Le cours expose la théorie de Galois, du classique critère de non-résolubilité des équations polynomiales aux méthodes plus avancées de calcul de groupes de Galois par réduction modulo un nombre premier. Le thème général de cette théorie est l'étude des racines d'un polynôme et concerne en particulier la possibilité de les exprimer à partir des coefficients de ce polynôme. Evariste Galois considère les symétries de ces racines et associe ainsi à ce polynôme un groupe de permutations de ses racines, que l'on appelle maintenant son groupe de Galois. Il dégage à cette occasion pour la première fois, dans ce cadre, la notion de groupe, maintenant omniprésente en mathématiques. Son étude lui permet d'expliquer pourquoi les racines d'une équation prise au hasard ne s'expriment en général pas par des formules algébriques faisant intervenir ses coefficients à partir du degré 5, un résultat démontré auparavant par Abel. Plus généralement, l'étude du groupe de Galois du polynôme permet de dire exactement quand une telle formule existe. C'est ce que l'on appelle la correspondance de Galois : elle relie d'une part la théorie des corps, d'autre part la théorie des groupes.Ce cours expliquera cette théorie en n'utilisant que des résultats de base d'algèbre linéaire. Nous étudierons d'un côté la théorie des corps, c'est-à-dire la façon dont les corps s'emboîtent les uns dans les autres, en introduisant la notion de nombre algébrique (essentiellement les racines de polynômes). D'un autre côté, nous introduirons les éléments nécessaires à l'étude des groupes de permutations. Cela nous permettra d'expliquer la théorie de Galois, non seulement dans son cadre d'origine, c'est-à-dire quand les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, mais aussi dans un cadre plus général, par exemple lorsqu'on réduit ces coefficients modulo un nombre premier p. Le cours culminera avec une comparaison des groupes de Galois dans ces deux situations (« entière » et après réduction modulo p), fournissant ainsi un outil de calcul puissant de ces groupes. Ce cours est l'occasion d'aborder des notions d'algèbre variées, essentielles dans de nombreux domaines des mathématiques, de manière très simple pour très rapidement aboutir à des résultats tout à fait remarquables. Nous n'avons pas cherché la généralité maximale mais au contraire à aller rapidement à l'essentiel en utilisant le minimum de formalisme abstrait. Le FLOTeur intéressé sera alors armé pour aller plus loin, notamment grâce à la bibliographie ou à des cours plus avancés.
Vidéo 3 : extensions de corps, suite
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Do curso por École normale supérieure
Introduction à la théorie de Galois
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Extensions de corps
algébricité, corps algébriquement clos, lemme de l'élément primitif
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Olivier DebarreProfesseur
Département de mathématiques
Yves LaszloProfesseur
Directeur adjoint Sciences
Bonjour.
Donc la dernière fois, qu'est-ce que l'on a démontré?
Le dernier résultat qu'on a démontré, c'est que partant d'une extension de corps
K/k et d'un élément x de K qui était algébrique, eh bien,
on avait prouvé que k[x] était un espace vectoriel de dimension finie sur k.
Alors, on va préciser ce résultat et démontrer que sous ces hypothèses
d'algébricité de x, k(x) est non seulement un espace vectoriel de dimension finie sur
k mais que c'est un corps.
Alors comment on fait?
Eh bien, il faut démontrer que si j'ai un élément y dans ce k[x] qui n'est pas nul,
eh bien, il a un inverse, donc ça, ce n'est pas un scoop parce que K est un
corps mais cet inverse dans K est en fait dans k[x],
donc, c'est une expression polynomiale en les x i à coefficient dans a.
Bon, alors, on a démontré que ce y était algébrique sur k, ça veut dire
qu'il y a certainement un polynôme non nul à coefficient dans k qui l'annule, et
on peut choisir un polynôme de degré n minimal qui annule ce y.
Donc, on a une équation : somme des ai y^i, i = 0 à n, égale 0.
Alors il se pourrait que
le coefficient constant de l'expression polynomiale a0 soit nul, a priori.
Alors, j'affirme que ce n'est pas possible, tout simplement parce que
si a0 était nul, on aurait une équation an y^n, bla bla, + 1y = 0.
