[МУЗЫКА] Давайте применим
вот это вот наше знание к какому-нибудь простейшему
конкретному случаю, просто посмотреть, как это все может работать.
Не лапласиан, который мы написали — это отдельное занятие,
заниматься, а именно вот авиационный принцип.
Итак, рассмотрим задачу.
У нас имеется сферический проводник, на котором есть потенциал φ0.
на нем есть заряд, который мы вычислим по этому потенциалу φ0 потом.
И найти других зарядов нету.
У нас, таким образом,
имеется сфера некоего радиуса R0,
на ней потенциал φ0.
И еще одно граничное условие нужно: 0 на бесконечности.
Задача сферически симметричная,
поэтому естественно думать то,
что распределение потенциалов в пространстве тоже будет
сферически симметричным и зависеть только от радиуса R.
Никакой зависимости от углов не будет.
Тогда выражение для функционала энергии упрощается.
Значит, E наш равно, значит,
пишем: примерно y — это у нас φ θ и R.
∫ по углу dφ — от φ ничего не зависит — даст 2π.
От радиуса, интеграл по радиусу у нас идет по внешности,
то есть от R0 до ∞, dr,
давайте dθ sinθ —
можно сразу посчитать, но так не буду.
Теперь никаких зарядов у нас закрепленных от этого члена нету.
Все они тривиальные, сидит только в условии то, что φ0 отлично от 0.
[ШУМ] r²
— я уже забыл написать — это, значит, наш √g.
Здесь 1 / 8π.
Поскольку φ зависит только от радиуса,
то производная по углам = 0.
Будет dr, dr, g в −1-й, 1.
То есть (dr φ)² — вот такое вот выражение.
Равно — по углу давайте θ сразу проинтегрируем,
dθ — это косинус θ − cosθ.
θ меняется от 0 до π,
то есть −cos меняется от −1 до 1,
и поэтому интеграл будет по dθ двойка.
То есть будет 4π, 1 / 8π, значит 1 / 2.
Это уже не так принципиально,
тем не менее: ∫ от R0 до ∞ dr
r²(drφ)², (drφ)².
Теперь с этими граничными условиям найдем минимум.
Не будем решать дифференциальное уравнение, а минимум будем искать на
классе степенных функций, как мы с вами делали в самом начале лекций.
То есть возьмем пробную функцию φ(r) в виде φ0.
На бесконечности — 0, при R = R0 — φ0, то есть коэффициент должен быть 1,
и поэтому степенная функция так выглядит: R0 / R в какой-то степени α.
R0 сюда поставлено, чтобы при R =
R0 была 1, α — положительно, потому что при r на бесконечности,
при r маленьком на бесконечности мы должны получить 0.
Вот, собственно, и все.
Давайте напишем: drφ = [ШУМ]
αφ0
R0 в
степени α, R в степени α + 1.
Энергия E
= φ0²,
естественно, / 2.
Теперь давайте уже писать все,
как есть, без изысков.
R0 в степени 2α
α² ∫ от R0 до ∞.
Теперь это, значит, возводим в квадрат,
будет r в степени 2α + 2, 2r² убирает 2,
и у нас будет dr 1 / r в степени 2α.
Если α > 0 и этот интеграл сходится,
предположим, это какие-то ограничения на α — α,
скажем, не может быть < 1 / 2, ≤ 1 / 2,
иначе она разойдется.
Предположим, что это так.
Этот интеграл у нас будет тогда
будет равен φ0²
/ 2 R0 в степени 2α,
α² / 2α − 1.
Правильно, да?
Потому что интегрирование, это табличный интеграл.
И R0 — значение этой функции r в степени
2α − 1 в знаменателе на нижнем пределе,
то есть R0 в степени −2α + 1.
Вот это вот у нас,
зависимость от α в этом
месте сокращается, слава Богу.
То есть степень — мы будем искать экстремум по α,
степень не будет зависеть от R0, она будет в этом смысле универсальна.
И ответ
выглядит следующим образом: φ0²
R0 / 2 и
значимая часть: α² / 2α − 1.
Подобную, значит, функцию мы с вами
уже дифференцировали в
самом начале лекции по α, искали ее экстремум,
и он оказался — вот это вот [НЕРАЗБОРЧИВО]
функции, достигается при α* = 1.
Таким образом, потенциал,
который мы получили, имеет вид: φ(r)
= φ0 R0 / r.
Поле при r > R0 — это как поле точного заряда.
Мы задавали не заряд, мы задавали потенциал на сфере.
Мы теперь можем найти заряд, соответствующий этому потенциалу.
Как? На бесконечности.
Любое распределение зарядов — смотрите,
это физическое соображение, но оно же точное соображение.
Какое бы ни было распределение зарядов, если оно имеет
ограниченный размер,
и мы уходим на бесконечность, то есть на очень большие расстояния,
асимптотический потенциал должен равняться Q / r,
где Q — это полный заряд нашей системы.
Поэтому заряд, соответствующий
потенциалу φ0 в нашей задаче,
имеет простой вид: Q = φ0 × R.
Вообще говоря, заряд может быть равным 0,
тем не менее это означает то, что ведущая асимптотика поведения
[НЕРАЗБОРЧИВО] пропадает.
Тогда асимптотикой будут
быстрее убывающие степени R.
Они будут соответствовать дипольному моменту систему,
квадропольному моменту и так далее.
Но в нашем случае как бы все просто — мы нашли распределение зарядов.
Это есть точное решение задачи, потому что мы и так знаем из элементарной
[НЕРАЗБОРЧИВО], что поле сферы,
равномерно заряженной,
когда сфера ровно одна, она будет только равномерно заряжена.
Оно вне сферы выглядит как поле точного заряда.
И является степенной функцией,
и наша постановка степенная должна была дать точное выражение.
Но, вообще говоря, вот этот вот вариационный подход можно использовать
и для более сложных конфигураций: не одна сфера, а две сферы, эллипсоид.
Так мы будем получать, значит, какие-то приближенные выражения,
которые качественно соответствуют настоящему распределению поля.
Я этого делать не буду,
потому что там вычисления получаются каждый раз достаточно громоздкие,
хотя и очень простые, в отличие от решения уравнений Лапласа,
которое как бы в каком-то смысле совершенно неочевидно,
может быть, заметно более сложно.
Но это была просто демонстрация метода.
В качестве упражнения могу предложить
написать выражение для функционала энергии во
всей его красе в цилиндрической системе координат — это проще будет.
Метрический тензор мы знаем.
Лапласиан в цилиндрической системе координат — и посмотреть,
что будет для такой задачи,
если у меня имеется постоянный потенциал
не на сфере, а на цилиндре радиуса R0.
Это не так просто, как может показаться.
Здесь нужна некоторая идея, но ее можно найти в книжках или уже в каком-то смысле,
зная ответ, увидеть, как к нему можно подойти, исходя из вариационного подхода.
На этом месте я заканчиваю.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]
Фоминов Яков ВикторовичДоцент
Фейгельман Михаил ВикторовичГлавный научный сотрудник
Колоколов Игорь ВалентиновичПрофессор
Бурмистров Игорь СергеевичПрофессор
Скворцов Михаил АндреевичПрофессор
