Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres.
Partie 3 Intégration sur les courbes et les surfaces
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Do curso por École Polytechnique
Initiation à la théorie des distributions
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Cours 3
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Prof. François GolseProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Prof. Yvan MartelProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Alors, dans la deuxième partie de ce cours, nous avons vu la formule des sauts
en dimension 1, et nous allons essayer
de la généraliser à des dimensions d'espaces supérieurs.
Et, pour faire cela, nous allons
avoir besoin de définir l'intégration de fonction
sur des espaces courbes, c'est-à-dire sur des
courbes en dimension 2 d'espaces et sur
des surfaces en dimension 3.
Alors, en effet, l'analogue de la formule des
sauts en dimension supérieure à 1 va mettre
en jeu des fonctions de classe C 1
par morceaux ayant des discontinuités de première espèce.
Ces discontinuités de première espèce vont être portées par des courbes
en dimension 2 d'espaces, et par des surfaces en dimension 3 d'espaces.
Il faut donc
définir l'analogue en dimension supérieure à 1 du terme dans
la formule des sauts de dimension 1, qui faisait intervenir
des masses de Dirac aux points de discontinuité de première
espèce, c'est-à-dire à l'endroit où on a des sauts, justement.
Alors commençons par définir, la notion d'élément de longueur sur
une courbe plane, sur une courbe de R2, et, avec l'élément de longueur nous allons
pouvoir définir une notion d'intégrale
curviligne, ou, si vous voulez, d'intégration
d'une fonction qui est portée par une courbe tracée dans le plan.
Donc je rappelle la définition d'un arc paramétré simple.
Je considère une application, qui à t associe gamma de
t, t varie dans un intervalle de R, dans un segment de R,
gamma de t est un point de R2, et nous noterons grand Gamma l'image
de l'intervalle I, ou du segment I par l'application petit
gamma, et nous supposerons que cette
application petit gamma est injective, c'est
le mot injectif qui répond au mot simple dans un arc paramétré simple.
Nous supposerons en outre que cette application est
de classe C1 sur le segment, et d'autre
part que gamma point de t, le vecteur dérivé de gamma par
rapport au paramètre t, est différent de zéro pour tout t dans I.
Alors, maintenant, il faut définir ce que l'on appelle
une abscisse curviligne sur grand Gamma, donc sur l'image
de l'application petit gamma, c'est tout simplement une fonction
petit s, qui est définie sur grand gamma, à valeur
réelle, qui vérifie la propriété que, si je dérive
par rapport à t la composée de s avec
gamma, j'obtiens bien ici, puisque gamma de t, par
définition, varie dans grand Gamma, je peux bien parler de
s de gamma de t puisque s est une
fonction définie sur grand Gamma, donc, une abscisse curviligne, c'est
une fonction s définie sur grand Gamma à valeur
réelle, telle que d sur dt de s rond gamma
de t soit égal à la norme euclidienne du vecteur dérivé gamma point de t.
Une fois qu'on a la notion d'abscisse curviligne, l'élément de
longueur sur la courbe gamma, c'est la différentielle d'une abscisse curviligne.
Autrement dit ds de gamma de t qui est égal à norme euclidienne
de gamma point de t, vecteur dérivé de gamma par rapport au paramètre,
fois dt.
Évidemment, comme la notion d'abscisse curviligne est définie
par la dérivée par rapport au temps de s
rond gamma égal à quelque chose, les abscisses
curvilignes sur gamma sont définies à une constante près.
C'est pour ça qu'on parle d'une
différentielle d'une abscisse curviligne, mais en
revanche, évidemment, comme deux abscisses curvilignes
sont différentes d'une constante, leur différentielle est
toujours la même.
C'est l'élément de longueur sur la courbe gamma.
Une fois qu'on a l'élément de longueur sur la courbe grand Gamma, eh bien
on peut parler de notion de longueur
de cette courbe grand Gamma, c'est l'intégrale curviligne
de ds de M, qui est égal à l'intégrale sur le segment I de gamma point
de t norme euclidienne, dt, alors si on a pris un segment fermé,
I est donc un intervalle compact de R, et donc on est en train d'intégrer sur
I qui est un compact, une fonction
continue, donc évidemment, le nombre qu'on trouve ainsi est fini.