Je mets y en facteur, y est non nul, je suis dans K,
je suis dans un corps, je divise par y et j'obtiens an y^(n-1) + etc.
+ a1 = 0 et donc vous voyez apparaître, devant vos yeux émerveillés,
un polynôme de degré n-1 à coefficient dans k qui annule y.
Bah oui, c'est pas beau parce que n a été supposé minimal dans les degrés de
polynômes qui annulaient y à coefficient K, c'est donc une contradiction,
ce qui assure que a0 est en fait non nul.
Alors ça, c'est vraiment très agréable parce que si je réécris l'équation an y^n
+ etc.
+ a1 y + a0 = 0, je fais passer a0 de l'autre côté et qu'est-ce que j'en tire,
j'en tire que y^-1 est égal à- (an y^n-1 + etc.
jusqu'à 1 divisé par a0), qui est une expression à coefficient dans k[y] mais
y lui-même est une expression polynomiale en x, donc j'en déduis que y^-1
à son tour est une expression polynomiale à coefficient dans k[x].
Et c'est exactement dire que y^-1 appartient à k[x],
et c'est finir la preuve.
Alors, vous avez un joli exemple ici que je vous donne,
qui est un exemple qui n'est pas facile en fait à traiter à la main.
On généralise l'exemple Q de racine de 2, je vais regarder l'exemple de Q de racine
cubique de 2, alors, si vous réfléchissez un petit peu,
c'est l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficient dans Q
de 1 racine cubique de 2, racine cubique de 4 et
l'énoncé précédent vous permet de prouver sans difficulté que c'est un corps.
Peut-être un joli sujet de discussion sur le forum ou exercice à faire vous-même.
Alors, cette proposition se généralise comment?
Bah comme ça, vous partez donc toujours d'une extension de corps et au lieu de
prendre un seul élément x qui est algébrique sur k, vous prenez x1,
xn qui sont des éléments algébriques sur k et bien j'affirme
que l'anneau ou l'algèbre k[x1, xn], qu'on a vu la fois précédente,
est un corps, qui est une extension
finie donc algébrique de k d'après ce que l'on a démontré la fois précédente.
Alors, comment on démontre ça, bah en fait de façon extrêmement analogue à la preuve
de tout à l'heure, chaque xi est annulé par un polynôme non nul à coefficient
dans k[X] qui a un certain degré, alors ce degré on l'appelle, disons, di.
Comme tout à l'heure, toutes les puissances de xi sont des
combinaisons linéaires à coefficient dans k de 1,
x, x^2 jusqu'à x^di-1.
On déduit très facilement que tous les monômes en les xi
sont des combinaisons linéaires à coefficient dans k des monômes,
ici x1^i1, x2^i2,
xn^in où les indices sont strictement plus petits que tous les dj.
Donc, si vous comptez sur votre main, sur vos doigts en tout cas, vous avez d1, d2,
dn tel monôme et vous en déduisez que la dimension de k[x1,
xn] est inférieure ou égale à d1, d2, dn est donc elle est finie sur k.
Pour le dernier point, vous prenez x qui est dans k[x1, xn], k[x1,
xn] est dimension finie sur k, d'après ce que l'on a démontré la dimension
k[x] est plus petite que l'infini et du coup, grâce aux critères d'algébricité,
x est algébrique et d'après ce que l'on avait dit, k[x] est un corps.
Alors donnons quelques exemples d'explication spectaculaires
et peut-être trop forts, mais qui ne sont pas si évident que ça
quand on réfléchit à la main, comme disent les mathématiciens.
Alors regardons la somme de racine de 2, racine de 3 et racine de 5.
Alors ça, c'est visiblement rentré dans le cadre précédent
parce que ça appartient à Q de racine de 2, racine de 3, racine de 5 et on déduit
que racine de 2 + racine de 3 + racine de 5 est un nombre algébrique sur Q.
Explications de quelques choses qu'on avait dit dans les exemples de
la vidéo précédente, cosinus de (Pi/11), par exemple, est un nombre algébrique,
bah oui, il appartient à Q de exponentiel de (2i(Pi)/11),
et de son conjugué exponentiel de (-2i(Pi)/11) et donc c'est
un nombre algébrique d'après le résultat précédent.
