[МУЗЫКА] После того как мы обсудили определение,
давайте поговорим про основные свойства преобразования Фурье.
Обычно мы привыкли работать с действительными функциями,
а как вы видите, отсюда даже если функция действительная,
то преобразование Фурье от нее является комплексным.
И поэтому первое свойство такое: если у нас f(x) действительно,
то тогда преобразование Фурье F(k)
= F(−k) со знаком комплексного сопряжения.
Второе свойство, которое являться на самом деле фактически ключевым свойство
для применения преобразования Фурье, это следующее:
если у нас f(x) имеет преобразование
Фурье F(k), то производная
функции f(x) имеет
Фурье-образ равный ikF(k).
Это, как мы в дальнейшем увидим,
очень важное свойство, поэтому его нужно
запомнить и мы будем неоднократно его применять.
Оно позволяет сводить дифференциальные уравнения,
которые содержат одну или несколько производных,
к алгебраическим уравнениям в Фурье-прастранстве.
На самом деле, если сюда внимательно посмотреть и букву «i»
перенести из правой части в левую часть, то мы увидим,
что букве «k» соответствует −i на производное,
и когда вы дойдете в вашем обучении до квантовой механики, вы увидите,
что в квантовой механике оператор импульса есть −i
* постоянную Планка * производную по координате.
И эта формула на самом деле непосредственно связана с формулой,
введенной в рамку.
Мы видим здесь, что чтобы их сопоставить, нужно сказать,
что импульс это есть h * волновой вектор.
И поскольку теоретики очень часто работают в системе единиц,
где постоянная Планка = 1, то в дальнейшем я часто буду
вместо волнового вектора k пользоваться жаргоном,
называя его «импульсом» и обозначая как «p».
Надеюсь, что в данном случае это никаких недоразумений не вызовет.
Еще раз: это свойство позволяет сводить дифференциальные уравнения в
x представлении к алгебраическим уравнениям в Фурье представлении.
Еще одно свойство говорит о том, что происходит с дельта-функцией.
Если мы имеем дельта-функцию в исходном координатном представлении,
то давайте поймем, что с ней происходит в импульсном представлении.
Для этого нужно взять и эту дельта-функцию поставить вот в эту формулу и мы увидим,
что, поскольку дельта-функция в 0,
а экспонента при x = 0 в любом случае равна 1, то мы получаем,
что Фурье-образ дельта-функции – просто 1.
И этим мы тоже будем пользоваться.
И, наконец, в качестве иллюстрации, это не есть, конечно, ключевое свойство
преобразования Фурье, но для понимания как оно работает, это полезно посмотреть.
Допустим, мы возьмем функцию, которая есть гауссова
экспонента: e в степени −x² * a² и посмотрим,
что из нее получится в представлении Фурье.
Подставляя сюда,
и беря гауссов интеграл (мы конечно предполагаем, что гауссов интеграл мы уже
брать умеем), мы получаем
√πa * e в степени
−a²p².
Здесь, наверное, вот так стоит.
Значит, о чем нам эта формула говорит?
Смотрите: то, что было гауссовой функцией в x-пространстве,
стало гауссовой функцией в p-пространстве.
Теперь смотрите: что поменялось?
Поменялась ширина.
Если у нас в x-пространстве ширина была равна a,
то в p-пространстве ширина станет 1/a.
То есть то, что было широким в x-пространстве,
станет узким в импульсном пространстве, и наоборот.
В частности, видно, что вот это свойство дельта-функции является в каком-то
смысле частным случаем преобразования Фурье для гауссовой функции.
Действительно, дельта-функция – то, что очень короткое, очень маленькое,
то есть a; а, соответственно, в импульсном пространстве мы видим,
что ширина становится очень большой и дельта-функция переходит в 1.
На самом деле, вот эта связь между типичным масштабом функции в
x-пространстве и в импульсном пространстве – это то, что в квантовой механике
в дальнейшем станет соотношением неопределенности, когда мы увидим,
что ΔxΔp станет порядка постоянной Планка.
Вот этот пример хорошо иллюстрирует данное положение.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]