Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres.
Partie 1 EDP d'ordre 1 et méthode des caractéristiques
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Do curso por École Polytechnique
Initiation à la théorie des distributions
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Prof. François GolseProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Prof. Yvan MartelProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Nous allons commencer cette initiation à la théorie des
distributions par un premier cours, où je vais commencer par
vous donner un aperçu des motivations pour étudier cette théorie.
Alors, la principale motivation pour étudier les
distributions, c'est, en réalité, d'arriver à une analyse
mathématique des équations aux dérivées partielles.
Les équations aux dérivées partielles, que les mathématiciens appellent les EDP
interviennent, par exemple, en physique, comme
modèles dynamiques incluant des effets spatiaux.
Par exemple, on peut penser à l'équation de la chaleur
qui décrit la dynamique d'un profil de température dans un matériau.
Mais on peut également penser à l'équation de Schrödinger pour une fontion d'onde
en mécanique quantique qui est l'analogue, au niveau de la mécanique
quantique des équations du mouvement bien connues en mécanique classique.
L'un des objectifs de ce cours est d'arriver à une introduction à
l'analyse des équations aux dérivées partielles
sur deux ou trois exemples fondamentaux.
Mais on verra que l'analyse des équations aux dérivées partielles
rend nécessaire, dans un premier temps, de développer
un calcul différentiel généralisé pour des fonctions très singulières.
La théorie mathématique répondante à ce besoin est le calcul des distributions.
D'autre part, nous verrons qu'il faudra adapter
aux distributions, la transformation de Fourier qui est
bien connue dans le cadre des fonctions,
et dont l'une des propriétés les plus remarquables
est qu'elle diagonalise, en quelque sorte, l'opération de dérivation.
Donc, pour commencer, à titre de prologue, je vais dire
quelques mots sur la théorie des équations aux dérivées partielles d'ordre un.
Alors, pourquoi les équations aux dérivées partielles d'ordre un?
Alors, d'abord, d'ordre un, cela signifie que ce sont
des équations aux dérivées partielles, dans lesquelles seules des dérivées
partielles premières, d'ordre au plus un, interviennent
dans l'équation, dérivées partielles de la fonction inconnue.
La raison qui fait que nous allons nous
intéresser à ces équations aux dérivées partielles particulières, c'est
que ce sont celles qui sont les plus
proches des équations différentielles ordinaires que vous connaissez déjà.
Le lien entre les équations différentielles ordinaires et
les équations aux dérivées partielles d'ordre un se fera
par la méthode des caractéristiques.
Méthode des caractéristiques qui permet de ramener les
équations aux dérivées partielles d'ordre un à des équations
différentielles ordinaires, et qui va nous fournir des solutions
explicites pour des équations aux dérivées partielles d'ordre un.
Alors, je vais expliquer sur un exemple
très simple, comment fonctionne cette méthode des caractéristiques.
Cet exemple très simple, c'est l'exemple de l'équation de transport.
L'équation de transport est le prototype des
équations aux dérivées partielles linéaires du premier ordre.
Elle s'écrit d rond f sur d rond t, plus
v scalaire gradient par rapport à x de f égal zéro.
Dans cette équation, v est un vecteur donné, en général, non nul de l'espace
RN qui représente la vitesse de transport. Et l'inconnue,
c'est la fonction f qui est une fonction de t et de x.
f est à valeur réelle, t est un réel positif qui représente
le temps, et x appartient à RN, ça représente une position.
Et il faut penser à petit f de t et de x comme décrivant, par exemple, une densité.
On peut penser à l'équation de transport libre comme un modèle
décrivant, par exemple, la propagation d'un composé chimique,
d'un poluant, par exemple, dans un fluide en mouvement à la vitesse v.
La notation v scalaire gradient par rapport à
x de f, et bien, représente, tout simplement, le
produit scalaire du vecteur v et du vecteur
gradient de f, par rapport aux seules variables spatiales.
C'est-à-dire que
c'est la somme pour i allant de un jusqu'à N, de v indice i,
d rond f sur d rond xi. Expliquons, maintenant, comment fonctionne
la méthode des caractérisques. Alors, étant donné un point y de RN, je
vais poser pour tout réel t, gamma de t, égal y plus tv qui va
être un point de RN. Et cette formule vous montre immédiatement
que gamma est une application de classe C un de R dans RN, que gamma
de t égal petit v, et bien sûr que gamma de zéro égal y.
