[МУЗЫКА] Здравствуйте!
Меня зовут Бурмистров Игорь.
Я работаю в Институте теоретической физики имени Ландау,
занимаюсь теоретической физикой твердого
тела и на этом занятии мы с вами поговорим о том,
как использовать метод дифференцирования и
интегрирования по параметру для взятия разнообразных интегралов.
Такая ситуация очень часто встречается в физике, во многих приложениях, и,
оказывается, что имеется достаточно много разнообразных трюков,
которые можно в этом случае использовать для упрощения вычислений.
Метод взятия интегралов с помощью интегрирования
и дифференцирования по параметру, он основан на следующих двух формулах.
Представим себе, что у нас имеется какая-то функция,
которая зависит от собственно-независимой переменной x и и какого-то параметра λ.
Давайте нарисуем график этой функции для примера.
Здесь у нас будет x, здесь у нас будет сама эта функция.
Так мы ее изобразим,
какая-то кривая, которая меняется на отрезке вдоль x от a до b.
В зависимости от параметра λ она может меняться, вот,
например, эта кривая будет при другом значении параметра λ,
скажем, это λ1, а это λ2, ну, и теперь, раз у нас есть такая функция,
нас будет интересовать интеграл по dx
от a до b от нашей функции f (x, λ).
Обозначим этот интеграл I (λ).
Тогда существуют две удобные формулы,
а именно, мы можем взять производную от λ,
производную от I по λ,
и тогда она дается следующим выражением.
[БЕЗ_ЗВУКА] Интеграл
от a до b от частной производной функции f по λ.
И мы можем взять по λ от функции I интеграл,
[БЕЗ_ЗВУКА] который
может быть записан как интеграл от
a до b по dx,
∫ по d λ от f (x, λ).
Что в этих двух формулах замечательного, это то, что,
обратите внимание, знак ∫ по x в обоих формулах
и взятие производной или интегрирование по λ переставлены местами.
Это сильно бывает полезно, но при этом всегда нужно следить за тем,
что такие интегралы существуют, что они не расходятся.
В дальнейшем на основе вот этих двух
формул мы покажем, мы разберем с вами несколько примеров.
Начнем с такого примера,
пусть у нас есть функция, я ее обозначу Г(p),
которая определяется в виде следующего интеграла,
∫ от 0 до ∞ dt e в степени − t * t в степени p − 1.
При этом будем считать, что p это натуральное число.
1, 2 и так далее.
Спрашивается, чему равна такая функция, чему равна вот эта вот самая Г(p).
Для того чтобы сосчитать этот интеграл, рассмотрим более сложную функцию,
которая уже зависит не только от p, но и от λ,
и которая равняется очень
похожему интегралу,
exp − t λ t в степени p − 1.
То есть отличие функции Г p и λ от Г (p) в том,
что мы ввели новый параметр λ и, соответственно, когда λ = 1,
у нас новая функция совпадает со старой, то есть имеется такое соотношение,
что Г(p λ = 1)
= Г (p).
Теперь сделаем следующее действие.
Продифференцируем фунцию Г(p, λ) по λ.
Исходя из вот определения, которое здесь написано.
Тогда мы получим, что производное функции Г (p,
λ) / dλ = − ∫ от
0 до ∞ dt е в
степени − λ от t t в степени p.
Сравнивая теперь этот интеграл с определением функции Г (p,
λ), мы получим, что это то же самое что − Г
(p + 1, λ).
С другой стороны, мы можем
легко установить зависимость вот этой функции Г (p, λ) от λ.
Для этого давайте в этом интеграле сделаем замену переменных.
Определим вместо t введем переменную u,
которая связана с t следующим соотношением t = u / λ.
Тогда Г (p,
λ) будет равняться λ в степени
− p ∫ от 0 до ∞ du в степени
e − u u в степени p − 1.
Или, что то же самое,
λ в степени − p Г (p).
Теперь сравниваем уравнение,
звездочка (*) вот эта, с соотношением,
которое мы только что получили, мы получаем
следующее соотношение: подставляя вот
это выражение вот сюда и беря производное, мы получаем следующее соотношение:
между Г (p + 1) и
Г (p).
Г (p + 1), оказывается, равна Г (p * p).
Ну и продолжая это соотношение дальше: p (p
− 1) Г (p − 1) и так далее,
и вспоминая, что есть такая функция, которая называется факториал,
мы приходим к соотношению: Г
(p + 1) = p!
При этом я учел, что просто глядя
вот на определение функции Г (p), когда p = 1, это интеграл совсем простой и
Г (1) = 1 Таким образом,
мы получили, что с помощью дифференцирования,
введения в начале параметра λ,
которого не было в нашем интеграле,
мы свели задачу о вычислении интеграла к задаче
о решении рекуррентных уравнений, рекуррентного уравнения,
и получили, что Г (p + 1) это просто есть факториал, p!
Преимущества вот такого представления для факториала состоит в том,
что, вообще говоря, p может быть необязательно целым, как видно здесь,
при нецелых p интеграл вполне себе определен,
и сама функция Г (p) называется Г-функцией.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]
