Alors, pourquoi, cette notion de courbe caractéristique
est importante pour comprendre comment résoudre les
équations aux dérivées partielles du premier ordre?
Eh bien, tout ceci repose sur l'observation
fondamentale suivante, c'est que toute solution de
classe C un de l'équation de transport
est constante le long des courbes caractéristiques.
Grâce à cette observation, on aboutit
immédiatement au théorème suivant, qui sera notre
premier théroème.
Si je vous donne une condition initiale f in, qui est
une fonction de classe C un sur RN, et que j'étudie le
problème de Cauchy d'inconnue petit f, ou l'équation de transport : d
rond f plus d rond t, plus v gradient xf, égale zéro.
Équation aux dérivées partielles posée pour x
décrivant RN, et t décrivant R plus étoile.
Avec la condition initiale
f de zéro et de x égale f initiale de x pour tout x dans RN.
Eh bien, ce problème de Cauchy admet une unique solution petit
f, qui est de classe C un sur R plus, croix RN.
Cette solution est donnée par la formule petit f de
t et de x égal f in de x moins tv.
Si on cherche à se représenter géométriquement
ce que signifie cette formule, et bien,
l'idée consiste à représenter le graphe de la donnée initiale f in.
Par exemple, en dimension d'espace grand N égal à un.
Et la formule f de t et de x égale f in de x moins tv signifie que le graphe
de la donnée initiale est translaté de t zéro v, translaté du vecteur t zéro fois
v, pour donner celui de la solution à l'instant t zéro.
Autrement dit, la courbe y égale f de t zéro et de x, graphe de la
solution à l'instant t zéro, c'est de translater du vecteur
t zéro v, du graphe de la condition initiale f in.
Je vais donc, maintenant, vous donner la démonstration de ce théorème.
C'est une démonstration qui est très simple dans ce cas
particulier, de l'équation de transport avec une vitesse de transport constante.
Mais il faut être bien conscient du fait que
cette démonstration, pour simple qu'elle soit, se généralise à
des problèmes plus compliqués, où v pourrait dépendre, par
exemple, de la variable d'espace, de la variable de temps.
Donc, il est utile de bien connaître cette démonstration, et de
bien voir comment elle fonctionne dans le cas le plus simple.
Donc, je vais commencer cette démonstration par une première
étape qui va être une étape de condition nécessaire.
Ce que je veux dire par là, c'est que je vais supposer que f est une solution de
classe C un sur R plus, croix Rn, du problème de Cauchy que je considère.
Et je vais vérifier
que, forcément, cette solution de classe C un
du problème de Cauchy est donnée par la formule.
Alors, voilà comment ça fonctionne, soit f de classe C un sur
R plus, croix RN, solution du problème de Cauchy pour l'équation de transport.
Soit y appartenant à RN, à un point quelconque, et soit gamma
indice y, l'application qui a t dans R, fait correspondre
le point y plus tv dans RN. Maintenant, je considère
la fonction grand F, indice y, qui est une fonction définie pour tout
temps appartenant à grand R, et qui à t, associe f
indice y de t qui est définie comme étant petit f, solution
que je considère, évaluée au point t, gamma y de t.
Cette fonction, grand f indice y est de classe
C un sur R plus, comme composée d'applications de classe C un.
En effet, petit f est supposé de classe C un, et gamma indice y
est manifestement de classe C un, par
rapport à la variable t puisqu'elle est affine.
par rapport à t.
La règle de dérivation des fonctions composées nous dit donc,
que la dérivée, par rapport au temps de F indice y de t, eh bien, s'écrit
comme la somme de la dérivée, par rapport à la première
variable de petit f évaluée au point t, gamma y de
t, plus le gradient de f par rapport à sa variable spatiale.
Donc, gradient à indice x de f,
évalué au point t, gamma y de t, produit
scalaire avec la dérivée temporelle de gamma y de t.
Autrement dit, ce calcul nous dit que d Fy sur dt au
point t est égal à d rond t, plus v gradient x de
f, évalué au point t, gamma y de t, et par conséquent,
c'est égal à zéro, puisque F est une solution de l'équation de transport.