Ici, j'ai utilisé la notation habituelle en mécanique, gamma point de
t, pour représenter la dérivée de gamma par rapport à t.
L'ensemble des couples t gamma
de t, lorsque t décrit r, est donc une droite de R croix RN.
Cette droite est appelée courbe caractéristique issue
de y, associée à l'équation de transport.
Alors, évidemment, on parle, en général, de
courbe caractéristique, et non pas de droite caractéristique.
Car si la vitesse de transport petit v n'était
pas constante, si elle dépendait de la variable de position,
et éventuellement de la variable de temps, et bien, la construction
de la méthode des caractéristiques, ou si vous voulez, ce qui jouerait
un rôle analogue à l'application gamma de t serait une courbe paramétrée
dans R croix RN qui, en général, ne serait pas une droite.
Alors, pourquoi, cette notion de courbe caractéristique
est importante pour comprendre comment résoudre les
équations aux dérivées partielles du premier ordre?
Eh bien, tout ceci repose sur l'observation
fondamentale suivante, c'est que toute solution de
classe C un de l'équation de transport
est constante le long des courbes caractéristiques.
Grâce à cette observation, on aboutit
immédiatement au théorème suivant, qui sera notre
premier théroème.
Si je vous donne une condition initiale f in, qui est
une fonction de classe C un sur RN, et que j'étudie le
problème de Cauchy d'inconnue petit f, ou l'équation de transport : d
rond f plus d rond t, plus v gradient xf, égale zéro.
Équation aux dérivées partielles posée pour x
décrivant RN, et t décrivant R plus étoile.
Avec la condition initiale
f de zéro et de x égale f initiale de x pour tout x dans RN.
Eh bien, ce problème de Cauchy admet une unique solution petit
f, qui est de classe C un sur R plus, croix RN.
Cette solution est donnée par la formule petit f de
t et de x égal f in de x moins tv.
Si on cherche à se représenter géométriquement
ce que signifie cette formule, et bien,
l'idée consiste à représenter le graphe de la donnée initiale f in.
Par exemple, en dimension d'espace grand N égal à un.
Et la formule f de t et de x égale f in de x moins tv signifie que le graphe
de la donnée initiale est translaté de t zéro v, translaté du vecteur t zéro fois
v, pour donner celui de la solution à l'instant t zéro.
Autrement dit, la courbe y égale f de t zéro et de x, graphe de la
solution à l'instant t zéro, c'est de translater du vecteur
t zéro v, du graphe de la condition initiale f in.
Je vais donc, maintenant, vous donner la démonstration de ce théorème.
C'est une démonstration qui est très simple dans ce cas
particulier, de l'équation de transport avec une vitesse de transport constante.
Mais il faut être bien conscient du fait que
cette démonstration, pour simple qu'elle soit, se généralise à
des problèmes plus compliqués, où v pourrait dépendre, par
exemple, de la variable d'espace, de la variable de temps.
Donc, il est utile de bien connaître cette démonstration, et de
bien voir comment elle fonctionne dans le cas le plus simple.
Donc, je vais commencer cette démonstration par une première
étape qui va être une étape de condition nécessaire.
Ce que je veux dire par là, c'est que je vais supposer que f est une solution de
classe C un sur R plus, croix Rn, du problème de Cauchy que je considère.
Et je vais vérifier
que, forcément, cette solution de classe C un
du problème de Cauchy est donnée par la formule.
Alors, voilà comment ça fonctionne, soit f de classe C un sur
R plus, croix RN, solution du problème de Cauchy pour l'équation de transport.
Soit y appartenant à RN, à un point quelconque, et soit gamma
indice y, l'application qui a t dans R, fait correspondre
le point y plus tv dans RN. Maintenant, je considère
la fonction grand F, indice y, qui est une fonction définie pour tout
temps appartenant à grand R, et qui à t, associe f
indice y de t qui est définie comme étant petit f, solution
que je considère, évaluée au point t, gamma y de t.
Cette fonction, grand f indice y est de classe
C un sur R plus, comme composée d'applications de classe C un.
En effet, petit f est supposé de classe C un, et gamma indice y
est manifestement de classe C un, par
rapport à la variable t puisqu'elle est affine.
par rapport à t.
La règle de dérivation des fonctions composées nous dit donc,
que la dérivée, par rapport au temps de F indice y de t, eh bien, s'écrit
comme la somme de la dérivée, par rapport à la première
variable de petit f évaluée au point t, gamma y de
t, plus le gradient de f par rapport à sa variable spatiale.
