Пробные функции в электростатике

Loading...

Do curso por National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

6 ratings

National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

6 ratings

Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

Na lição

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений вариационным методом

Во многих случаях, задача о решении дифференциального уравнения - даже довольно сложного - может быть эквивалентно представлена в виде вариационной задачи о нахождении экстремума некоторого функционала. Такое представление часто оказывается очень плодотворным, ведь находить минимум или максимум функционала можно приближенно - на классе правильным образом выбранных пробных функций. Полученное решение, не являясь параметрически точным, дает качественное представление о характере решения исходного дифференциального уравнения. В этом модуле, Вы научитесь реализовывать описанную схему на практике. В качестве примеров, мы рассмотрим принцип наименьшего действия в классической механике, а также поговорим о вариационных решениях электростатических задач. Завершится модуль тестом, в котором Вам будут предложены четыре упражнения на вариационные методы, мотивированные различными физическими задачами.

Вариации функционалов13:44

Принцип наименьшего действия11:56

Пробные функции12:15

Вариационная формулировка электростатики15:43

Использование вариационной формулировки для замены переменных в дифференциальных операторах. Лапласиан в сферических координатах16:58

Пробные функции в электростатике12:59

Conheça os instrutores

Фоминов Яков Викторович
Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Фейгельман Михаил Викторович
Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Колоколов Игорь Валентинович
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Бурмистров Игорь Сергеевич
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Скворцов Михаил Андреевич
Профессор
Сколковский институт науки и технологий

[МУЗЫКА] Давайте применим

вот это вот наше знание к какому-нибудь простейшему

конкретному случаю, просто посмотреть, как это все может работать.

Не лапласиан, который мы написали — это отдельное занятие,

заниматься, а именно вот авиационный принцип.

Итак, рассмотрим задачу.

У нас имеется сферический проводник, на котором есть потенциал φ0.

на нем есть заряд, который мы вычислим по этому потенциалу φ0 потом.

И найти других зарядов нету.

У нас, таким образом,

имеется сфера некоего радиуса R0,

на ней потенциал φ0.

И еще одно граничное условие нужно: 0 на бесконечности.

Задача сферически симметричная,

поэтому естественно думать то,

что распределение потенциалов в пространстве тоже будет

сферически симметричным и зависеть только от радиуса R.

Никакой зависимости от углов не будет.

Тогда выражение для функционала энергии упрощается.

Значит, E наш равно, значит,

пишем: примерно y — это у нас φ θ и R.

∫ по углу dφ — от φ ничего не зависит — даст 2π.

От радиуса, интеграл по радиусу у нас идет по внешности,

то есть от R0 до ∞, dr,

давайте dθ sinθ —

можно сразу посчитать, но так не буду.

Теперь никаких зарядов у нас закрепленных от этого члена нету.

Все они тривиальные, сидит только в условии то, что φ0 отлично от 0.

[ШУМ] r²

— я уже забыл написать — это, значит, наш √g.

Здесь 1 / 8π.

Поскольку φ зависит только от радиуса,

то производная по углам = 0.

Будет dr, dr, g в −1-й, 1.

То есть (dr φ)² — вот такое вот выражение.

Равно — по углу давайте θ сразу проинтегрируем,

dθ — это косинус θ − cosθ.

θ меняется от 0 до π,

то есть −cos меняется от −1 до 1,

и поэтому интеграл будет по dθ двойка.

То есть будет 4π, 1 / 8π, значит 1 / 2.

Это уже не так принципиально,

тем не менее: ∫ от R0 до ∞ dr

r²(drφ)², (drφ)².

Теперь с этими граничными условиям найдем минимум.

Не будем решать дифференциальное уравнение, а минимум будем искать на

классе степенных функций, как мы с вами делали в самом начале лекций.

То есть возьмем пробную функцию φ(r) в виде φ0.

На бесконечности — 0, при R = R0 — φ0, то есть коэффициент должен быть 1,

и поэтому степенная функция так выглядит: R0 / R в какой-то степени α.

R0 сюда поставлено, чтобы при R =

R0 была 1, α — положительно, потому что при r на бесконечности,

при r маленьком на бесконечности мы должны получить 0.

Вот, собственно, и все.

Давайте напишем: drφ = [ШУМ]

αφ0

R0 в

степени α, R в степени α + 1.