Cette égalité vaut pour tout temps en positif.
Et par conséquent, la fonction F indice y, est une constante sur R plus.
Autrement dit, f de t, y plus tv, qui vaut grand F,
indice y de t, est égal à grand F, indice y de zéro.
Soit petit f de zéro et de y, autrement dit, f, initiale de y.
Cette identité
vaut pour tout y dand RN, pour tout t positif.
Et maintenant, le changement de variables y plus
tv égal x qui revient à dire que y égal x moins tv,
permet de conclure que f de t et de x est égal à f in de x moins tv.
On a donc démontré que toute solution de classe C un
sur R plus, croix RN du problème de Cauchy pour l'équation
de transport, est donnée par la formule du théorème un.
En particulier, ce problème de Cauchy a au plus, une
solution de classe C un sur R plus, croix RN.
Deuxième étape, on va vérifier que la formule du théorème donne bien
une solution de classe C un du problème de Cauchy, pour l'équation de transport.
C'est une étape de condition suffisante. Soit donc, f initiale
appartenant à C un de RN, et soit f, la fonction définie sur R croix RN, par la
formule du théorème, à savoir, f de t et de x, égal f in de x moins tv.
Cette fonction est de classe C un sur R
croix RN, comme composée de l'application linéaire qui à t,
x fait correspondre x moins tv, et de la fonction
f in qui sont toutes deux de classe C un.
La règle de dérivation des fonctions
composées montre que d rond petit f sur d rond t
évaluée au point t, x avec f définie par la formule ci-dessus.
C'est donc le gradient de f in évalué au point x moins
tv, donc je fais le produit scalaire avec le vecteur moins v,
tandis que la dérivée spatiale, le gradient par rapport à x de
f, de t et de x, sera le gradient de f in évalué
au point x moins tv.
Ces deux formules montrent évidemment, que la fonction petit f qui est
définie par la formule du théorème vérifie d rond f sur d
rond t, plus v scalaire gradient, par rapport à x de f,
égal à zéro, pour tout x dans RN, et pour t positif.
Enfin, la formule définissant petit f, implique évidemment que f de zéro de
x est égal à f in de x, pour tout x dans RN.
Ceci montre
donc que la formule du théorème, f de t et de x, égale f in de x, moins
tv définit bien une solution de classe C un
du problème de Cauchy pour l'équation de transport libre.
En particulier, ce problème de Cauchy a au moins une solution de classe C un
sur R plus, croix RN, la solution qui est donnée par la formule du théorème.
Ceci conclut la démonstration du théorème un.
Mais évidemment, une remarque s'impose.
C'est que puisqu'on a une formule explicite pour la
solution de cette équation de transport, et que cette formule
explicite, c'est tout simplement, de dire que f de t
et de x, égale f initiale de x moins tv.
Il était évident, sur cette formule, que, elle garde
un sens même si f in n'est pas de classe
C un.
Et on a donc envie de dire que cette formule définirait encore une solution
de l'équation de transport en un sens généralisé, sens qui reste
à définir, même lorsque f in n'est pas une fonction dérivable.
L'exemple plus simple, si vous pensez au cas de la dimension d'espace grand
N égal à un, consiste à prendre f in une fonction en escalier.
Par exemple, vous pouvez prendre f in de x qui est égal à un, si x
est inférieur ou égal à zéro, f de x égal à zéro, si x est positif.
Et maintenant, la solution de l'équation de transport que vous obtenez ainsi,
est un modèle pour une onde de choc se propageant à la vitesse v.
Si on représente graphiquement ce que signifie
la formule du théorème appliquée avec cette condition
initiale discontinue, eh bien, on voit que de nouveau,
le graphe de cette fonction en escalier très simple, est translatée
du vecteur t zéro v, pour donner cette solution en un sens
généralisée de l'équation de transport à l'instant t zéro.
Je vous propose, donc, de faire une petite pause maintenant,
et d'illustrer cette méthode des caractéristiques avec quelques exercices
qui vous permettront de vous familiariser avec cette notion.