[ЗВУК] Здравствуйте, уважаемые слушатели!
Сейчас мы с вами разберем тему, которая называется «Метод перевала».
[ЗВУК] Это
метод приближенного вычисления определенных интегралов.
Он работает не для всех интегралов, а для некоторых,
которые обладают подходящими свойствами, и обычно интегралы,
к которым этот метод применим, записывают в таком виде.
Интеграл по всей вещественной оси от минус бесконечности до плюс бесконечности,
e в степени f(t), dt.
Сам по себе этот вид, в нем ничего особенного нет.
Понятно, что какие-то особенные свойства должны быть у функции f,
а именно предполагается, что у этой функции имеется резкий
максимум [ЗВУК]
[ЗВУК] в
точке t = t0.
Слово «резкий» тут, безусловно, требует разъяснений.
Я его сейчас подчеркну, а в чем состоит условие резкости, мы с вами увидим позже.
Мы сначала предположим, что он достаточно резкий, для наших целей подходящий,
а потом проверим, при каких условиях это действительно было справедливо.
Итак, если у нас есть максимум, то мы вблизи этого максимума можем
разложить нашу функцию в ряд Тейлора, f(t) — примерно
значение функции в самой точке плюс первая производная
на отклонение [ЗВУК]
плюс вторая производная пополам на квадрат отклонения
[ЗВУК] плюс и так далее,
то есть там есть все степени по отклонению, но мы считаем,
что отклонение маленькое.
А кроме того, поскольку у нас в точке t0 имеется максимум, это экстремум,
это означает, что первая производная обращается в ноль,
вот этого слагаемого в нашем случае нет,
и поэтому мы можем написать, что это примерно
значение функции в точке t0 и плюс вторая производная на квадрат отклонения.
Теперь, поскольку это максимум, то знак у второй производной определенный,
вторая производная отрицательна, и чтобы этот знак явно учесть,
я напишу эту отрицательную величину как минус модуль.
Поэтому я пишу минус модуль второй производной пополам
на квадрат отклонения.
Вот.
Такое приближение мы используем
вблизи максимума, и что это означает наглядно?
Давайте нарисуем график.
Это значит, что функция
f(t) имеет примерно такой вид.
Вот здесь есть t0, в точке t0 — максимум,
функция вблизи максимума вот так может быть приближена параболой.
Дальше она может от этой параболы отклоняться.
Но мы ее попробуем приблизить параболой везде.
Я нарисовал верхушку, которая совпадает с истинным поведением функции,
а дальше примерное поведение я нарисую пунктирами.
Я немножко криво нарисовал, но это парабола, а истинная функция,
она может как-то отклоняться.
Теперь что мы сделаем следующим шагом?
Мы это разложение подставим в экспоненту.
Давайте посмотрим, как тогда будет выглядеть экспонента,
то есть подынтегральное выражение, то, что мы интегрируем: e в
степени f(t),
как функция t, тоже будет иметь максимум в t0.
Я ее нарисую на всей вещественной оси, и это гауссова функция,
то есть экспонента, у которой в показателе стоит квадратичное выражение,
то есть это такой гауссов колокол, как его еще иногда называют.
У него есть важный параметр «ширина».
Это значит...
Можно определить по-разному, например, давайте скажем, что мы возьмем половину
высоты и посмотрим, какова ширина на этой половине высоты.
Чтобы понять, какова ширина на половине высоты, нам нужно взять вот
это отклонение и сказать, что оно становится порядка единицы.
Потому что именно тогда, когда эта добавочка становится порядка единицы,
это и означает, что экспонента у нас уже достаточно сильно затухла.
Поэтому наша ширина Δt может быть
найдена из следующего условия.
Мы можем потребовать, чтобы вторая производная f''(t0),
умноженная на Δt², была порядка единицы.
Отсюда мы сразу получим условие для Δt.
Мы видим, что Δt получается порядка 1
/ / √f''(t0) по модулю.
Вот.
Теперь давайте подставим это квадратичное
разложение в экспоненту и получим простой гауссов интеграл.
