Lección L2.2. (2/2) Álgebra de Boole

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Do curso por Universitat Autònoma de Barcelona

Sistemas Digitales: De las puertas lógicas al procesador

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Universitat Autònoma de Barcelona

Sistemas Digitales: De las puertas lógicas al procesador

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En este curso aprenderemos los fundamentos del diseño de los circuitos digitales actuales, siguiendo una orientación eminentemente práctica. A diferencia de otros cursos más "clásicos" de Circuitos Digitales, nuestro interés se centrará más en el Sistema que en la Electrónica que lo sustenta. Este enfoque nos permitirá sentar las bases del diseño de Sistemas Digitales complejos. Se trata de un curso muy adecuado para estudiantes de primeros cursos de carreras de Ingenierías cercanas a las TIC (Tecnologías de la Información y de las Comunicaciones), y para todas aquellas personas que deseen introducirse en el mundo de los Sistemas Digitales. Por otra parte, este primer curso de Sistemas Digitales es un paso obligado para aquellas personas que deseen posteriormente profundizar en temas como el hardware de computadores y/o los circuitos integrados de aplicación específica, con todas las aplicaciones que ello implica (robótica, biónica, control industrial, etc.). Al acabar el curso serás capaz de: * Diseñar Sistemas Digitales de complejidad media. * Comprender la descripción de Sistemas Digitales mediante lenguajes de alto nivel como VHDL. * Comprender el funcionamiento de los computadores a su nivel más básico (lenguaje máquina), así como su materialización e interpretación a través de sistemas digitales algorítmicos. ACLARACIONES * Puedes realizar el curso de manera gratuita. Con ello puedes acceder a todo los contenidos (vídeos, lecturas, cuestionarios, foros). Sin embargo, no permite la opción de obtener un certificado. * Obtener el certificado implica cumplir una serie de requisitos, entre los cuales, abonar el coste asociado.

Na lição

Circuitos Combinacionales (I)

<b><font size=4 color=#B22222><b>Clicka en "v Más" para leer cuales son los objetivos de este módulo</b></font> </b><br/><br/><b>TEMA 2:</b><br/>En este módulo estudiaremos los circuitos combinacionales. Lee el "Índice de las lecciones" para más información. <br/><b><i>Para resolver los ejercicios de este módulo necesitarás utilizar VerilUOC_Desktop. El apartado VerilUOC_Desktop de esta misma semana (tema-semana 2) contiene unos vídeos explicativos, una wiki y unas FAQs que te ayudarán a trabajra con estas herramientas</b></i>.

Lección L2.2 (1/2) Álgebra de Boole11:25

Lección L2.2. (2/2) Álgebra de Boole10:15

Conheça os instrutores

Elena Valderrama
Professor
Departamento de Microelectrónica y Sistemas Electrónicos. UAB.
Jean-Pierre Deschamps
Professor
Lluis Terés
Professor
Centro Nacional de Microelectrónica del CSIC
Merce Rullan
ProfesoraTitular
Departamento de Microelectrónica y Sistemas Electrónicos. UAB.
Joaquín Saiz Alcaine
Ingeniero Informático
Departamento de Microelectrónica y Sistemas Electrónicos. UAB.
David Bañeres
Profesor Agregado
Estudios de Informática, Multimedia y Telecomunicación. UOC.
Juan Antonio Martínez
Collaborator
APSI - UAB

Para ver como liga todo esto que estamos contando de las funciones

booleanas con los circuitos digitales, vamos a hacernos dos preguntas.

La primera pregunta es, ¿dada una función booleana,

yo puedo representar esta función booleana por una tabla de verdad?

Y la respuesta es obviamente es que s[i, yo lo que puedo hacer es poner las

variables de entrada, la función y decir pues por ejemplo,

cuando los tres valores son cero, aquí voy a tener un

cero por el inverso de cero más el inverso de cero por cero.

Cero por, bueno en este caso bueno vamos a hacer explícitamente cero

por uno más uno por cero y esto es igual a cero.

Por ejemplo dice cuando la combinación de entradas sea cero,

uno, cero, ¿qué voy a tener?

Voy a tener la b que es uno, multiplicado por el inverso de c,

más el inverso del a, multiplicado por el b.

