想像呢就像是這個電場呢有很多電力線往外， 那麼這些電力線往外呢通過一個封閉的面積 的這個總量呢就叫做電場通量，我們把它叫做 Ф。 對於一個封閉曲面上來說呢，我們從剛剛這個 E 乘上 A 的 看得出來，這個 Ф 的大小呢只跟曲面裡面的電荷量 q 有關係。 那麼我們也簡單介紹一下高斯，他是德國的一位非常著名的數學家， 有數學王子之稱。 他在 1835 年提出所謂的高斯定律， 那我想稍微再提醒各位一下，這個距離 庫侖發現電荷跟電荷的交互作用已經至少過了五十年以上了。 而事實上根據歷史顯示呢，高斯定律在 1860 年才正式被發佈出來， 所以你可以理解我們現在在普通物理學教科書上面很多放在一起 學的東西在歷史上面事實上前後出現的次序是相差非常非常遠的。 不過高斯呢他除了在電磁學 上提出高斯定律之外呢，他也在數學上有非常非常多的貢獻。 譬如說我們耳熟能詳的在統計上有个叫做高斯分佈，也是同一位數學家提出來的。 另外呢在光學上面呢有一個分析的方法稱為高斯光學也是同一位 數學家提出來的一種分析的方式，所以呢他在不只是數學，也在物理學上呢做了非常非常多- 的貢獻。 好，我們來聊一下對於電場通量這個值的定義到底是什麼意思。 首先呢，通量這個概念呢事實上可以從流體力學 這個方面比較容易地想像，它就像是一個流 通過一個截面積，單位時間通過多少體積的流，這個稱之為流體力學裡面的通量。 那麼在電場通量裡面呢，我們可以把這個通量想像成通過某一個截面 的電力線的數目，所以呢這個如同剛剛所說的電場通量的定義呢 在數學上呢是電場的大小跟截面積大小的乘積。 但是再一次的呢電場是一個向量，而電場通量呢則是一個純量。 所以呢在向量變成純量這個過程中間發生的事情呢是這個面積事實上也是一個向量。 那麼這個面積這個向量怎麼定義呢？這個面積向量的定義呢是 一般來說它是垂直平面的向量，如果是個封閉平面的話呢這個 垂直平面的向量就是向外為正，所以這個電場那我們來看一下 一個封閉平面的電場通量。 所以我們可以把這個封閉平面上面想成很多很多個小面積， 那麼這個每一個小面積上面呢都會有一個相對應的 穿過去的電場的量，還有呢這個小面積自己的 面積向量，那麼把很多小面積上面呢通過的電場的量還有每一個小面積自己的 面積向量呢內積全部加起來的結果呢就是總電場通量。 那麼用 Σ 的情況之下呢是我們把它切成很多獨立的小面積來看， 如果我們把它用連續的概念來想呢，把整個面積一起考慮的話呢，這個 Σ 呢就會變成一個積分。 不過整體來說呢概念是完全一模一樣的，就是在一個封閉面裡面的電場通量呢基本上是電場 對於每一個區域面積向量的內積整個的和 稱之為電場通量。 所以我們可以把高斯定律呢寫成像這樣這個完整的形式， 也就是說呢左邊的電場通量呢我們可以寫成 電場跟面積的積分，一個環積分，這個圈圈的環積分的意思呢就是對整個封閉面 積分起來的意思。 那麼右邊呢就像剛剛說的，這兩個乘起來呢只會跟裡面 的電荷量的大小有關，就等於 4πk 乘上 q，其中 4πk 都是一個常數。 那麼這個高斯定律呢完全可以把它想成跟是水流 流過一個面積很像，是什麼意思呢？你可以這樣想，在這裡面呢 q 這個電荷量就像是總水流的量一樣， 電場呢則是水流的速度， 那麼面積呢就像是如果在一個截面積上開洞，這個水就會從這個洞裡面噴出來。 所以呢水流的速度乘上 每一個小洞的面積，全部加起來結果呢 就會是單位時間全部流過去的水的總量，也就是相當於這個 q 的大小， 這個就是高斯定律跟流體力學上面一個類比的概念。 那麼我們來應用高斯定律來看一下對於不同結構的電場我們如何可以求得出來。 