Давайте напишем «приближенно равно»,
он по всей оси, в экспоненте стоит e,
значение функции в точке t0, и минус вот эта квадратичная часть,
которая обеспечит убывание экспоненты и сходимость интеграла.
[ЗВУК] Интеграл по dt.
Что мы теперь можем сделать?
Во-первых, экспоненту, в которой стоит значение функции в точке,
можно вообще вынести за интеграл — она константа.
Останется просто квадратичная часть, и здесь я хочу сделать так,
чтобы в экспоненте стояла «минус некоторая переменная в квадрате»,
свести это к такому простому интегралу.
Для этого мне нужно сделать замену переменной.
Давайте я введу новую переменную s, которая есть следующее.
Она будет, во-первых, содержать (t − t0),
то есть я хочу центрировать мой интеграл в точке t0.
Для этого я сдвигаю, во-первых, переменную, а во-вторых,
мне нужно ее перемасштабировать так,
чтобы этот коэффициент был засунут в новую переменную.
Для этого мне надо сказать, что s — это (t − t0) на корень из этой величины.
[ЗВУК] Вот.
Это моя новая переменная.
И тогда я могу переписать интеграл следующим образом.
Я вот здесь продолжу.
Во-первых, я выношу за скобку экспоненту, во-вторых,
мне нужно сделать правильный дифференциал.
Под дифференциалом я, во-первых, могу сделать сдвижку, это ни на что не влияет,
а во-вторых, мне надо еще домножить на этот коэффициент, и, соответственно,
я должен это компенсировать тем,
что перед интегралом написать этот коэффициент в минус первой степени.
То есть я должен написать здесь √(2 / |f''(t0)| ),
[ЗВУК] и тогда в экспоненте,
в интеграле, простите, у меня получается просто e в
степени −s² — я добился, чего хотел,
у меня в интеграле стоит просто квадрат переменной интегрирования — на ds.
Вот.
Теперь я получил простой интеграл, который равен √π,
поэтому я могу записать результат в виде
√(2π / /
|f''(t0)|) на экспоненту.
[ЗВУК] Если
вдруг вы забыли, как такой интеграл вычислять,
вот этот интеграл, e в степени −s² на ds, давайте я напомню.
Есть очень простой способ это сделать.
Давайте мы этот наш интеграл обозначим новой буквой
J [ЗВУК]
и рассмотрим квадрат этого интеграла.
То есть посчитаем, чему равен J².
Значит, надо написать то же самое два раза.
У нас будет...
Это можно записать как интеграл по двум переменным, по каждой из них от минус
бесконечности до бесконечности, одну переменную
я обозначу s1, другую — s2.
[ЗВУК] Теперь
я могу на этот интеграл посмотреть следующим образом: я могу сказать,
что давайте представим, что s1 и s2 — это координаты на плоскости.
Просто есть плоскость, у которой координаты не x и y, а s1 и s2.
И вот это интегрирование — это просто интегрирование по всей плоскости.
И я могу на этой плоскости перейти к полярным координатам, сказав, что у меня
есть для каждой точки расстояние до начала координат и вот здесь вот угол.
Но поскольку в подынтегральном выражении от угла ничего не зависит,
то угол даст мне просто 2π, как обычно, там будет якобиан, 2πr.
И я могу в результате этот интеграл записать в полярных
координатах следующим образом, как один интеграл от нуля до бесконечности,
поскольку это уже будет интеграл по расстоянию от начала координат до точки.
Моя функция, это есть просто e в степени −r²,
ну и здесь
от дифференциалов будет 2πrdr.
Вот.
Теперь я делаю просто следующее.
Давайте я π оставлю «на улице», перед интегралом,
а под интегралом напишу: от нуля до бесконечности, e в степени −r²,
2rdr — я из этого сделаю один дифференциал dr².
Вот.
Тут я уже получил элементарный интеграл,
который равен единице, поэтому остается у меня просто π.
Ну а, следовательно, мой искомый интеграл J — это есть,
напомню, что я вычислял квадрат, поэтому J — это есть √π.
Вот таким образом мы посчитали этот интеграл и получили формулу,
давайте я ее обведу, которая является основной формулой
в методе перевала.
[ЗВУК]
[ЗВУК]
