В качестве следующего примера
приближённого вычисления интегралов, зависящих от параметров,
рассмотрим следующее выражение.
t интеграл зависит от двух параметров α
и β и определён следующим образом.
Интегрирование идёт от нуля до бесконечности
e в степени минус α x квадрат
на синус в квадрате
βx dx.
И мы выясним, как ведёт себя этот интеграл в предельных случаях,
когда α велико по сравнению с β или, наоборот, мало по сравнению с β.
Фактически, существенный парметр здесь именно отношение α к β,
поэтому можно сразу этот интеграл
переписать в виде единица на корень
из α интеграл от нуля до бесконечности e
в степени минус Z квадрат
синус в квадрате,
а аргументом синуса является βz поделить
на корень из α и интеграл по z.
Мы рассмотрим два предельных случая
вычисления этого интеграла в зависимости от того,
велико или мало отношение β поделить на корень из α,
а потом убедимся в том, что вообще-то этот интеграл можно вычислить и точно,
и сравним точный ответ с полученными асимптотиками.
Может, конечно, возникнуть вопрос, зачем мы рассматриваем
приближённое вычисление, если знаем, как найти интеграл точно.
Ответ на этот вопрос довольно тривиален.
Дело в том, что в этом конкретном случае мы действительно знаем, как найти ответ
точно, но во множестве других случаев точного вычисления проделать не удаётся.
А зато те приёмы, которые мы сейчас разберём,
приближённого вычисления имеют гораздо более широкую применимость.
Итак, в этом
интеграле по z имеется экспонента минус z квадрат,
поэтому существенная область интегрирования по z во
всяком случае меньше или порядка, чем z порядка единицы.
Да, разумеется, я ещё должен был оговорить,
что в этом интеграле, разумеется,
α больше нуля всегда, а знак β не существенен.
Итак,
первый случай.
β много больше корень из α.
В этом случае аргумент синуса при z,
меняющимся в районе единицы, уже становится очень большим.
Это означает, что синус меняется
на множестве своих периодов, пока z меняется от нуля до единицы.
Это в свою очередь означает,
что вместо этого квадрата синуса мы можем просто написать его среднее значение,
среднее по большому количеству периодов осцилляции.
И это среднее значение равно одной второй,
среднее значение от синус квадрат θ,
скажем, угла по периоду,
и поэтому в этом случае,
заменяя синус квадрат на одну вторую,
мы получаем в результате единицу на корень из α,
одну вторую от усреднения синус квадрат
и всё тот же гауссов интеграл,
то есть корень из π пополам.
И это наш главный член,
определяющий [БЕЗ_ЗВУКА]
наш интеграл при больших β.
Как видно, от β он в этом пределе вообще не зависит.
Теперь обратный предельный случай.
β гораздо меньше, чем корень из α.
[БЕЗ_ЗВУКА] Это значит,
что при не очень больших z, z порядка единицы, двойки,
тройки или меньше единицы, весь аргумент синуса мал,
раз мы выбрали эту область.
А это означает,
что синус от малого аргумента можно заменить просто на сам его аргумент.
Я напоминаю, что большие z,
такие большие, что вот этот аргумент синуса уже не мал,
заведомо никакого существенного вклада в наш интеграл не дают, потому что у нас
есть ещё вот этот множитель, который при больших z очень быстро убывает.
Таким образом, в интересующей нас области интегрирования мы заменяем
синус вот этого аргумента на сам аргумент,
возводим в квадрат и получаем
I равно
единица на корень из α,
дальше β квадрат на
α интеграл от нуля до бесконечности
e в степени минус z квадрат z квадрат dz.
А это почти что тот же самый,
хорошо нам знакомый уже гауссов интеграл,
отличается он только тем, что стоит ещё перед ним z в квадрате.
Этот интеграл равен
корень из π поделить на четыре.
Поэтому, собрав всё вместе,
получаем ответ корень
из π β в квадрате на
четыре α в степени три вторых.
Теперь откуда
собственно я взял вот это число,
корень из π пополам.
Здесь самый простой способ найти
это число — это проделать такую операцию, как вычисление,
сведение интеграла к уже известному при помощи дифференцирования по параметру.
А именно, напишем интеграл такой от
нуля до бесконечности e в
степени минус
u на z квадарат dz.
Как легко понять при помощи замены переменной,
этот интеграл
равен корень
из π пополам и на
корень из u.
В случае u равно один мы возвращаемся к тому интегралу, который мы уже раньше
брали и знаем, что он равен корень из π пополам.
u входит под корнем в знаменателе, потому что мы можем, разумеется,
заменить z на другую переменную так, чтобы вот то, что стоит в экспоненте,
снова превратилось просто в квадрат нашего аргумента.
И тогда в знаменателе вылезет корень из u.
Теперь, почему нам это полезно?
А это нам полезно,
потому что мы можем что мы получим,
если мы теперь возьмем и продифференцируем обе части этого равенства
по u и сразу
еще возьмем это выражение с обратным знаком.
Дифференцируем, значит,
пишем − d / du
= и
здесь тоже d /
du ну и еще (-) отдельно.
