Замена координат в многократных интегралах. Матрица Якоби

Loading...

Do curso por National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

6 ratings

National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

6 ratings

Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

Na lição

Интегрирование в криволинейных координатах

Выражения, в которых интегрирование выполняется более чем по одной переменной, повсеместно встречаются в прикладных задачах. Такие многократные интегралы зачастую удобно вычислять в криволинейных координатах, которые отражают симметрию рассматриваемой системы или наложенных на нее граничных условий. В этом разделе Вы научитесь производить переход к криволинейным координатам под знаком интеграла. Вы узнаете, что такое метрический тензор, и поймете, как это понятие помогает находить площади и объемы фигур в произвольных системах координат. В частности, мы подробно обсудим тороидальные и сферически координаты. Большой упор в этом модуле делается на задачи для самостоятельного решения.

Замена системы координат на плоскости13:02

Замена координат в многократных интегралах. Матрица Якоби8:19

Метрический тензор12:20

Сферические координаты10:56

Элементы площади и объема13:16

Метрический тензор в тороидальных координатах6:24

Conheça os instrutores

Фоминов Яков Викторович
Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Фейгельман Михаил Викторович
Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Колоколов Игорь Валентинович
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Бурмистров Игорь Сергеевич
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Скворцов Михаил Андреевич
Профессор
Сколковский институт науки и технологий

[МУЗЫКА] Итак,

мы ввели новые координаты

на нашей плоскости y1 y2.

И у нас сейчас цель — переписать наш интеграл

через эти самые новые координаты, чтобы он имел

вид некая функция умножить на dy1 dy2 и, значит, интеграл по нашей области.

Как это сделать?

Сначала мы вспоминаем то,

что новые координаты означают такую кривую координатную сетку.

По-прежнему эта координатная сетка в бесконечно малом представляет

собой разбиение на маленькие параллелограммы.

И, значит,

наш интеграл — это площадь параллелограмма умножить на значение функции внутри.

Как получить бесконечного малого параллелограмма, теперь посчитать.

Очень просто.

Да, и что это за параллелограммы?

Эти параллелограммы устроены так.

Сначала мы изменяем только координацию y1 на величину,

на бесконечно малые вращения dy1.

При этом мы получаем вектор.

Значит, тут была точка с координатами y1 и y2.

Прибавили к y1 бесконечно малое значение,

точка сместилась, мы получили некий вектор.

Вот давайте так я его, вот это самый вектор мы получили, здесь он нарисован.

Что это за вектор?

Его компоненты просто посчитать.

Первая компонента — это изменение координаты x1, это будет dx1,

частная производная по y1 на dy1.

Вторая компонента — это будет частная производная dy2,

то есть изменение второй компоненты по dy1 dy1.

dy1 я просто вынесу на улицу.

То общий множитель в этом векторе это dx1

dy1 dx2 по dy1 умножить на dy1.

Теперь изменим координату

только y2, а y1 оставим на месте.

Снова у нас была точка с координатами y1 y2.

К y2 прибавили dy2 — и точка сместилась.

На какой вектор она сместилась?

Точно так же координата x1 изменилась за счёт изменения своего y2.

Координата x2 изменилась за счёт изменения того же y2, вот это второй вектор.

И это вот и есть, эти два вектора и

образуют наш бесконечно малый параллелограмм.

Площадь его как будет выглядеть?

Что будет такое площадь его?

Давайте я так вот его нарисую dy1 dy2.

Чему равняется его площадь?

Равенство здесь означает равенство площади.

det, детерминант, построенный из этих двух

векторов: вот этого и вот этого.

[СКРИП] dx1

по dy1 dx2 по

dy1 dx1 по

dy2 dx2 по dy2.

У каждого вектора был множитель, здесь — dy1, здесь — dy2, они выносятся на улицу.

Детерминант, мы знаем, что из n векторов это

состоит из произведений компонент всех этих n векторов,

поэтому в общем множитель будет dy1 на dy2.

Вот так вот устроен пересчёт элемента

площади в старых координатах к новым координатам.

То есть это будет детерминант матрицы,

построенный из частных производных с заменой координат

на приведение дифференциалов новых координат.

Эта матрица называется матрице Якоби, якобиевской матрицей.

И я сейчас напишу её, давайте,

в случае произвольного числа измерений у нас

были вектора x, как я их там l писал, l.

Значит, были координаты xl, они были функциями от y1 yn.

l тоже пробегал от единицы до n.

Так вот матрица Якоби, давайте, я её со шляпкой пишу, так когда-то Дирак

придумал матрицы обозначать буквами со шляпкой в физике.

И это принято.

Эта, значит, якобиевская матрица утроена

так: dx l-тое по

dy j-тое.

Вот так и вот так вот.

l пробегает от единицы до n и образует строчки,

j пробегает от единицы до n, образуя столбцы.

l нумерует, точнее, элемент в строке, j нумерует, соответственно,

элемент в столбце.

Вот такая вот матрица.

Замена координат, таким образом,

давайте я вот здесь посередине напишу,

выделю в рамку нашу окончательную формулу.

Интеграл f от x dx1 dxl,

я уже сразу пишу в иноверном случае, равняется интеграл f от x,

x имеется ввиду уже выраженный через новые координаты,

детерминант якобиевской матрицы

умножить на dy1 dyn.

Детерминант якобиевской матрицы, вот этот вот детерминант J,

иногда обозначается следующим образом, то есть обычно отображается.

Детерминат J обозначается просто за букву J или называется якобиантом в честь

математика Якоби, по-моему, восемнадцатого или начала девятнадцатого века.

Это, значит, наши общие формулы.

Сейчас как бы самое время перейти к частным примерам,

но прежде, чем переходить к частным примерам, я хочу рассмотреть

ещё один очень важный объект дифференциальной геометрии.

То, чем мы сейчас с вами занимаемся — это элементы дифференциальной геометрии,

а именно метрический тензор.

И, в конце концов, мы через этот метрический тензор будем всё и выражать,

поскольку он имеет вполне самостоятельную ценность.

Значит, теперь перейдём к следующему разделу, что такое метрический

тензор и как его вычислять, и как он связан с заменой переменных в интеграле.

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА]

Explore nosso catálogo

Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.

O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.

© 2018 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.

Baixar na App Store

Baixar no Google Play