[МУЗЫКА] Вариационный
подход оказывается наиболее полезен в полевых задач,
и больше всего он там и применяется в теоретической физике,
и как в точных, так и в численных вычислениях.
Что такое полевые задачи?
Мы рассмотрим сейчас простейший класс полевых задач,
а именно хорошо знакомые нам задачи электростатики.
Электростатика — это что такое?
Это решение уравнения Пуассона, лапласиан φ,
φ — потенциал, равняется −4πρ,
где ρ — это заряды, закрепленные в пространстве.
Напоминаю, лапласиан что такое.
Это в трех измерениях, давайте пусть будет в трех измерениях,
это ∂² / ∂(x1)², двойка обычно
здесь пишется, но ладно,
∂² / ∂(x2)² плюс ∂² / ∂(x3)².
То есть сумма вторых производных по координатам.
Вот такое вот уравнение Пуассона.
Оно решается обычно с граничными условиями, естественно.
Граничные условия, если заряды закреплены и больше ничего нет — это просто,
скажем, ноль на бесконечности, но наиболее интересный и наиболее применяемый случай,
когда у нас есть проводники, на которых какие-то заряды разбросаны.
На этих проводниках, как вы знаете,
потенциал вдоль поверхности проводника постоянный.
И могут быть заряды, которые, грубо говоря, прибиты гвоздями в пространстве.
Это вот правая часть ρ.
На проводниках задается значение потенциала, и, скажем,
значение потенциала ноль на бесконечности.
Это будет полная постановка задачи.
С формальной точки зрения это означает следующее,
что у нас есть какие-то поверхности в пространстве,
на которых задано значение, здесь φ1 — это константа,
φ2, константа, φ3, константа, и на далекой бесконечности ноль.
И вот с такими вот условиями решается уравнение Пуассона.
Когда мы решим уравнение Пуассона,
мы найдем значение потенциала во всем пространстве.
И только после этого мы можем найти значения зарядов на проводниках
и распределение зарядов на проводниках,
поскольку условие постоянства потенциала, вообще говоря, означает,
что заряд на нем распределен совсем не обязательно равномерно.
Но если...
Мы не будем рассматривать пока сложные случаи,
но ясно, что в общем случае это будет именно так.
Да, и в пространстве есть еще такие вот забитые гвоздями заряды.
Давайте не будем точечно рассматривать
такие распределенные заряды, которые каким-то образом закреплены.
Это вот полная постановка задачи.
Это задача на определение
потенциала эквивалентна нахождению экстремума,
в этом случае — просто минимума, функционала энергии.
Сейчас мы его и напишем, он выглядит таким вот образом.
[ЗВУК] Интеграл
по всему пространству вне
проводников 1 / 8π,
градиент φ в квадрате
минус φρ.
Как убедиться в этой эквивалентности?
Итак, у нас есть пространство с вырезанными
поверхностями, вырезанными областями,
на границах которых потенциал фиксирован.
Мы ищем минимум
этого выражения, этого функционала.
Это значит то, что мы подставляем, φ равняется φ*,
это то самое экстремальное значение, плюс δφ.
И первая вариация по этому δφ энергии должна обратиться в ноль.
Эта вариация вычисляется просто.
То есть подставляем, будет значение энергии на φ* плюс первая вариация δE,
которая имеет вид: ∫d³r *
* (1 / 4π), градиент,
1 / 8 превратилась в 1 / 4, потому что здесь квадрат.
Варьируется каждый член в этом...
Квадрат — это произведение двух одинаковых членов, каждый из них варьируется,
и отсюда двоечка возникает.
Градиент φ* на градиент δφ минус,
заряды закреплены, поэтому здесь стоит δφρ.
Дальше мы что делаем?
Мы градиент...
Да, и условие того, что заряды, не заряды,
потенциалы на проводниках наших фиксированы, означает то,
что δφ вариация на этих поверхностях равна нулю,
поскольку граничное условие берет на себя φ*.
Поэтому при интегрировании
по внешности этих областей мы перебрасываем
градиент с δφ на градиент φ*.
Это по формуле Гаусса-Остроградского,
Ньютона-Лейбница и так далее, это я уже не буду лишний раз пояснять.
Перебрасываем градиент вот сюда, внеинтегральные члены обращаются в ноль,
это тоже важно отметить, что именно для такой
постановки вариационный метод работает в чистом виде.
И получаем, давайте это перебросим.