Plus généralement, on peut intégrer sur la courbe
grand Gamma des fonctions continues, ou, si on veut, ce qui suffit dans le
cadre de la théorie des distributions des fonctions de classe
C infini à support compact sur R2, donc je prends
une fonction phi qui est de classe C infini à
support compact sur R2, et je la restreins à grand Gamma,
et je considère l'intégrale curviligne sur la courbe grand Gamma
de phi de M, ds de M, qui par définition
n'est rien d'autre que l'intégrale sur le segment I, de
phi de gamma de t, norme euclidienne de gamma point de
t, dt.
On a défini ainsi une forme linéaire sur C infini à support compact de R2,
dont il est immédiat de vérifier que c'est une distribution d'ordre zéro.
Alors maintenant, voyons ce qui se passe en dimension 3.
Alors en dimension 3, je vais m'intéresser à la notion de surface
de R3 et aux notions de plan tangent et de vecteur normal.
Alors je vais considérer un pavé de R2, autrement dit je donne I et J des segments
de R, et je regarde une application qui est donnée dans le pavé I croix J,
produit cartésien I croix J qui à deux paramètres u et v associe un point de R3,
M de u v, et cette application, je
suppose qu'elle est de classe C1, je suppose qu'elle
est injective, je suppose d'autre part que, si je regarde les vecteurs
d rond M sur d rond u en u v et d rond
M sur d rond v en u v, ces deux vecteurs forment une
partie libre pour tout point u, v appartenant au pavé I croix J.
Ce que l'on a défini ainsi, c'est ce que l'on
appelle une nappe paramétrée, et cette nappe paramétrée elle est sans
points multiples, ou elle est simple, parce que on a supposé que
l'application qui à u v associe M de u, v est injective.
À partir de la donnée d'une nappe paramétrée, on peut définir la
notion de plan tangent, T indice M de u, v de sigma
à la surface sigma, au morceau de surface sigma, qui est l'image du pavé I croix J,
par l'application qui à u, v associe M de u, v.
Ce plan tangent, qu'est-ce que c'est?
C'est le plan affine de R3 d'origine M de u,
v et dont la direction est l'espace vectoriel engendré par
les vecteurs d rond M sur d rond u, et d rond M sur d rond v au point u, v.
Comme la partie d rond M sur d rond u, d rond
M sur d rond v, au point u, v est une partie libre,
le sous-espace vectoriel que cette partie engendre dans
R3 est un plan vectoriel. Ainsi, l'espace affine qu'on
a défini, sous-espace affine de R3 ainsi défini est un
plan affine de R3. Enfin, on va définir
la notion de vecteur normal à la surface sigma qui
est l'image par M du pavé I croix J, au point M de u, v, eh bien
pour définir un vecteur normal, ce que l'on fait, on prend deux vecteurs
tangents non-colinéaires, par exemple d rond M sur d rond u et d
rond M sur d rond v au point u,v, et on en effectue le produit vectoriel dans R3.
Donc, un vecteur normal à la
surface sigma au point M de paramètre u, v, est donné par le produit
vectoriel d rond M sur d rond u vectoriel d rond M sur d rond v au point u, v.
Alors, si on fait un petit dessin pour résumer la situation, vous voyez ici en
noir la surface sigma, en rouge le plan tangent T M sigma, à sigma au point grand
M de paramètres u et v, j'ai représenté en rouge les
vecteurs tangents, grand U qui est d rond M sur d
rond u au point u, v, et grand V qui est d rond M sur d rond v au point u, v.