Donc, gradient à indice x de f,
évalué au point t, gamma y de t, produit
scalaire avec la dérivée temporelle de gamma y de t.
Autrement dit, ce calcul nous dit que d Fy sur dt au
point t est égal à d rond t, plus v gradient x de
f, évalué au point t, gamma y de t, et par conséquent,
c'est égal à zéro, puisque F est une solution de l'équation de transport.
Cette égalité vaut pour tout temps en positif.
Et par conséquent, la fonction F indice y, est une constante sur R plus.
Autrement dit, f de t, y plus tv, qui vaut grand F,
indice y de t, est égal à grand F, indice y de zéro.
Soit petit f de zéro et de y, autrement dit, f, initiale de y.
Cette identité
vaut pour tout y dand RN, pour tout t positif.
Et maintenant, le changement de variables y plus
tv égal x qui revient à dire que y égal x moins tv,
permet de conclure que f de t et de x est égal à f in de x moins tv.
On a donc démontré que toute solution de classe C un
sur R plus, croix RN du problème de Cauchy pour l'équation
de transport, est donnée par la formule du théorème un.
En particulier, ce problème de Cauchy a au plus, une
solution de classe C un sur R plus, croix RN.
Deuxième étape, on va vérifier que la formule du théorème donne bien
une solution de classe C un du problème de Cauchy, pour l'équation de transport.
C'est une étape de condition suffisante. Soit donc, f initiale
appartenant à C un de RN, et soit f, la fonction définie sur R croix RN, par la
formule du théorème, à savoir, f de t et de x, égal f in de x moins tv.
Cette fonction est de classe C un sur R
croix RN, comme composée de l'application linéaire qui à t,
x fait correspondre x moins tv, et de la fonction
f in qui sont toutes deux de classe C un.
La règle de dérivation des fonctions
composées montre que d rond petit f sur d rond t
évaluée au point t, x avec f définie par la formule ci-dessus.
C'est donc le gradient de f in évalué au point x moins
tv, donc je fais le produit scalaire avec le vecteur moins v,
tandis que la dérivée spatiale, le gradient par rapport à x de
f, de t et de x, sera le gradient de f in évalué
au point x moins tv.
Ces deux formules montrent évidemment, que la fonction petit f qui est
définie par la formule du théorème vérifie d rond f sur d
rond t, plus v scalaire gradient, par rapport à x de f,
égal à zéro, pour tout x dans RN, et pour t positif.
Enfin, la formule définissant petit f, implique évidemment que f de zéro de
x est égal à f in de x, pour tout x dans RN.
Ceci montre
donc que la formule du théorème, f de t et de x, égale f in de x, moins
tv définit bien une solution de classe C un
du problème de Cauchy pour l'équation de transport libre.
En particulier, ce problème de Cauchy a au moins une solution de classe C un
sur R plus, croix RN, la solution qui est donnée par la formule du théorème.
Ceci conclut la démonstration du théorème un.
Mais évidemment, une remarque s'impose.
C'est que puisqu'on a une formule explicite pour la
solution de cette équation de transport, et que cette formule
explicite, c'est tout simplement, de dire que f de t
et de x, égale f initiale de x moins tv.
Il était évident, sur cette formule, que, elle garde
un sens même si f in n'est pas de classe
C un.
Et on a donc envie de dire que cette formule définirait encore une solution
de l'équation de transport en un sens généralisé, sens qui reste
à définir, même lorsque f in n'est pas une fonction dérivable.
L'exemple plus simple, si vous pensez au cas de la dimension d'espace grand
N égal à un, consiste à prendre f in une fonction en escalier.
Par exemple, vous pouvez prendre f in de x qui est égal à un, si x
est inférieur ou égal à zéro, f de x égal à zéro, si x est positif.
Et maintenant, la solution de l'équation de transport que vous obtenez ainsi,
est un modèle pour une onde de choc se propageant à la vitesse v.
Si on représente graphiquement ce que signifie
la formule du théorème appliquée avec cette condition
initiale discontinue, eh bien, on voit que de nouveau,
le graphe de cette fonction en escalier très simple, est translatée
du vecteur t zéro v, pour donner cette solution en un sens
généralisée de l'équation de transport à l'instant t zéro.
Je vous propose, donc, de faire une petite pause maintenant,
et d'illustrer cette méthode des caractéristiques avec quelques exercices
qui vous permettront de vous familiariser avec cette notion.
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