[МУЗЫКА] Теперь попробуем обобщить ситуацию, которую мы только что рассматривали, и рассмотрим следующий интеграл от a до b от произведения двух функций f от x на g от x по dx. Предположим, что функция f у нас меняется медленно, давайте нарисуем график для иллюстрации. Пусть у нас имеется отрезок от a до b, и функция f меняется медленно. То есть её значения в точке a и в точке b похожи, почти равны, и производная маленькая, а функция g меняется гораздо более быстрым образом. Это будет g от x, а это f от x. Математически это можно записать следующим образом, что производная f' от x, отнесённая к f от x, как говорят, логарифмическая производная функции f по модулю много меньше логарифмической производной функции g, опять же по модулю. Тогда в этом случае действует, так сказать, совершенно простой и житейский способ. Можно сказать, что функция почти константа, и, например, вот этот интеграл, давайте его обозначим буквой i, в нём заменить функцию на константу, например, взять её значения в середине интервала ab. Тогда мы получим следующее приближённое соотношение, что этот интеграл равен значению функции f в середине отрезка на интеграл уже только от быстро меняющейся функции. Рассмотрим пример, в котором мы это рассуждение применим, это будет наш пример три, в котором мы познакомимся с δ-функцией Дирака. Дельта- функция Дирака. Рассмотрим следующий интеграл для примера. Интеграл от минус до плюс бесконечности a поделить на a в квадрате плюс x в квадрате e в степени минус x в квадрате dx. При этом будем считать, что параметр a положительный и много меньше единицы. В этом случае мы можем рассуждать следующим образом. Экспонента меняется медленно, она меняется на масштабах порядка единицы, а функция, которая стоит перед экспонентой, если a маленькое, она меняется быстро, это можно понять, просто глядя на график этой функции, давайте опять его нарисуем. [БЕЗ_ЗВУКА] При x, равном нулю, значение функции есть один на a, очень большое, а потом функция достаточно быстро убывает. Соответственно, характерная ширина вот этого пика порядка a, высота, как я уже сказал, порядка один на a, а экспонента на этом фоне выглядит совершенно невзрачно. Здесь есть значение один, и экспонента как-то себя ведёт вот здесь почти плавно. Соответственно, для вычисления этого интеграла, давайте его обозначим, например, буквой L, мы можем поступить так, как вот написано вот здесь, а именно, взять просто значение экспоненциальной функции в точке x, равное нулю. И тогда получится, что L равняется примерно, давайте напишем, e в нулевой, чтобы было видно, что мы сделали с этой экспонентой, на интеграл от минус до плюс бесконечности dx a a квадрат плюс x квадрат. Такой интеграл стандартный, он удивительным образом не зависит от a, естественно, равен π, и в итоге мы получаем ответ π для этого интеграла. Естественно, такой ответ, он приближённый, работает только тогда, когда a много меньше единицы, и интересно узнать, а какие будут к этому ответу поправки. [МУЗЫКА] [МУЗЫКА]