Энергия E

= φ0²,

естественно, / 2.

Теперь давайте уже писать все,

как есть, без изысков.

R0 в степени 2α

α² ∫ от R0 до ∞.

Теперь это, значит, возводим в квадрат,

будет r в степени 2α + 2, 2r² убирает 2,

и у нас будет dr 1 / r в степени 2α.

Если α > 0 и этот интеграл сходится,

предположим, это какие-то ограничения на α — α,

скажем, не может быть < 1 / 2, ≤ 1 / 2,

иначе она разойдется.

Предположим, что это так.

Этот интеграл у нас будет тогда

будет равен φ0²

/ 2 R0 в степени 2α,

α² / 2α − 1.

Правильно, да?

Потому что интегрирование, это табличный интеграл.

И R0 — значение этой функции r в степени

2α − 1 в знаменателе на нижнем пределе,

то есть R0 в степени −2α + 1.

Вот это вот у нас,

зависимость от α в этом

месте сокращается, слава Богу.

То есть степень — мы будем искать экстремум по α,

степень не будет зависеть от R0, она будет в этом смысле универсальна.

И ответ

выглядит следующим образом: φ0²

R0 / 2 и

значимая часть: α² / 2α − 1.

Подобную, значит, функцию мы с вами

уже дифференцировали в

самом начале лекции по α, искали ее экстремум,

и он оказался — вот это вот [НЕРАЗБОРЧИВО]

функции, достигается при α* = 1.

Таким образом, потенциал,

который мы получили, имеет вид: φ(r)

= φ0 R0 / r.

Поле при r > R0 — это как поле точного заряда.

Мы задавали не заряд, мы задавали потенциал на сфере.

Мы теперь можем найти заряд, соответствующий этому потенциалу.

Как? На бесконечности.

Любое распределение зарядов — смотрите,

это физическое соображение, но оно же точное соображение.

Какое бы ни было распределение зарядов, если оно имеет

ограниченный размер,

и мы уходим на бесконечность, то есть на очень большие расстояния,

асимптотический потенциал должен равняться Q / r,

где Q — это полный заряд нашей системы.

Поэтому заряд, соответствующий

потенциалу φ0 в нашей задаче,

имеет простой вид: Q = φ0 × R.

Вообще говоря, заряд может быть равным 0,

тем не менее это означает то, что ведущая асимптотика поведения

[НЕРАЗБОРЧИВО] пропадает.

Тогда асимптотикой будут

быстрее убывающие степени R.

Они будут соответствовать дипольному моменту систему,

квадропольному моменту и так далее.

Но в нашем случае как бы все просто — мы нашли распределение зарядов.

Это есть точное решение задачи, потому что мы и так знаем из элементарной

[НЕРАЗБОРЧИВО], что поле сферы,

равномерно заряженной,

когда сфера ровно одна, она будет только равномерно заряжена.

Оно вне сферы выглядит как поле точного заряда.

И является степенной функцией,

и наша постановка степенная должна была дать точное выражение.

Но, вообще говоря, вот этот вот вариационный подход можно использовать

и для более сложных конфигураций: не одна сфера, а две сферы, эллипсоид.

Так мы будем получать, значит, какие-то приближенные выражения,

которые качественно соответствуют настоящему распределению поля.

Я этого делать не буду,

потому что там вычисления получаются каждый раз достаточно громоздкие,

хотя и очень простые, в отличие от решения уравнений Лапласа,

которое как бы в каком-то смысле совершенно неочевидно,

может быть, заметно более сложно.

Но это была просто демонстрация метода.

В качестве упражнения могу предложить

написать выражение для функционала энергии во

всей его красе в цилиндрической системе координат — это проще будет.

Метрический тензор мы знаем.

Лапласиан в цилиндрической системе координат — и посмотреть,

что будет для такой задачи,

если у меня имеется постоянный потенциал

не на сфере, а на цилиндре радиуса R0.

Это не так просто, как может показаться.

Здесь нужна некоторая идея, но ее можно найти в книжках или уже в каком-то смысле,

зная ответ, увидеть, как к нему можно подойти, исходя из вариационного подхода.

На этом месте я заканчиваю.

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА]

Explore nosso catálogo

Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.

O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.

© 2018 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.

Baixar na App Store

Baixar no Google Play