所以我們在這邊呢先用一個平行板的範例來談這個問題，所以呢在這裡的例子呢是兩片 平行的導電板，上面呢我們假設它們已經帶了相同大小的 電量，但是呢電性不同，左邊是正的，右邊是負的。 那麼因為呢這個是一個導電板，所以呢電荷會往中央聚集， 這個也可以想像，所以我們來畫幾個封閉的高斯面來看一下整個電場的分佈會是怎麼樣。 首先呢我們畫一個如圖中所示的這個高斯面， 那麼這一個平面裡面，就我現在雖然是一個二維的圖形，但是請各位把它想像成一個三維的 封閉的高斯面，在隨熒幕進去的這個方向呢它也是一個平面。 那麼在這整個立體的一個高斯面裡面呢， 我們會看到，我現在包的範圍呢，是把正電荷跟負電荷一起包在裡面。 所以呢在這裡面的總電荷量應該是 0，因此 高斯定律告訴我們呢，如果我對於這個封閉面的每一個面 的電場跟這個面的面積相乘的結果全部加起來它應該會是 0. 那麼這個意思呢是我們知道呢在這個面裡面呢，它 所謂的電場積分的意思呢是對穿過這個每一個面的電場 跟面積積分起來，那麼在這裡呢因為它的電荷主要分佈在左邊跟右邊，所以你可以想像電場應- 該是左右 這樣子分佈的，可是呢整個積分起來是 0 的結果呢表示呢根本就 沒有電場從裡面往外流出去，所以把這個封閉面的積分，積分起來的結果可以告訴我們呢 這一個平行板的分佈呢，它的電場呢在平行板外是不會產生，它只會是往內 產生電場。 那麼另外呢我們再畫一個比較小的封閉面來求這個向內的電場的大小。 那麼這個比較小的封閉面呢我們就沒有把兩邊一起包起來，所以我們只包了一半， 那麼只包了一半的結果呢，我們可以看得出來在這個比較小的封閉面上呢 我們如果把它六面全部都對電場相乘的話，就像左邊這個積分這是對整個封閉面 相乘的結果。 那麼它的大小呢最後呢會是 在中間全部的這個電場 E 乘上呢右邊的 這一面的截面積，因為這個 E 呢是在兩面平行板中間 的方向，所以呢往上這邊並沒有電場，往下這邊也沒有電場，最後乘起來結果呢只有往右邊 這一個電場乘上這個截面積的大小，就是這個 E 乘上這個 A 的大小。 那麼另外呢在這個封閉面裡面框了多少的電荷呢？ 框了多少電荷呢跟這個平行導電板上面電荷密度有關，所以這個地方電荷密度呢我們定義成 σ 那麼這一個小的封閉截面積呢它包的面積的範圍呢是 A 所以呢在這個小面積上面的包到的電荷的量呢 q 呢就是 σ 乘上 A。 所以呢把這兩個整合起來看呢我們可以得到這樣的概念是 在這樣兩個平行的導電板的中間 所帶的電場的大小呢，把上面兩個式子整合起來你可以得到它是 4πk 乘上 σ 這個式子只跟平行板上面的電荷密度有關 而跟距離沒有關係。 所以呢它顯示出來的事情是 在這個裡面的電場呢似乎是一個均勻的分佈，我們怎麼證明這件事情呢？ 我們把這兩個平行板中間呢畫另外一個封閉面，這個封閉面呢 沒有包到左右兩邊的電荷，完全位在中間的這個空洞裡面 那麼因為它中間完全沒有包到任何 電荷呢，高斯定律告訴我們，這個封閉面整個積分起來 的結果應該是 0。 但是我們 從剛剛的推論裡面又知道說這個封閉面呢必然左邊有電場進來 右邊也會有電場出去。 可是整個積分的結果是 0 這個結果告訴我們呢這個左邊的進來的電場乘上這個截面積跟 右邊出去這個電場乘上截面積的結果呢告訴我們在中心的電場應該是均勻的 不會隨著位置來變動。 那麼這樣的一個平行 導電板構成的元件呢稱之為電容，我們在下一節呢會再跟各位討論這個電容 的詳細的分析。 那麼另外一個 我們應用高斯定律來求電場的大小呢我們用一個球形分佈的電荷來看 那我們假設呢在這個球形物體上面呢它帶著均勻分佈的正電荷，就是這個物體呢並不是導體 所以呢它裡面也可以帶電。 