Le vecteur normal, un vecteur normal au point M de u, v à la surface sigma,
celui que j'ai défini dans le transparent précédent, c'est donc grand N égal U
vectoriel V. Bien, avec ces notions
géométriques, on peut maintenant définir la notion d'élément
d'aire sur une surface de R3. Alors, pour faire ça, on pose tout
simplement que l'élément d'aire sur sigma, d sigma au point M de u,
v est égal à la norme euclidienne de d rond M sur d rond u vectoriel d rond
M sur d rond v au point u, v, dudv.
Avec cette notion d'élément d'aire sur sigma, de la même manière qu'on avait
une notion d'intégrale curviligne sur des courbes de classe C1 dans
le plan, on va définir une notion de distribution de simple couche
portée par la surface sigma, qui
sera une distribution d'ordre zéro, dite distribution
de simple couche de densité f portée par la surface sigma, et
qui est définie de la manière suivante: à toute fonction S phi de classe C infini à
support compact sur R3, j'associe l'intégrale sur sigma de f
de M, fois phi de M, d sigma de M, d sigma de M, c'est l'élément
d'aire sur sigma, et évidemment, ce que ça veut dire, en terme
des paramètres u et v, c'est l'intégrale sur le pavé I croix
J du produit f phi calculé au point M de u,v, que
multiplie la norme euclidienne de d rond M sur d rond u,
vectoriel d rond M sur d rond v au point u,v, dudv.
Maintenant, on a donné pour des courbes et
des surfaces paramétrées les formules pour les éléments
de longueur et d'aire, voyons ce que deviennent ces formules
pour des courbes en coordonnées cartésiennes qui sont données par des
équations ou des surfaces en coordonnées cartésiennes qui sont données par
des équations, alors je commence par le cas de la courbe.
Une courbe de R 2 peut être donnée par une équation y égale f de x avec f
qui est de classe C1, et dans ce cas,
il est très simple de vérifier que l'élément de longueur
au point x, f de x, ds, est égale à racine carrée de 1 plus
f prime de x au carré, dx. De la même manière, si je
prends une surface de R3 d'équation z égale f de x, y avec f qui
est de classe C1, il est très simple de vérifier que l'élément
d'aire d sigma au point de coordonnés x, y, f de x,
y, sera la racine carrée de 1 plus d rond
f sur d rond x au carré au point x, y, plus d rond f sur d rond
y au carré au point x, y, dxdy, ce qui est
la même chose que racine carrée
de 1 plus la norme euclidienne du gradient de la fonction
f au point x, y, dxdy.
Alors voyons un calcul dans un exemple élémentaire
qui est celui de la sphère unité de R3.
Et on va obtenir la formule bien connue qui donne
l'élément d'aire sur la sphère unité R3 en coordonnées sphériques.
Alors je rappelle que les coordonnées sphériques sur la sphère
unité de R3 sont définies par deux angles, phi et
thêta, alors phi varie de moins pi à pi, c'est la longitude,
et thêta varie de zéro à pi, c'est
la colatitude, c'est-à-dire que c'est pi sur 2 moins la latitude.
Et donc au point de paramètre phi et thêta,
correspondant à ces deux angles, latitude et colatitude, on associe le point de
coordonnées dans R3, cosinus phi sinus
thêta, sinus phi sinus thêta, cosinus thêta.
Alors ce point, évidemment, appartient à la sphère unité mais lorsque phi
et têtha varient dans le pavé ouvert moins pi, pi croix zéro, pi, le point qu'on
obtient ainsi ne décrit pas toute la sphère unité, mais la
sphère unité moins, en géographie on l'appellerait la ligne de changement de
date, c'est-à-dire la sphère unité moins son intersection avec le demi-plan
d'équation x1 inférieur ou égal à zéro, et x2 égal à zéro.
Alors maintenant, calculons l'élément d'aire sur la sphère unité,
au moyen du paramétrage par les angles phi et thêta, donc on calcule d rond M sur
d rond phi, on trouve que ça vaut
moins sinus phi sinus thêta, cosinus phi sinus thêta,
zéro, on calcule d rond M sur d rond thêta, on trouve que ça vaut cosinus phi
cosinus thêta, sinus phi cosinus thêta, moins sinus thêta,
on effectue le produit vectoriel de ces deux vecteurs
et on trouve le vecteur moins cosinus phi sinus carré thêta, moins sinus
phi sinus carré thêta, moins cosinus thêta sinus thêta.
