Добрый день! Сегодня я хочу дать понятие о вариационных методах. Прежде чем говорить о вариационных методах, я хочу рассказать или напомнить, что такое функционалы. Начнем, вообще, вспомним, что такое функция, определение функции, ну такое рабочее определение функция - это сопоставление числу-числа. Например, "x" в квадрате, числу "х", сопоставляем его квадрат. Что такое функционал? Функционал - это функция на пространстве функций. Она функции сопоставляет с числом. Но общее определение и где там, в каком пространстве что живет, я давать не буду, поскольку у нас курс скорее прагматический, обойдусь примерами. Простейший функционал, это вот что такое. Функционал обозначается обычного вот там, какой-то буквой "Ф", квадратная скобочка от "f". "f" - это аргумент, это функция. Функционал аргумент - другая функция. Это, например, ∫ от "а" до "b", "f" от "(x)dx". Функции "f" от "х" на интервале, заданный на интервале от, "а" до "b", сопоставляя число, которое интеграл. Другой функционал, давайте "Ф1", "Ф2", от "f". Это интеграл от квадратов функций. Это линейный функционал. То есть, значение на линейной комбинации функций будет, линейной комбинацией значений. Это уже не линейный функционал и немножко более сложный, и уже существенно более интересный функционал, такой. Пока я говорю только функции заданные на функции 1 аргумента, и заданные на каком-то ограниченном интервале. Давайте сейчас я специфицирую "а" и "b", то есть пусть у меня ∫ от 0 до 1. А здесь будет квадрат производной ∫ от квадрата производной, по интервалу от 0 до 1. Вот такой вот функционал. То есть, чтобы вычислить его значение, должно взять функцию, продифференцировать, результат дифференцирования возвести в квадрат и вычислить такой ∫. И получив некое число, которое будет значение функционала на этой функции, вот. Значит, у функционалов, так же как и у функций бывает максимумы, бывает минимумы на этом функциональном пространстве. Так вот, вариационные исчисления - это она как раз и занимается нахождением экстремумов функционалов и разными свойствами этих экстремумов. Ну вот, что имеется в виду? Вообще вот, как бы, рассмотрим вот наш функционал "Ф3", вот он функционал "Ф3", давайте я его пока подчеркну красным цветом. Да и будем смотреть минимум этого функционала. Но в отличие от функции, минимум, вообще как бы, вопрос не очень правильно поставленный. Потому что, ну здесь очень просто, "f" равно 0 - это будет наименьшее значение. Когда мы говорим о минимуме функционала, в котором вовлечены производная, при вычислении этого функционала вовлекаются производные функции, обязательно нужно задавать граничные значения. Конкретно для этого функционала осмысленна такая постановка. Например, будем искать минимальное значение этого функционала и функцию, на которой достигается это минимальное значение, при следующих граничных условиях. "f" от 0, например, равно 0, а "f" от 1, например, равно 1. Ну понятно, что так же осмысленно "f" от 0 равно 5, а "f" от 1 равняется там, минус 100. Можно ставить какие угодно здесь граничные условия. Давайте поставим такие! Как устроена функция, удовлетворяющая таким условиям? Ну функция гладкая, давайте будем ограничиваться разумными, хорошими функциями. Я к этому вопросу немножко позже вернусь, сейчас пока говорю только про функцию, в которой существуют все производные. Итак, имеется такое условие, и как устроена функция, на которой функционал "Ф3" достигает своего минимума. Как вообще найти ее? Точно так же, как мы ищем максимум обычной функции. Как мы ищем максимум обычной функции? Это экстремум или максимум, или минимум, или любой экстремум обычной функции. Это экстремум, с некоторыми оговорками, это точка, в которой производная функция равна 0. Здесь то же самое, вариационная производная функции, должна вращаться в 0. Так вот, что такое вариационное производное? Я не буду вдаваться в какие-то общие конструкции, просто покажу, как она естественным образом возникает, именно при решении задачи о поиске экстремума. Итак, пусть наша функция экстремальная "f" со звездочкой от "х". Рассмотрим малую вариацию! То есть, рассмотрим значение нашего функционала вблизи этой, пока неизвестной экстремальной функции. То есть, напишем "f" от "х" равняется звездочка от "х" плюс "δf" от "х". "f" звездочка от "х" по построению удовлетворяет вашим