[МУЗЫКА] В этот раз мы с вами поговорим о том, как брать интегралы от быстро осциллирующих и быстро меняющихся функций. Во многих случаях оказывается, что в зависимости от ситуации можно достаточно простыми элементарными способами узнать, как эти интегралы ведут себя в зависимости от параметров, от которых зависит подынтегральное выражение. Начнём мы со следующего примера. Пример один. [БЕЗ_ЗВУКА] Рассмотрим следующий интеграл. Интеграл от a до бесконечности dx e в степени минус x на f от x. Обозначим эту неизвестную нам функцию I от а. При этом будем считать, что функция f достаточно медленно меняется. Так что её производные малы по сравнению со значением самой функции. Тогда в этой ситуации можно применить следующий приём. Давайте преобразуем это выражение по частям. Напишем следующую цепочку равенств. Интеграл от a до бесконечности d e в степени минус x f от x, это же равняется e в степени минус a f, да, вот здесь я забыл минус, f от a плюс интеграл от a до бесконечности dx e в степени минус x f' от x. Ну а теперь может дальше применить опять к этому интегралу второй раз взятие по частям, при этом всё, чем этот интеграл отличается от того, с которого мы начали, это заменой f на f'. Поэтому ясно, что у нас получится следующее выражение в итоге. e в степени минус a f от a плюс f' от a плюс f'' от a, и так далее. Таким образом, получается следующий ответ для нашего интеграла в виде разложения по производным от функции f. При этом, чтобы это выражение было справедливым, естественно, следующие члены ряда должны быть малы, что означает, например, такое условие, что производная в точке a функции f по модулю должна быть много меньше, чем значение самой функции по модулю в этой же точке a. Частный случай этого примера мы сейчас рассмотрим, это будет пример два. И мы сейчас обсудим, как говорят, асимптотику интегральной экспоненты. Интегральная экспонента. Она задаётся следующим интегралом. Интеграл от единицы до бесконечности dx на x в степени m e в степени минус Zx. Эта функция обозначается E с индексом m от Z и называется интегральной экспонентой, при этом m может быть положительным действительным числом: один, два, и так далее. И мы сейчас применим к этой функции формулу, которая вот здесь обведена в рамочку. Для этого сначала мы преобразуем наше выражение, заменим x на y, делённое на Z. Тогда функция От Z станет равной интегралу от Z до бесконечности dy на y в степени m e в степени минус y. И, соответственно, здесь будет стоять Z в степени m минус один. А после этого мы скажем, что у нас есть функция f от y, которая равняется y в степени минус m, и применим вот это выражение. Тогда получим, что T от Z имеет вид Z в степени m минус один e в степени минус Z. Значение функции в точке Z — это один на Z в степени m. Производная минус m Z в степени m плюс один, и так далее. Ну и приводя подобное, получаем следующее выражение. Один на Z e в степени минус Z один минус m делить на Z, и так далее. Ну и видно, что, действительно, это выражение справедливо, когда Z оказывается много больше, чем m. Ну и так, как обычно индекс m бывает один, два и не очень большим, то это условие в этом случае становится эквивалентным просто условию, что Z много больше единицы. [МУЗЫКА] [МУЗЫКА]