Nous allons traiter maintenant la deuxième partie de notre cours, à savoir la conduction au régime non stationnaire, c'est-à-dire lorsque la temperature dépend de l'espace et du temps. Pour traiter cette partie, on va faire deux exemples, la réponse d'un milieu à une certaine excitation, mais sa réponse à court terme et la reponse d'un milieu à une excitation sinusoïdale. Le long de cette partie-là, on va supposer toujours que notre conduction, elle est uniréactionnelle. On considère un milieu homogène, isotrope et un équilibre thermodynamique local. Ce milieu, il est toujours caractérisé par sa masse volumique mu, et sa chaleur massique c. Ce milieu va s'étendre de x égal à 0 jusqu'à l'infini, et il se trouve à la température homogène T0. A l'instant t égal à 0, on impose en x égal à 0, c'est-à-dire sur toute cette section, la température T1. La température du milieu va obéir à l'équation dite de la chaleur qu'on avait établie lors de la première partie de notre cours. On va introduire un paramètre thermique supplémentaire, qui est défini par le rapport de lambda sur mu c qu'on appellera la diffusivité thermique. Pour résoudre une telle équation, on passe par un changement de variable, on pose u est égal à x sur 2 racine a de t, et thêta est égal à T moins T1 sur T0 moins T1. On peut remarquer que ces deux variables sont sans dimension et on peut obtenir l'équation à laquelle obéit la température réduite du milieu, qui va s'écrire alors sous la forme la dérivée seconde de thêta par rapport à u carré, plus 2 fois u la dérivée de thêta par rapport à u va être égal à 0. La solution de l'équation qu'on vient d'obtenir s'écrit sous la forme de thêta u égal à C l'intégrale entre v et u d'exponentielle de moins v carré dv. Cette solution elle est obtenue en intégrant l'équation précédente deux fois par rapport à u. Il nous reste à calculer la constante C et pour cela on utilise les conditions initiales, c'est-à-dire, lorsque le temps t tend vers 0, la variable u va tendre vers l'infini et la température réduite thêta va tendre vers 1 donc la fonction thêta de l'infini va s'écrire sous la forme de C de l'intégrale enter 0 et l'infini iii de moins v carré dv et va tendre vers a, et donc on peut obtenir la valeur de la constante C qui s'écrit sous la forme 2 sur racine de pi. Finalement l'expression de la température réduite va s'écrire sous la forme de 2 sur racine de pi par l'intégrale entre 0 et u d d'exponentielle de moins v carré dv, cette fonction est connue sous le nom de la fonction d'erreur. Dans le tableau ci-contre, on a la tabulation de la fonction d'erreur et dans ce tableau il y a une valeur particulière qui nous intéresse, c'est la valeur pour laquelle u est égal à 0,5 et pour cette valeur de u est égal à 0,5 on a la fonction d'erreur qui va être égale à 0,5 c'est-à-dire la température réduite va être égale à un demi. A partir de ces valeurs particulières pour u est égal à 0,5 et thêta est égal à 0,5, on peut définir des grandeurs caractéristiques. Ces grandeurs sont : la première c'est le délai de diffusion, qui est défini par tau égal à x carré sur a. Pour comprendre le sens physique de cette grandeur, il suffit de prendre la valeur de x est égal à la racine de a de t, et de calculer le temps c'est-à-dire tau, qui va être égal à une seconde pour que la température en ce, cette valeur de x devient égale à T1 plus T0 sur 2. On peut remarquer que dans la formule de tau, le temps est proportionnel à la variable spatiale au carré, ce qui donne le caractère diffusif de la conduction. La deuxième grandeur qu'on peut définir, c'est la profondeur de diffusion, qui est définie par ksi est égal à racine de a par le temps t. Également on va prendre un exemple avec un ordre de grandeur, à l'instant t est égal à 2 secondes, la température T est égale à T1 plus T0 sur 2, en ksi est égal à racine 2 fois a. Alors maintenant pour justifier l'appellation de la réponse à court terme, si on prend L qui est l'épaisseur du milieu, on parle d'une réponse à court terme du milieu qui si l'on se limite au domaine temporel, durant lequel l'épaisseur L est très supérieure à la profondeur de fusion ksi qui est égale à racine de a par t. Dans le tableau ci-contre, on a pris des ordres de grandeur pour ksi est égal à 10 centimètres et on a calculé le temps qu'il faut pour que à cet endroit-là qui est de 10 centimètres, la température réduite devient égale à 0,01 c'est-à-dire que la température devient pratiquement égale à T1. Et ceci pour deux milieux, le premier milieu c'est le cuivre, et ce délai va être de 7 secondes, et le deuxième milieu qui est un milieu beaucoup moins conducteur thermique que le cuivre, c'est-à-dire le bois, et