граничным условиям, от 0 равна 0, "f" звездочка от 1, равна 1, а вариация не должна нарушать этих граничных условий, поэтому функция "f" от "x", лежащая в некотором смысле вблизи нашей экстремальной, за будущее записана в таком виде, подразумевает, что "δf" обращается в 0 на границах интервала, "δf" от 0 равняется "δf" от 1, равно 0. Подставим такое разбиение в наш функционал. Смотрим, что получится! "Ф3" равняется, ∫ от 0 до 1, "f" со звездочкой штрих в квадрате от "(x)dx", плюс первый порядок разложения по "δf", это будет 2, "f" со звездочкой штрих от "х", "δf" штрих от "(x)dx", плюс 2 порядок. Так вот, наш функционал экстремален на "f" со звездочкой, если его первая вариация вот, равняется 0. Первая вариация - это первый порядок разложения по малому отклонению функций от экстремального значения. Это очевидное обобщение обычного представления об экстремуме, максимуме или минимуме. В нашем случае, естественно говорить о минимуме, но это мы еще тоже ниже проверим. Поэтому, второй порядок не интересен, а условия экстремальности значит - обращение в 0, в 0. Вот это вот первая вариация. Эта штука должна равняться 0. Значит ∫ от 0 до 1, "f" штрих от "х" со звездочкой на "δf" штрих, то есть производная "dx", с одной, он должен равняться 0, с другой стороны, давайте получившийся интеграл преобразуем, интегрируя по частям (то есть, производную перебросим с "δf" на "f" со звездочкой). При перебрасывании производной внеинтегральные члены, обратятся в 0, в силу граничного условия на "δf". Это важное место, это очень существенно вот, то есть что граничные условия должны быть учтены при всех этих вариациях вот и именно, что граничных членов не возникает. Если б они возникали, их тоже нужно было бы включать в игру. Здесь их не возникает, поэтому это равняется минус ∫ от 0 до 1, "δf" от "х", "f", 2 штриха со звездочкой от "(x)dx". Это значит вот оно равно 0. Этот ∫ равен 0. Этот ∫ равен 0 при любой вариации "δf". Ну, мы опять говорим все время про такие гладкие функции, никакой патологии не рассматриваем. Но, что значит при любой вариации? Например, "δf" может иметь такой вид. Давайте здесь ее нарисуем! График от 0 до 1, "δf" от "х", она вот здесь 0, 0, здесь она поднимается гладенько, потом обращается и имеет очень маленькую ширину вблизи какой-нибудь точки "х0", произвольной точки "х0". Чтобы для такой произвольной "δf", где бы она ни была локализована, этот ∫ обращался в 0, необходимо, чтобы "f ", 2 штриха обращалось в 0. Итак, условия экстремальности нашего функционала на функции "f" со звездочкой от "x", эквивалентно, вот такому вот дифференциальному уравнению. Решение этого уравнения с данными граничными условиями мы легко найдем. Это уравнение 2 порядка, 2 производная равна 0, значит "f" со звездочкой от "х" - это просто линейная функция. Коэффициенты в этой линейной функции фиксируются граничными условиями. Поэтому, единственное возможное решение имеет следующий вид. "f" со звездочкой от "x" равно "х". Этот простой пример показывает, что для определенных функционалов в условиях экстремальности эквивалентно-дифференциального уравнения. Именно это свойство, в первую очередь, это свойство не только это, но в первую очередь, это свойство используется в том, что вот я назвал вариационные методы, там, в физике или в теории решений дифференциальных уравнений. Именно, часто оказывается, что мы не можем решить дифференциальное уравнение точно, а желаем знать какие-то его общие свойства. Так вот, если нам удается, это дифференциальное уравнение переписать в виде условий экстремальности некоего функционала, то тогда мы можем исходя из этого условия экстремальности, искать приближенное решение. Приближенное, пусть даже не по какому-то малому параметру, хотя бы качественно отражающее свойства точного решения или, что может еще дать такой вариационный подход, что мы нашу функцию можем как-то аппроксимировать набором ломаных. То есть, функция - это как бы некая кривая, то есть задается бесконечным числом значений в бесконечном числе точек. Мы можем ее аппроксимировать набором ломаных. Набор ломаных означает то, что мы создаем конечным числом значений, в конечном числе точек. Функционал тогда становится просто функцией большого числа переменных, но экстремум этого функционала уже может быть найден численными методами, довольно эффективными.