Тогда в левой части, продифференцировав по u и добавив минус,
мы получаем буквально то выражение, которое нам надо было найти,
если мы еще положим u = 1.
В правой части мы дифференцируем эту функцию,
получаем √π / 4u
в степени 3/2.
Теперь мы кладем u = 1 и получаем √π / 4, вот тот, который я здесь написал.
Хорошо.
Значит, мы теперь знаем
два предельных случая.
Вот один, вот второй для нашего интеграла.
И в заключении мы обсудим,
каким образом этот интеграл можно найти точно,
и сравним этот точный ответ с предельными случаями.
Для того чтобы его найти точно,
нужно сделать следующее.
Нужно, во-первых, распространить область интегрирования от − до + ∞,
и, поделив при этом интеграл на 2, это можно сделать,
поскольку функция у нас четная.
Кроме того,
мы запишем синус в виде
разности двух экспонент с комплексными показателями.
То есть мы пишем следующее выражение.
Вот этот наш интеграл i от α,
β = 1 / 2√α
∫ от − до
+ ∞ e в степени −
Z2 А
теперь здесь
будет e в степени
i βZ
/√α −
такая же экспонента с − iβZ
/√α / 2i.
Это я написал выражение для синуса через экспоненты.
Ну я должен его еще возвести в квадрат.
И вычислить квадрат этого выражения.
Да, здесь еще должен быть интеграл по dZ
и приведя
здесь подобные члены,
я получаю выражение следующего
вида: 1 / 4
√α ∫ от
− до + ∞ e
в степени − Z2.
А еще здесь появятся два члена.
Один из них 1
− e в степени
2i β
Z /
√α [БЕЗ_ЗВУКА]
dZ [БЕЗ_ЗВУКА]
В действительности,
при приведении подобных в этом выражении
я получу один раз экспоненту вот с таким показателем,
и в другой раз экспоненту с показателем − 2iβZ / √α,
но их можно написать и вместе, потому что мнимая
часть этого выражения все равно при
интегрировании в четных пределах выпадает, а вещественные у них одинаковые.
Теперь, почему мне удобна такая запись?
Ну мы видим, конечно, что первый член это опять-таки уже знакомый нам
гауссов интеграл,
а что касается второго члена, то его можно легко
привести к первому следующим образом.
[БЕЗ_ЗВУКА] Значит, мы сейчас смотрим вот на этот член.
Экспонента − Z2 И еще в этой экспоненте имеется вот этот член.
2i βZ / √α Стало быть,
показатель экспоненты может быть записан в виде.
Вот напишем здесь просто отдельно.
Отдельно и другим цветом.
exp здесь
− Z − i
β / √α
[БЕЗ_ЗВУКА] Возведем это в квадрат.
Первый член тот же самый Z2.
Вот этот.
Второй член − 2i
Z β / √α, и еще тут снаружи минус,
поэтому мы получаем вот прямо то, что у нас здесь и было.
Однако ж, есть еще и третий член при раскрытии этого квадратного трехчлена.
β2 / α.
И этот член будет с плюсом, потому что
тут у нас мнимая величина в квадрате дает отрицательное число и еще минус здесь.
Так вот этот член, он лишний, его надо из экспоненты убрать.
Как убрать?
Просто написать, что мы его здесь вычитаем.
− β2
/ α
[БЕЗ_ЗВУКА] Я
переписал интеграл от произведения вот этих двух членов, точнее,
подинтегральное выражение, экспоненту, вот в таком совершенно эквивалентном виде.
[БЕЗ_ЗВУКА] Теперь все,
что мне осталось сделать, это вместо интегрирования
по dZ перейти к интегрированию
по величине
dy, где
[БЕЗ_ЗВУКА] где
y = Z-i β /
√α Интеграл
по Z шел от − до + ∞ по вещественной оси,
интеграл по y идет по параллельной прямой,
но смещенной в мнимом направлении.
Это допустимая операция при вычислении такого интеграла,
поскольку он хорошо сходится в направлении пути интегрирования.
Поэтому все, чем отличается интегрирование вот этого
члена от интегрирования этого члена, это появление вот такого лишнего множителя.
Результат.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА] Результат
нашей операции мы запишем вот
здесь.
1 / 4
√π/α 1
− e в степени −
β2 / α
[БЕЗ_ЗВУКА] И это наш
точный ответ.
Еще раз.
Значит, эта единица взялась от интегрирования вот этой единицы здесь.
А второй член это точно такое же интегрирование со сдвинутым аргументом,
множитель e в степени − β2 / α возник вот отсюда, от того,
что мы при преобразовании показателей экспоненты получили еще такой
дополнительный член в качестве аргумента экспоненты.
Теперь мы можем сравнить
наш точный ответ и предельные случаи.
β много больше √α и β много меньше √α.
В первом случае экспоненциальный член очень мал.
И мы приходим ровно к тому, что раньше получили приближенным образом.
Второй случай: β много меньше √α,
тогда мы можем разложить экспоненту по малому аргументу,
первый член 1 сокращается, второй дает β2 / α,
и мы приходим к вот этому приближенному выражению.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]
