[ЗВУК] Здравствуйте, уважаемые слушатели! Сейчас мы с вами разберем тему, которая называется «Метод перевала». [ЗВУК] Это метод приближенного вычисления определенных интегралов. Он работает не для всех интегралов, а для некоторых, которые обладают подходящими свойствами, и обычно интегралы, к которым этот метод применим, записывают в таком виде. Интеграл по всей вещественной оси от минус бесконечности до плюс бесконечности, e в степени f(t), dt. Сам по себе этот вид, в нем ничего особенного нет. Понятно, что какие-то особенные свойства должны быть у функции f, а именно предполагается, что у этой функции имеется резкий максимум [ЗВУК] [ЗВУК] в точке t = t0. Слово «резкий» тут, безусловно, требует разъяснений. Я его сейчас подчеркну, а в чем состоит условие резкости, мы с вами увидим позже. Мы сначала предположим, что он достаточно резкий, для наших целей подходящий, а потом проверим, при каких условиях это действительно было справедливо. Итак, если у нас есть максимум, то мы вблизи этого максимума можем разложить нашу функцию в ряд Тейлора, f(t) — примерно значение функции в самой точке плюс первая производная на отклонение [ЗВУК] плюс вторая производная пополам на квадрат отклонения [ЗВУК] плюс и так далее, то есть там есть все степени по отклонению, но мы считаем, что отклонение маленькое. А кроме того, поскольку у нас в точке t0 имеется максимум, это экстремум, это означает, что первая производная обращается в ноль, вот этого слагаемого в нашем случае нет, и поэтому мы можем написать, что это примерно значение функции в точке t0 и плюс вторая производная на квадрат отклонения. Теперь, поскольку это максимум, то знак у второй производной определенный, вторая производная отрицательна, и чтобы этот знак явно учесть, я напишу эту отрицательную величину как минус модуль. Поэтому я пишу минус модуль второй производной пополам на квадрат отклонения. Вот. Такое приближение мы используем вблизи максимума, и что это означает наглядно? Давайте нарисуем график. Это значит, что функция f(t) имеет примерно такой вид. Вот здесь есть t0, в точке t0 — максимум, функция вблизи максимума вот так может быть приближена параболой. Дальше она может от этой параболы отклоняться. Но мы ее попробуем приблизить параболой везде. Я нарисовал верхушку, которая совпадает с истинным поведением функции, а дальше примерное поведение я нарисую пунктирами. Я немножко криво нарисовал, но это парабола, а истинная функция, она может как-то отклоняться. Теперь что мы сделаем следующим шагом? Мы это разложение подставим в экспоненту. Давайте посмотрим, как тогда будет выглядеть экспонента, то есть подынтегральное выражение, то, что мы интегрируем: e в степени f(t), как функция t, тоже будет иметь максимум в t0. Я ее нарисую на всей вещественной оси, и это гауссова функция, то есть экспонента, у которой в показателе стоит квадратичное выражение, то есть это такой гауссов колокол, как его еще иногда называют. У него есть важный параметр «ширина». Это значит... Можно определить по-разному, например, давайте скажем, что мы возьмем половину высоты и посмотрим, какова ширина на этой половине высоты. Чтобы понять, какова ширина на половине высоты, нам нужно взять вот это отклонение и сказать, что оно становится порядка единицы. Потому что именно тогда, когда эта добавочка становится порядка единицы, это и означает, что экспонента у нас уже достаточно сильно затухла. Поэтому наша ширина Δt может быть найдена из следующего условия. Мы можем потребовать, чтобы вторая производная f''(t0), умноженная на Δt², была порядка единицы. Отсюда мы сразу получим условие для Δt. Мы видим, что Δt получается порядка 1 / / √f''(t0) по модулю. Вот. Теперь давайте подставим это квадратичное разложение в экспоненту и получим простой гауссов интеграл. Давайте