Donc la norme euclidienne vaut sinus de
thêta puissance 4, plus cosinus carré thêta, sinus carré thêta.
On met sinus carré thêta en facteur et on voit très simplement que l'élément
d'aire vaut d sigma égale sinus de thêta, d phi d thêta, qui est la formule à
laquelle on est habitué en coordonnées sphériques.
Alors j'ai représenté sur ce dessin la longitude
phi, et la colatitude thêta, correspondant
à un point grand M de la sphère. Alors là j'ai pris une sphère
de rayon r arbitraire, mais pour r égale à 1, bien sûr on retrouve
le paramétrage que j'ai donné dans le transparent précédent.
On va terminer cette partie géométrique en définissant
la notion d'ouvert à bord de classe C1 de R N avec N égale 2 ou 3.
Alors, en dimension 2 ou 3, on dira que oméga
inclus dand R N avec N égale 2 ou 3, est un ouvert à bord de classe
C1, si, petit a, la frontière de oméga, notée d rond
oméga, est une courbe de classe C1 de R2, lorsque N
est égale à 2, bien sûr, ou une surface de classe C1
de R3 lorsque N est égale à 3, d'une part, et d'autre part,
on demande que localement, au voisinage de tout point sur sa
frontière, oméga soit d'un seul côté de la frontière de oméga.
On notera systématiquement petit n le champ unitaire
normal à la frontière de oméga dirigé vers l'extérieur de oméga.
Voyons quelques exemples sur un dessin de ce qui
est un ouvert à bord de classe C1, et ce
qui n'est pas un ouvert à bord de classe C1.
J'ai représenté ici une ellipse dans le plan euclidien R2, c'est un exemple
d'ouvert oméga, dont le bord, gamma, qui est la courbe, l'ellipse,
donc gamma égale d rong oméga, c'est une courbe de classe C1,
même de classe C infini dans R2, et on a un champ extérieur
unitaire normal sur gamma qui est parfaitement défini en
tout point, donc on a un vecteur unitaire n de x
qui est normal à la courbe et qui est dirigé vers l'extérieur de l'ellipse.
Donc on a ici un exemple d'ouvert à bord de classe C1 dans le plan.
Prenons le cas d'un polygone.
Donc l'ouvert qui est représenté sur ce shéma n'est pas un
ouvert à bord de classe C1 car la frontière de oméga
n'est pas une courbe de classe C1 de R2, c'est ici
une courbe polygonale donc qui est seulement de classe C1 par morceaux.
Donc, aux points anguleux, aux sommets du polygone, il n'est
pas possible de définir un vecteur normal à la courbe.
Voici un exemple un tout petit plus compliqué qui lui se rapporte á la
condition petit b de la définition d'ouvert
à bord de classe C1 concernant l'orientation.
Alors je regarde ici à nouveau l'ellipse, alors je considère la courbe grand Gamma,
qui est l'ellipse, je considère l'intérieur de
l'ellipse, et dans l'intérieur de l'ellipse je retire
un cercle, disons qui est le cercle petit gamma.
Donc le complémentaire de petit gamma dans l'intérieur de l'ellipse, c'est
oméga 1 union oméga 2, qui est évidemment un ouvert du plan,
mais ce n'est pas un ouvert à bord de classe C1 parce
que le bord de cet ouvert, c'est petit gamma union grand Gamma.
C'est bien une réunion de courbes de classe
C1 de R2, mais oméga 1 union oméga 2, il est situé
de chaque côté de petit gamma au voisinage de tout point de petit gamma.
Donc sur petit gamma, on ne peut pas définir la notion
de vecteur normal extérieur à grand Oméga. Pour cette
raison, oméga 1 union oméga 2 n'est pas un ouvert à bord de classe
C1 bien que le bord ait la régularité voulue.
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