Основные свойства преобразования Фурье

Loading...

Do curso por National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

6 ratings

National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

6 ratings

Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

Na lição

Преобразования Фурье

В этом модуле Вы познакомитесь с очень важной техникой - преобразованием Фурье. Преобразование Фурье находит применение в огромном числе приложений: от анализа звуковых сигналов и радиотехники, до теоретической физики. Вы научитесь применять преобразование Фурье для решения различных физических и математических задач. Особое внимание будет уделено использованию преобразования Фурье в линейных задачах с трансляционной инвариантностью, а также решению обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных методом Фурье. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

Типы преобразований Фурье. Определение интегрального преобразования Фурье.6:11

Основные свойства преобразования Фурье6:06

Закон Кулона8:46

Уравнение Диффузии9:23

Уравнение типа свертки6:04

Conheça os instrutores

Фоминов Яков Викторович
Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Фейгельман Михаил Викторович
Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Колоколов Игорь Валентинович
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Бурмистров Игорь Сергеевич
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Скворцов Михаил Андреевич
Профессор
Сколковский институт науки и технологий

[МУЗЫКА] После того как мы обсудили определение,

давайте поговорим про основные свойства преобразования Фурье.

Обычно мы привыкли работать с действительными функциями,

а как вы видите, отсюда даже если функция действительная,

то преобразование Фурье от нее является комплексным.

И поэтому первое свойство такое: если у нас f(x) действительно,

то тогда преобразование Фурье F(k)

= F(−k) со знаком комплексного сопряжения.

Второе свойство, которое являться на самом деле фактически ключевым свойство

для применения преобразования Фурье, это следующее:

если у нас f(x) имеет преобразование

Фурье F(k), то производная

функции f(x) имеет

Фурье-образ равный ikF(k).

Это, как мы в дальнейшем увидим,

очень важное свойство, поэтому его нужно

запомнить и мы будем неоднократно его применять.

Оно позволяет сводить дифференциальные уравнения,

которые содержат одну или несколько производных,

к алгебраическим уравнениям в Фурье-прастранстве.

На самом деле, если сюда внимательно посмотреть и букву «i»

перенести из правой части в левую часть, то мы увидим,

что букве «k» соответствует −i на производное,

и когда вы дойдете в вашем обучении до квантовой механики, вы увидите,

что в квантовой механике оператор импульса есть −i

* постоянную Планка * производную по координате.

И эта формула на самом деле непосредственно связана с формулой,

введенной в рамку.

Мы видим здесь, что чтобы их сопоставить, нужно сказать,

что импульс это есть h * волновой вектор.

И поскольку теоретики очень часто работают в системе единиц,

где постоянная Планка = 1, то в дальнейшем я часто буду

вместо волнового вектора k пользоваться жаргоном,

называя его «импульсом» и обозначая как «p».

Надеюсь, что в данном случае это никаких недоразумений не вызовет.

Еще раз: это свойство позволяет сводить дифференциальные уравнения в

x представлении к алгебраическим уравнениям в Фурье представлении.

Еще одно свойство говорит о том, что происходит с дельта-функцией.

Если мы имеем дельта-функцию в исходном координатном представлении,

то давайте поймем, что с ней происходит в импульсном представлении.

Для этого нужно взять и эту дельта-функцию поставить вот в эту формулу и мы увидим,

что, поскольку дельта-функция в 0,

а экспонента при x = 0 в любом случае равна 1, то мы получаем,

что Фурье-образ дельта-функции – просто 1.

И этим мы тоже будем пользоваться.

И, наконец, в качестве иллюстрации, это не есть, конечно, ключевое свойство

преобразования Фурье, но для понимания как оно работает, это полезно посмотреть.

Допустим, мы возьмем функцию, которая есть гауссова

экспонента: e в степени −x² * a² и посмотрим,

что из нее получится в представлении Фурье.

Подставляя сюда,

и беря гауссов интеграл (мы конечно предполагаем, что гауссов интеграл мы уже

брать умеем), мы получаем

√πa * e в степени

−a²p².

Здесь, наверное, вот так стоит.

Значит, о чем нам эта формула говорит?

Смотрите: то, что было гауссовой функцией в x-пространстве,

стало гауссовой функцией в p-пространстве.

Теперь смотрите: что поменялось?

Поменялась ширина.

Если у нас в x-пространстве ширина была равна a,

то в p-пространстве ширина станет 1/a.

То есть то, что было широким в x-пространстве,

станет узким в импульсном пространстве, и наоборот.

В частности, видно, что вот это свойство дельта-функции является в каком-то

смысле частным случаем преобразования Фурье для гауссовой функции.

Действительно, дельта-функция – то, что очень короткое, очень маленькое,

то есть a; а, соответственно, в импульсном пространстве мы видим,

что ширина становится очень большой и дельта-функция переходит в 1.

На самом деле, вот эта связь между типичным масштабом функции в

x-пространстве и в импульсном пространстве – это то, что в квантовой механике

в дальнейшем станет соотношением неопределенности, когда мы увидим,

что ΔxΔp станет порядка постоянной Планка.

Вот этот пример хорошо иллюстрирует данное положение.

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА]

Explore nosso catálogo

Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.

O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.

© 2018 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.

Baixar na App Store

Baixar no Google Play