[МУЗЫКА] Давайте применим вот это вот наше знание к какому-нибудь простейшему конкретному случаю, просто посмотреть, как это все может работать. Не лапласиан, который мы написали — это отдельное занятие, заниматься, а именно вот авиационный принцип. Итак, рассмотрим задачу. У нас имеется сферический проводник, на котором есть потенциал φ0. на нем есть заряд, который мы вычислим по этому потенциалу φ0 потом. И найти других зарядов нету. У нас, таким образом, имеется сфера некоего радиуса R0, на ней потенциал φ0. И еще одно граничное условие нужно: 0 на бесконечности. Задача сферически симметричная, поэтому естественно думать то, что распределение потенциалов в пространстве тоже будет сферически симметричным и зависеть только от радиуса R. Никакой зависимости от углов не будет. Тогда выражение для функционала энергии упрощается. Значит, E наш равно, значит, пишем: примерно y — это у нас φ θ и R. ∫ по углу dφ — от φ ничего не зависит — даст 2π. От радиуса, интеграл по радиусу у нас идет по внешности, то есть от R0 до ∞, dr, давайте dθ sinθ — можно сразу посчитать, но так не буду. Теперь никаких зарядов у нас закрепленных от этого члена нету. Все они тривиальные, сидит только в условии то, что φ0 отлично от 0. [ШУМ] r² — я уже забыл написать — это, значит, наш √g. Здесь 1 / 8π. Поскольку φ зависит только от радиуса, то производная по углам = 0. Будет dr, dr, g в −1-й, 1. То есть (dr φ)² — вот такое вот выражение. Равно — по углу давайте θ сразу проинтегрируем, dθ — это косинус θ − cosθ. θ меняется от 0 до π, то есть −cos меняется от −1 до 1, и поэтому интеграл будет по dθ двойка. То есть будет 4π, 1 / 8π, значит 1 / 2. Это уже не так принципиально, тем не менее: ∫ от R0 до ∞ dr r²(drφ)², (drφ)². Теперь с этими граничными условиям найдем минимум. Не будем решать дифференциальное уравнение, а минимум будем искать на классе степенных функций, как мы с вами делали в самом начале лекций. То есть возьмем пробную функцию φ(r) в виде φ0. На бесконечности — 0, при R = R0 — φ0, то есть коэффициент должен быть 1, и поэтому степенная функция так выглядит: R0 / R в какой-то степени α. R0 сюда поставлено, чтобы при R = R0 была 1, α — положительно, потому что при r на бесконечности, при r маленьком на бесконечности мы должны получить 0. Вот, собственно, и все. Давайте напишем: drφ = [ШУМ] αφ0 R0 в степени α, R в степени α + 1. Энергия E = φ0², естественно, / 2. Теперь давайте уже писать все, как есть, без изысков. R0 в степени 2α α² ∫ от R0 до ∞. Теперь это, значит, возводим в квадрат, будет r в степени 2α + 2, 2r² убирает 2, и у нас будет dr 1 / r в степени 2α. Если α > 0 и этот интеграл сходится, предположим, это какие-то ограничения на α — α, скажем, не может быть < 1 / 2, ≤ 1 / 2, иначе она разойдется. Предположим, что это так. Этот интеграл у нас будет тогда будет равен φ0² / 2 R0 в степени 2α, α² / 2α − 1. Правильно, да? Потому что интегрирование, это табличный интеграл. И R0 — значение этой функции r в степени 2α − 1 в знаменателе на нижнем пределе, то есть R0 в степени −2α + 1. Вот это вот у нас, зависимость от α в этом месте сокращается, слава Богу. То есть степень — мы будем искать экстремум по α, степень не будет зависеть от R0, она будет в этом смысле универсальна. И ответ выглядит следующим образом: φ0² R0 / 2 и значимая часть: α² / 2α − 1. Подобную, значит, функцию мы с вами уже дифференцировали в самом начале лекции по α, искали ее экстремум, и он оказался — вот это вот [НЕРАЗБОРЧИВО] функции, достигается при α* = 1. Таким образом, потенциал, который мы получили, имеет вид: φ(r) = φ0 R0 / r. Поле при r > R0 — это как поле точного заряда. Мы задавали не заряд, мы задавали потенциал на сфере. Мы теперь можем найти заряд, соответствующий этому потенциалу. Как? На бесконечности. Любое распределение зарядов — смотрите, это физическое соображение, но оно же точное соображение. Какое бы ни было распределение зарядов, если оно имеет ограниченный размер, и мы уходим на бесконечность, то есть на очень большие расстояния, асимптотический потенциал должен равняться Q / r, где Q — это полный заряд нашей системы. Поэтому заряд, соответствующий потенциалу φ0 в нашей задаче, имеет простой вид: Q = φ0 × R. Вообще говоря, заряд может быть равным 0, тем не менее это означает то, что ведущая асимптотика поведения [НЕРАЗБОРЧИВО] пропадает. Тогда асимптотикой будут быстрее убывающие степени R. Они будут соответствовать дипольному моменту систему, квадропольному моменту и так далее. Но в нашем случае как бы все просто — мы нашли распределение зарядов. Это есть точное решение задачи, потому что мы и так знаем из элементарной [НЕРАЗБОРЧИВО], что поле сферы, равномерно заряженной, когда сфера ровно одна, она будет только равномерно заряжена. Оно вне сферы выглядит как поле точного заряда. И является степенной функцией, и наша постановка степенная должна была дать точное выражение. Но, вообще говоря, вот этот вот вариационный подход можно использовать и для более сложных конфигураций: не одна сфера, а две сферы, эллипсоид. Так мы будем получать, значит, какие-то приближенные выражения, которые качественно соответствуют настоящему распределению поля. Я этого делать не буду, потому что там вычисления получаются каждый раз достаточно громоздкие, хотя и очень простые, в отличие от решения уравнений Лапласа, которое как бы в каком-то смысле совершенно неочевидно, может быть, заметно более сложно. Но это была просто демонстрация метода. В качестве упражнения могу предложить написать выражение для функционала энергии во всей его красе в цилиндрической системе координат — это проще будет. Метрический тензор мы знаем. Лапласиан в цилиндрической системе координат — и посмотреть, что будет для такой задачи, если у меня имеется постоянный потенциал не на сфере, а на цилиндре радиуса R0. Это не так просто, как может показаться. Здесь нужна некоторая идея, но ее можно найти в книжках или уже в каком-то смысле, зная ответ, увидеть, как к нему можно подойти, исходя из вариационного подхода. На этом месте я заканчиваю. [МУЗЫКА] [МУЗЫКА]