напишем «приближенно равно», он по всей оси, в экспоненте стоит e, значение функции в точке t0, и минус вот эта квадратичная часть, которая обеспечит убывание экспоненты и сходимость интеграла. [ЗВУК] Интеграл по dt. Что мы теперь можем сделать? Во-первых, экспоненту, в которой стоит значение функции в точке, можно вообще вынести за интеграл — она константа. Останется просто квадратичная часть, и здесь я хочу сделать так, чтобы в экспоненте стояла «минус некоторая переменная в квадрате», свести это к такому простому интегралу. Для этого мне нужно сделать замену переменной. Давайте я введу новую переменную s, которая есть следующее. Она будет, во-первых, содержать (t − t0), то есть я хочу центрировать мой интеграл в точке t0. Для этого я сдвигаю, во-первых, переменную, а во-вторых, мне нужно ее перемасштабировать так, чтобы этот коэффициент был засунут в новую переменную. Для этого мне надо сказать, что s — это (t − t0) на корень из этой величины. [ЗВУК] Вот. Это моя новая переменная. И тогда я могу переписать интеграл следующим образом. Я вот здесь продолжу. Во-первых, я выношу за скобку экспоненту, во-вторых, мне нужно сделать правильный дифференциал. Под дифференциалом я, во-первых, могу сделать сдвижку, это ни на что не влияет, а во-вторых, мне надо еще домножить на этот коэффициент, и, соответственно, я должен это компенсировать тем, что перед интегралом написать этот коэффициент в минус первой степени. То есть я должен написать здесь √(2 / |f''(t0)| ), [ЗВУК] и тогда в экспоненте, в интеграле, простите, у меня получается просто e в степени −s² — я добился, чего хотел, у меня в интеграле стоит просто квадрат переменной интегрирования — на ds. Вот. Теперь я получил простой интеграл, который равен √π, поэтому я могу записать результат в виде √(2π / / |f''(t0)|) на экспоненту. [ЗВУК] Если вдруг вы забыли, как такой интеграл вычислять, вот этот интеграл, e в степени −s² на ds, давайте я напомню. Есть очень простой способ это сделать. Давайте мы этот наш интеграл обозначим новой буквой J [ЗВУК] и рассмотрим квадрат этого интеграла. То есть посчитаем, чему равен J². Значит, надо написать то же самое два раза. У нас будет... Это можно записать как интеграл по двум переменным, по каждой из них от минус бесконечности до бесконечности, одну переменную я обозначу s1, другую — s2. [ЗВУК] Теперь я могу на этот интеграл посмотреть следующим образом: я могу сказать, что давайте представим, что s1 и s2 — это координаты на плоскости. Просто есть плоскость, у которой координаты не x и y, а s1 и s2. И вот это интегрирование — это просто интегрирование по всей плоскости. И я могу на этой плоскости перейти к полярным координатам, сказав, что у меня есть для каждой точки расстояние до начала координат и вот здесь вот угол. Но поскольку в подынтегральном выражении от угла ничего не зависит, то угол даст мне просто 2π, как обычно, там будет якобиан, 2πr. И я могу в результате этот интеграл записать в полярных координатах следующим образом, как один интеграл от нуля до бесконечности, поскольку это уже будет интеграл по расстоянию от начала координат до точки. Моя функция, это есть просто e в степени −r², ну и здесь от дифференциалов будет 2πrdr. Вот. Теперь я делаю просто следующее. Давайте я π оставлю «на улице», перед интегралом, а под интегралом напишу: от нуля до бесконечности, e в степени −r², 2rdr — я из этого сделаю один дифференциал dr². Вот. Тут я уже получил элементарный интеграл, который равен единице, поэтому остается у меня просто π. Ну а, следовательно, мой искомый интеграл J — это есть, напомню, что я вычислял квадрат, поэтому J — это есть √π. Вот таким образом мы посчитали этот интеграл и получили формулу, давайте я ее обведу, которая является основной формулой в методе перевала. [ЗВУК] [ЗВУК]