Vous pouvez généraliser évidemment.
On va finir cette vidéo par un corollaire extrêmement important et qui n'est
là encore pas facile de démonter à la main même si c'est possible.
Partons d'une extension de corps comme d'habitude, K/k et regardons l'ensemble
Kalg des éléments de K qui sont algébriques sur k,
eh bien j'affirme que c'est un sous-corps de K qui contient k.
Bon, alors, le fait qu'il contient k, ce n'est pas un scoop, c'est assez évident.
Qu'est-ce qu'il faut donc démontrer, eh bien partons de x, y des
éléments algébriques sur k, on peut les supposer non nuls, si l'on veut.
Et il s'agit de montrer la différence x-y,
le produit xy et 1/x sont algébriques sur k.
Alors, qu'est-ce que dit le théorème précédent?
Eh bien le théorème précédent, il nous dit de toute façon que k[x, y] est un corps.
Alors, dans ce corps vous avez visiblement x-y,
xy et 1/x les éléments auxquels vous vous intéressez.
D'autre part, cette extension est une extension algébrique de
k donc, elle est bien contenue dans Kalg,
puisque Kalg est l'ensemble de tous les nombres algébriques sur k.
Vous avez démontré le corollaire.
Pour finir, démontrons un résultat corollaire très utile de ce qu'il vient
d'être dit, ce que l'on appelle la transitivité des extensions de corps.
Alors, qu'est-ce que recouvre ce mot?
D'abord, quelques notations, donc on a 3 corps emboîtés les uns dans les autres L1,
L2, L3, et j'affirme d'abord que le degré de L3 sur L1
est le produit des degrés L3/L2 fois L2/L1 que ce produit soit fini
ou non, avec la règle habituelle de calculs sur les infinis.
Deuxième point, je dis que L3/L1
est finie si et seulement si à la fois L3/L2 et L2/L1 le sont.
Pour terminer, L3/L1 est algébrique si et seulement si
à la fois L3/L2 et L2/L1 le sont.
En particulier, toutes les extensions qui sont coincées entre L3 et L1,
sont algébriques, L3/L2 est algébrique,
L2/L1 sont algébriques pour autant que l'extension initiale L3/L1 est algébrique.
Alors, qu'est-ce que c'est le petit 1?
Le petit 1, c'est un cas particulier de quelque chose que vous avez eu à la
première séance, à savoir la transitivité des dimensions d'espaces vectoriels
relatives aux extensions de corps, à savoir la très jolie formule que étant
donné un espace vectoriel V3 sur L3, L3 contenant sur L1,
il peut être vu comme un espace vectoriel sur L1, mais il contient aussi L2, c'est
aussi un espace vectoriel sur L2, et on a la formule que la dimension de V3 sur L1,
c'est la dimension de V3 sur L2 fois la dimension de L2 sur L1,
hors par définition la dimension de L2 sur L1, c'est le degré.
Deuxième point, il découle de 1, bien entendu, si vous avez cette formule
de produit des degrés, bien, vous déduisez que le membre de gauche est fini,
si et seulement si le membre de droite est fini,
ce qu'il fait qu'aucun des membres n'est nul.
Bon, alors, qu'est-ce qu'il se passe pour le dernier point?
Partez d'un élément X3 de L3, si L3 sur L1 est algébrique,
bon bah, il est annulé par un certain polynôme non nul à coefficient dans L3.
Je peux regarder du coup L'2 qui est le corps engendré par L1 et les coefficients
de ce polynôme, L'3 c'est le corps engendré par L'2 et X3.
Il vous suffit d'appliquer la formule précédente non pas à L1, L2,
L3 mais à L'1, L'2, L'3, petit exercice que je vous laisse détailler.
Voilà, donc on va terminer ici cette vidéo avec tous ces résultats qui sont
importants, que nous allons utiliser souvent, qui vont vous devenir
très familiers, et qui vous le verrez seront très très utiles.
À bientôt.
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