Равно, значит, равно,
равно здесь продолжаем, равно здесь,
−∫d³r * * δφ,
здесь у нас образуется градиент градиента φ,
это и есть ((1 / 4π)Δφ + + ρ),
и условие равенства нулю этой вариации, так и напишу,
0 =, эквивалентно уравнению Пуассона, как легко убедиться.
Теперь какую пользу
от такой вариационной формулировки для электростатики мы можем получить?
Первая польза — это даже не использование приближенных методов,
а удобство замены переменных.
Здесь я буду обращаться
к лекции про криволинейные координаты,
и мы увидим, как сейчас получим выражение для лапласиана,
которое имеет такой простой вид в декартовых координатах,
в произвольных криволинейных координатах.
Непосредственно, это может быть, конечно, непосредственно пересчетом из вот
этого выражения со вторыми производными,
но несравненно проще это сделать с помощью вот такой вариационной формулировки.
Интеграл есть интеграл независимо от того,
какие переменные мы используем.
Так, значит, давайте я снова, отделили,
мы получили уравнение Лапласа, снова я еще раз перепишу выражение для энергии.
Итак, вот это вот интеграл энергии, он у нас не зависит от того,
в каких мы его считаем координатах.
И если он минимален,
то он минимален опять-таки независимо от того,
какую координатную сетку мы используем.
Теперь перейдем от наших
переменных xj к каким-то переменным y.
То есть выполним замену
переменных в этом интеграле.
Вспоминаем, мера,
которая была, я так написал d³r,
то же самое, что dx1, dx2, dx3, это будет d³y,
новая координата, * √g.
Где √g — это корень и детерминанта метрического тензора
в координатах переменных y.
Раз. Здесь стоит что-то, здесь стоит что-то.
Второе место, где нужно провести замену переменных, — это квадрат градиента.
Мы его распишем так.
Квадрат градиента — это d / dx φj,
d / dx φj.
По j суммированию.
Равно.
Перейдем при вычислении этих производных, считая,
что новым аргументом уже стал у нас y,
то есть мы запараметризовали наше пространство координатами y,
дифференцирование по x, дифференцирование по y.
Да, у нас возникнут вот такие вот коэффициенты пересчета.
dya / dxj, dyb / dxj, по j суммирование,
а здесь стоит da, где da подразумевается, что...
Давайте внизу напишу вот красным цветом, чтоб просто это не вызывало недоразумений.
da тождественно будет d / dya.
Видите, для исков я завел вот букву j,
а a и b использую для y.
Итак, daφ dbφ.
И возник вот такой вот
объект с индексами a и b.
Давайте я его тоже обведу.
Что это за объект, как он связан с метрическим тензором?
Вспоминаем, что такое метрический тензор.
Напоминание из предыдущей лекции.
Как мы вычисляем метрический тензор,
когда переходим от декартовых координат к каким-то произвольным?
Мы пишем квадрат расстояния в виде dxjdxj
= dxj переписывается
в dxj / dya dxj /
djb, а здесь будет dyadyb.
То есть наш метрический тензор, давайте это отделю,
наш метрический тензор таким образом,
просто напоминание,
gab = dxj / dya * dxj / dyb.
Это, конечно, не то же самое, что и тут.
Легко понять, что здесь возникла матрица с индексами a и b,
которая просто строго обратная матрица к метрическому тензору.
В этом легко убедиться,
вспоминая правило частного дифференцирования.
Я прошу убедиться в этом вас самих, это не бог весть как сложно.
Просто нужно вот эту штуку помножить на эту штуку.
Скажем, здесь индекс ab, а здесь будет индекс bc.
И свернуть по b.
Вспоминая свойства частных производных,
мы убедимся, что эта матрица ровно обратная к этой.
Таким образом, выражения для функционала энергии в произвольных
координатах y криволинейных можно переписать следующим образом.
∫d3y√g (1 / 8π,
которая никуда не делась,
gab в −1
daφ dbφ − ρφ).
Это как есть, так и есть.
g в −1 с индексами a и b — это матрица,
обратная нашему метрическому тензору.
Можно назвать, как обратный метрический тензор.
Используя вот это вот симпатичное выражение,
мы сейчас выпишем выражение для лапласиана в
произвольной криволинейной системе координат.
Ну и выпишем частные случаи.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]
Фоминов Яков ВикторовичДоцент
Фейгельман Михаил ВикторовичГлавный научный сотрудник
Колоколов Игорь ВалентиновичПрофессор
Бурмистров Игорь СергеевичПрофессор
Скворцов Михаил АндреевичПрофессор