dans ce cas-là le délai est de 2 heures. Ce tableau-là et ce raisonnement peut expliquer le fait que parfois, lorsqu'on met notre main sur une barre de cuivre qui est portée par exemple à 70 degrés, on a tout de suite une sensation de brûlure, alors que si on met notre main sur du bois qui est porté à la même température, on a plutôt une sensation de chaleur agréable, mais bien sûr ceci est valable uniquement si on se limite à un délai qui n'est pas très grand c'est-à-dire on revient toujours sur l'hypothèse, il faut que l'épaisseur du milieu L soit très supérieure à ksi qui est la profondeur de diffusion. Le deuxième exemple traité dans le cadre de régimes non stationnaires, ça va être la réponse périodique d'un milieu à une excitation périodique. Nous savons que, à la surface de la terre, la température peut varier le long d'une journée mais elle peut varier également le long de l'année. On va supposer que ces variations sont sinusoïdales et de pulsation oméga. On va modéliser le sol par un milieu semi infini, qui va de x égal à 0 vers le bas, en x égal à 0 on est à la surface de la terre, et plus on va vers les x positifs, plus on s'enfonce dans le sol. L'amplitude de la variation de la température à la surface de la terre est supposée être égale à thêta 0, et à la profondeur x c'est thêta de x. Et on suppose que la température moyenne temporelle du sol est T0. Pour résoudre un tel problème, on passe par les notations complexes. Et on écrit la fonction de la température en notation complexe sous la forme de la somme de T0 plus thêta de x exponentielle de j oméga t. En partant de l'équation dite de la chaleur, on peut arriver à l'équation qui régit la variation de l'amplitude de la variation en profondeur, qui s'écrit sous la forme de la dérivée de thêta par rapport à x carré est égale à 1 sur a j oméga thêta de x. L'équation caractéristique de l'équation qu'on vient d'établir, c'est r carré est égal à j oméga sur a qui possède deux solutions, r1 et r2, et on pose delta est égal à racine carrée de 2 fois a sur oméga. La solution de l'équation qu'on vient d'établir va s'écrire sous la forme de la somme de deux termes, un en exponentielle de moins 1 plus j sur delta par x, plus un terme en exponentielle de 1 plus j sur delta par x. Bien sûr il y a deux constantes, thêta 1 et thêta 2 qu'on doit chercher à trouver les valeurs. Si on prend le cas particulier où x tend vers l'infini, dans ce cas-là thêta de x va tendre vers l'infini, ce qui est impossible physiquement. Donc forcément, la constante thêta 2 va être égale à 0. Il nous reste à calculer la constante thêta 1. Pour cela on prend les conditions iii c'est-à-dire x égal à 0, l'amplitude de la variation c'est thêta 0, pour écrire finalement T x de t c'est sous la forme de la somme de T0 plus thêta 0 exponentielle de moins x sur delta multiplié par exponentielle de j oméga t moins x sur delta. Bien sûr la température réelle, ça va être la partie réelle de cette fonction complexe, donc finalement la répartition spacio-temporelle de la température dans le sol en fonction de l'excitation sinusoïdale imposée en x égal à 0 va s'écrire sous la forme de T0 plus thêta 0 exponentielle de moins x sur delta, par cosinus oméga t moins x sur delta. On voit tout de suite que, dans ce cas particulier de la diffusion, on tombe plutôt vers une propagation atténuée par le terme exponentielle de moins x sur delta. Il y a une valeur particulière pour laquelle l'amplitude de la variation va être pratiquement nulle, c'est pour x est égal à delta. Maintenant, on peut prendre un exemple particulier pour donner un ordre de grandeur. On prend a est égal à 7,5 et on calcule la profondeur de pénétration, dans le premier cas où la variation est comptée sur une journée, et dans ce cas-là on trouve delta est égal à l'ordre, de l'ordre de 14 centimètres, et on prend le deuxième cas, c'est-à-dire une variation de la température le long de l'année, et dans ce cas-là on trouve un delta égal à 2,7 mètres. A partir de là, on peut comprendre pourquoi pour conserver son vin, on fait des caves qui sont toujours au moins à trois mètres de profondeur par rapport à la surface de la terre. Donc on vient de voir deux exemples qui traitent de la conduction thermique en régime non stationnaire. Le premier c'est la réponse à court terme d'un milieu qui subit une excitation thermique, et le deuxième c'est la réponse périodique d'un milieu également qui est excité mais cette fois-ci par un signal périodique. Je vous invite tous à aller voir la vidéo dans laquelle on traite l'application à ce qu'on vient de faire, et dans une application d'ingénierie qui est le refroidissement des composants en électronique.
