Bonjour. Donc la dernière fois, qu'est-ce que l'on a démontré? Le dernier résultat qu'on a démontré, c'est que partant d'une extension de corps K/k et d'un élément x de K qui était algébrique, eh bien, on avait prouvé que k[x] était un espace vectoriel de dimension finie sur k. Alors, on va préciser ce résultat et démontrer que sous ces hypothèses d'algébricité de x, k(x) est non seulement un espace vectoriel de dimension finie sur k mais que c'est un corps. Alors comment on fait? Eh bien, il faut démontrer que si j'ai un élément y dans ce k[x] qui n'est pas nul, eh bien, il a un inverse, donc ça, ce n'est pas un scoop parce que K est un corps mais cet inverse dans K est en fait dans k[x], donc, c'est une expression polynomiale en les x i à coefficient dans a. Bon, alors, on a démontré que ce y était algébrique sur k, ça veut dire qu'il y a certainement un polynôme non nul à coefficient dans k qui l'annule, et on peut choisir un polynôme de degré n minimal qui annule ce y. Donc, on a une équation : somme des ai y^i, i = 0 à n, égale 0. Alors il se pourrait que le coefficient constant de l'expression polynomiale a0 soit nul, a priori. Alors, j'affirme que ce n'est pas possible, tout simplement parce que si a0 était nul, on aurait une équation an y^n, bla bla, + 1y = 0. Je mets y en facteur, y est non nul, je suis dans K, je suis dans un corps, je divise par y et j'obtiens an y^(n-1) + etc. + a1 = 0 et donc vous voyez apparaître, devant vos yeux émerveillés, un polynôme de degré n-1 à coefficient dans k qui annule y. Bah oui, c'est pas beau parce que n a été supposé minimal dans les degrés de polynômes qui annulaient y à coefficient K, c'est donc une contradiction, ce qui assure que a0 est en fait non nul. Alors ça, c'est vraiment très agréable parce que si je réécris l'équation an y^n + etc. + a1 y + a0 = 0, je fais passer a0 de l'autre côté et qu'est-ce que j'en tire, j'en tire que y^-1 est égal à- (an y^n-1 + etc. jusqu'à 1 divisé par a0), qui est une expression à coefficient dans k[y] mais y lui-même est une expression polynomiale en x, donc j'en déduis que y^-1 à son tour est une expression polynomiale à coefficient dans k[x]. Et c'est exactement dire que y^-1 appartient à k[x], et c'est finir la preuve. Alors, vous avez un joli exemple ici que je vous donne, qui est un exemple qui n'est pas facile en fait à traiter à la main. On généralise l'exemple Q de racine de 2, je vais regarder l'exemple de Q de racine cubique de 2, alors, si vous réfléchissez un petit peu, c'est l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficient dans Q de 1 racine cubique de 2, racine cubique de 4 et l'énoncé précédent vous permet de prouver sans difficulté que c'est un corps. Peut-être un joli sujet de discussion sur le forum ou exercice à faire vous-même. Alors, cette proposition se généralise comment? Bah comme ça, vous partez donc toujours d'une extension de corps et au lieu de prendre un seul élément x qui est algébrique sur k, vous prenez x1, xn qui sont des éléments algébriques sur k et bien j'affirme que l'anneau ou l'algèbre k[x1, xn], qu'on a vu la fois précédente, est un corps, qui est une extension finie donc algébrique de k d'après ce que l'on a démontré la fois précédente. Alors, comment on démontre ça, bah en fait de façon extrêmement analogue à la preuve de tout à l'heure, chaque xi est annulé par un polynôme non nul à coefficient dans k[X] qui a un certain degré, alors ce degré on l'appelle, disons, di. Comme tout à l'heure, toutes les puissances de xi sont des combinaisons linéaires à coefficient dans k de 1, x, x^2 jusqu'à x^di-1. On déduit très facilement que tous les monômes en les xi sont des combinaisons linéaires à coefficient dans k des monômes, ici x1^i1, x2^i2, xn^in où les indices sont strictement plus petits que tous les dj. Donc, si vous comptez sur votre main, sur vos doigts en tout cas, vous avez d1, d2, dn tel monôme et vous en déduisez que la dimension de k[x1, xn] est inférieure ou égale à d1, d2, dn est donc elle est finie sur k. Pour le dernier point, vous prenez x qui est dans k[x1, xn], k[x1, xn] est dimension finie sur k, d'après ce que l'on a démontré la dimension k[x] est plus petite que l'infini et du coup, grâce aux critères d'algébricité, x est algébrique et d'après ce que l'on avait dit, k[x] est un