那麼這個均勻分佈的正電荷呢我們假設它的體積密度呢是 ρ 然後這一個球本身的半徑呢是 R 所以呢我們現在來看兩個封閉面。 我們先畫一個比較大的封閉面 比較大的封閉面的半徑是小 r 那麼呢我們從高斯定律可以告訴我們呢，在這整個 封閉面裡面電場跟面積的積分的結果是裡面總共包的電荷的 量。 那麼裡面總共包的電荷的量 的大小呢基本上是這裡面整個球的體積 乘上它的體積密度。 所以裡面全部包的電荷量的大小呢 是這個 4/3 π 大 R 三次方乘上 ρ。 那麼左邊這個積分呢 告訴我們的事情是這個電場乘上這個面積 的大小。 因為呢我們從之前的討論呢可以知道說這個電場 距離中心如果距離一樣的話呢它的電場大小應該是一樣，因為這是個球形對稱的分佈 所以呢這一個積分呢可以簡化成一個電場乘上 球的截面積 4πr 平方這樣的大小 那我們把這兩個整合起來看呢就可以得到在比 這個球還要大的區域上面的每一個點的位置的 電場的大小呢基本上是 kq 除以 r 平方 這個式子呢非常眼熟，它基本上跟庫侖定律告訴我們的事情是一樣的東西 也就是說你完全可以從高斯定律推論出原來我們所比較熟悉的庫侖定律 但是呢高斯定律可以告訴我們更多的資訊，所以 譬如說呢我們現在再畫另外一個比較小的封閉面 因為呢這個電荷呢是在這整個球上面都有分佈的，所以如果 在球裡面到底會不會有電場呢？ 我們來畫一個比較小的球，這個比較小的球的半徑能我們仍然叫做小 r 然後電荷的分佈的半徑叫做大 R。 所以我們再做一次這個高斯定律 那麼跟剛剛很像的事情是呢，電場乘上面積的這個積分呢 可以用 4πr 平方乘上電場來 代表。 但是這時候裡面所含有的電荷量呢就會隨著半徑而改變 所以呢這時候裡面所含的電荷量的 比例呢就會跟小 r 的三次方有關。 所以這個時候呢 我們再把整個式子再集中起來再看一次的結果呢我們會得到 在球裡面的電場會跟 小 r，也就是離球心的半徑的距離成正比 所以整個合起來看呢，對於這樣一個在球裡面均勻分佈的正電荷 來說，它在球內跟球外 造成的電場的大小，在球裡面呢是隨著半徑 正比地增加；而在球外面呢，則是隨著半徑不斷的增加呢它會有一個平方反比的下降 這個呢是我們應用高斯定律呢可以求得出來，這樣子分佈的電荷呢會造成怎麼樣的電場的分佈 所以呢在最後我們留下一個概念呢來讓各位 稍微想一下。 所以呢在這個地方呢有左右兩個 導電板，但是這時候這兩個導電板都帶正電 然後呢在這兩個導電板的中間呢我們均勻劃分五個區域 所以我們寫 5 個 d 在這個地方。 那麼這五個區域呢我們在其中 一個位置呢插入一個正電荷，所以請問，整體來看的話 1,2,3,4 這四個點，哪一個點的電場會是最大的？ 在剛剛談到的電場跟電荷之間的關係呢我們理解它是從電力 跟截面之間的關係推導出來的。 那麼在重力裡面呢事實上也有跟截面積之間有非常密切的關係 早在牛頓的時代呢他就已經證明了球殼定理，也就是說呢如果有一個薄薄層的 質量分佈呢，球形的質量分佈，在球形的裡面 是不會受到任何重力的影響的。 那麼這個呢在電力的系統也完全成立，也可以從高斯定律來證明 那像這樣的關係呢，在分析牛頓力學的時候呢事實上 Lagrange 在 18 世紀的末期呢他在分析牛頓力學的時候呢也有推論出來 類似高斯定理的關係，也就是關於重力 隨平方反比，然後通過的截面積相乘是一個常數的這樣一個情況 不過呢那時候 Lagrange 的工作呢他主要是在發展數學上呢可以把一個 三維的積分變成一個二維的積分這樣的方式，而不是著眼在力場 通量這樣的概念。 所以一般來說我們講到所謂的這個通量的概念 來解釋電場跟電荷之間的關係的時候呢還是會把它稱之為高斯定律而不是 Lagrange 定律 [聲音]
