это будет 2, "f" со звездочкой штрих от "х",
"δf" штрих от "(x)dx", плюс 2 порядок.
Так вот, наш функционал экстремален на "f" со звездочкой,
если его первая вариация вот, равняется 0.
Первая вариация - это
первый порядок разложения по малому отклонению функций от экстремального значения.
Это очевидное обобщение обычного представления об экстремуме, максимуме или минимуме.
В нашем случае, естественно говорить о минимуме,
но это мы еще тоже ниже проверим.
Поэтому, второй порядок не интересен,
а условия экстремальности значит - обращение в 0, в 0.
Вот это вот первая вариация.
Эта штука должна равняться 0.
Значит ∫ от 0 до 1,
"f" штрих от "х" со звездочкой на "δf" штрих,
то есть производная "dx", с одной,
он должен равняться 0, с другой стороны,
давайте получившийся интеграл преобразуем,
интегрируя по частям (то есть,
производную перебросим с "δf" на "f" со звездочкой).
При перебрасывании производной внеинтегральные члены,
обратятся в 0, в силу граничного условия на "δf".
Это важное место, это очень существенно вот,
то есть что граничные условия
должны быть учтены при всех этих вариациях вот и именно,
что граничных членов не возникает.
Если б они возникали,
их тоже нужно было бы включать в игру.
Здесь их не возникает,
поэтому это равняется минус ∫ от 0 до 1,
"δf" от "х", "f",
2 штриха со звездочкой от "(x)dx".
Это значит вот оно равно 0.
Этот ∫ равен 0.
Этот ∫ равен 0 при любой вариации "δf".
Ну, мы опять говорим все время про такие гладкие функции,
никакой патологии не рассматриваем.
Но, что значит при любой вариации?
Например, "δf" может иметь такой вид.
Давайте здесь ее нарисуем!
График от 0 до 1,
"δf" от "х", она вот здесь 0, 0,
здесь она поднимается гладенько,
потом обращается и имеет очень маленькую ширину
вблизи какой-нибудь точки "х0", произвольной точки "х0".
Чтобы для такой произвольной "δf",
где бы она ни была локализована,
этот ∫ обращался в 0,
необходимо, чтобы "f ",
2 штриха обращалось в 0.
Итак, условия экстремальности нашего функционала на функции "f" со звездочкой от "x",
эквивалентно, вот такому вот дифференциальному уравнению.
Решение этого уравнения с данными граничными условиями мы легко найдем.
Это уравнение 2 порядка,
2 производная равна 0,
значит "f" со звездочкой от "х" - это просто линейная функция.
Коэффициенты в этой линейной функции фиксируются граничными условиями.
Поэтому, единственное возможное решение имеет следующий вид.