corps. Alors donnons quelques exemples d'explication spectaculaires et peut-être trop forts, mais qui ne sont pas si évident que ça quand on réfléchit à la main, comme disent les mathématiciens. Alors regardons la somme de racine de 2, racine de 3 et racine de 5. Alors ça, c'est visiblement rentré dans le cadre précédent parce que ça appartient à Q de racine de 2, racine de 3, racine de 5 et on déduit que racine de 2 + racine de 3 + racine de 5 est un nombre algébrique sur Q. Explications de quelques choses qu'on avait dit dans les exemples de la vidéo précédente, cosinus de (Pi/11), par exemple, est un nombre algébrique, bah oui, il appartient à Q de exponentiel de (2i(Pi)/11), et de son conjugué exponentiel de (-2i(Pi)/11) et donc c'est un nombre algébrique d'après le résultat précédent. Vous pouvez généraliser évidemment. On va finir cette vidéo par un corollaire extrêmement important et qui n'est là encore pas facile de démonter à la main même si c'est possible. Partons d'une extension de corps comme d'habitude, K/k et regardons l'ensemble Kalg des éléments de K qui sont algébriques sur k, eh bien j'affirme que c'est un sous-corps de K qui contient k. Bon, alors, le fait qu'il contient k, ce n'est pas un scoop, c'est assez évident. Qu'est-ce qu'il faut donc démontrer, eh bien partons de x, y des éléments algébriques sur k, on peut les supposer non nuls, si l'on veut. Et il s'agit de montrer la différence x-y, le produit xy et 1/x sont algébriques sur k. Alors, qu'est-ce que dit le théorème précédent? Eh bien le théorème précédent, il nous dit de toute façon que k[x, y] est un corps. Alors, dans ce corps vous avez visiblement x-y, xy et 1/x les éléments auxquels vous vous intéressez. D'autre part, cette extension est une extension algébrique de k donc, elle est bien contenue dans Kalg, puisque Kalg est l'ensemble de tous les nombres algébriques sur k. Vous avez démontré le corollaire. Pour finir, démontrons un résultat corollaire très utile de ce qu'il vient d'être dit, ce que l'on appelle la transitivité des extensions de corps. Alors, qu'est-ce que recouvre ce mot? D'abord, quelques notations, donc on a 3 corps emboîtés les uns dans les autres L1, L2, L3, et j'affirme d'abord que le degré de L3 sur L1 est le produit des degrés L3/L2 fois L2/L1 que ce produit soit fini ou non, avec la règle habituelle de calculs sur les infinis. Deuxième point, je dis que L3/L1 est finie si et seulement si à la fois L3/L2 et L2/L1 le sont. Pour terminer, L3/L1 est algébrique si et seulement si à la fois L3/L2 et L2/L1 le sont. En particulier, toutes les extensions qui sont coincées entre L3 et L1, sont algébriques, L3/L2 est algébrique, L2/L1 sont algébriques pour autant que l'extension initiale L3/L1 est algébrique. Alors, qu'est-ce que c'est le petit 1? Le petit 1, c'est un cas particulier de quelque chose que vous avez eu à la première séance, à savoir la transitivité des dimensions d'espaces vectoriels relatives aux extensions de corps, à savoir la très jolie formule que étant donné un espace vectoriel V3 sur L3, L3 contenant sur L1, il peut être vu comme un espace vectoriel sur L1, mais il contient aussi L2, c'est aussi un espace vectoriel sur L2, et on a la formule que la dimension de V3 sur L1, c'est la dimension de V3 sur L2 fois la dimension de L2 sur L1, hors par définition la dimension de L2 sur L1, c'est le degré. Deuxième point, il découle de 1, bien entendu, si vous avez cette formule de produit des degrés, bien, vous déduisez que le membre de gauche est fini, si et seulement si le membre de droite est fini, ce qu'il fait qu'aucun des membres n'est nul. Bon, alors, qu'est-ce qu'il se passe pour le dernier point? Partez d'un élément X3 de L3, si L3 sur L1 est algébrique, bon bah, il est annulé par un certain polynôme non nul à coefficient dans L3. Je peux regarder du coup L'2 qui est le corps engendré par L1 et les coefficients de ce polynôme, L'3 c'est le corps engendré par L'2 et X3. Il vous suffit d'appliquer la formule précédente non pas à L1, L2, L3 mais à L'1, L'2, L'3, petit exercice que je vous laisse détailler. Voilà, donc on va terminer ici cette vidéo avec tous ces résultats qui sont importants, que nous allons utiliser souvent, qui vont vous devenir très familiers, et qui vous le verrez seront très très utiles. À bientôt.