Esto es uno por uno, más uno por uno y esto es uno.

Los resultados es uno, etcétera.

Así podría ir rellenando ¿eh?,

toda la tabla.

Tabla que tenemos aquí, o sea, realmente la respuesta a esta pregunta es que sí,

que toda función booleana la podemos representar por una tabla de verdad.

Ahora vamos a hacernos la pregunta inversa, ¿eh?

. A partir de una tabla de verdad,

¿yo puedo encontrar una función booleana equivalente a esa tabla de verdad?

Y la respuesta es sí,

pero para ver cómo, necesitamos primero unas pocas definiciones.

En primer lugar definimos, un literal como cualquier variable o su inversa.

Si estamos trabajando con una función de tres variables, c es un literal,

b es un literal, pero también a barra es un literal o b barra es un literal.

La segunda definición es el concepto de minterm de n variables.

Cualquier minterm de n variables es cualquier producto de n literales tal que,

cada variable aparece una sola vez.

Por ejemplo, para n igual a tres cualquier producto de a,

b y c, cada una de ellas negadas o sin negar es un minterm.

Aquí tenemos ejemplos de minterms.

Los minterms de n variables cumplen que cada uno de ellos toma

el valor uno para una única combinación de valores de las variables a, b y c.

Por ejemplo, el minterm a barra por b barra por c

barra sólo toma el valor uno cuando a, b y c valen cero, cero, cero.

Cualquier otra combinación de las variables a, b,

c hacen que el producto de a barra, por b barra, por c barra sea cero ¿eh?

Por ejemplo el minterm a barra,

b c sólo toma el valor uno cuando la a es cero, la b es uno y la c es uno.

¿Por qué?

Pues porque el minterm es el producto de la a negada, por la b,

por la c que es igual a uno, por uno, por uno que es uno.

Fijaros que por ejemplo, si yo quiero encontrar el minterm que toma el valor uno

cuando las variables son uno, cero, uno no tengo más que poner las tres variables y

negar aquella que toma el valor cero.

Pues este sería por ejemplo el a, b, c barra.

Porque es aquí donde está el cero.

Bueno aquí tenéis todos los minterms y tenéis la asociación de qué valores de

las variables hacen que tomen el valor uno.

Precisamente por esto, se utiliza esta propiedad para nombrar a los minterms

y decir este minterm lo voy a llamar el minterm cero, a barra, b barra, c barra.

Porque cuando las variables toman el valor cero es

cuando este minterm se me hace uno.

Este minterm lo voy a llamar el minterm tres.

¿Por qué?

Porque sólo cuando las variables a, b y c toman el valor tres en decimal el cero,

uno, uno es cuando esta combinación del producto a barra,

por b barra, por c se me hace uno.

Aquí tenéis otra vez pues ahora todas, todas las equivalencias.

Dice el como se denominaría cada uno de los minterms.

Fijaros que en general,

si yo hablo del minterm siete, del minterm seis por ejemplo.

La manera de saber a qué producto corresponde sería yo cojo el seis me lo

escribo en binario y entonces digo bueno pues este es el producto de a, b,

c dónde la c es la que estará negada.

Es este minterm seis.

Aquí os dejo con un ejercicio.

Una última definición.

¿Qué es un minterm de una función booleana?

Una función booleana n variables,

aquí tenemos una función booleana de tres variables.

Y definimos un minterm de esta función como aquéllos minterms que

coinciden con los unos de la función.

Es decir, esta función tiene tres minterms.

El minterm dos.

Porque es la combinación de variables que haría que el minterm tomará

valor uno que es el a por b, c y niego el a y el c,

porque son las variables corresponde que toman un valor cero.

El minterm tres y el minterm seis.

Toda función booleana,

se puede representar de una manera única como la suma de sus minterms.

Esto es lo que me permite pasar de una tabla de verdad a una función booleana.

Exactamente, a esta representación se le

llamaba representación canónica en suma de productos de la función.

Con esto, yo you tengo una manera de

construir un circuito digital a partir de una ecuación booleana.

O mejor aún, a partir de su descripción funcional.

Fijaros dice desde la descripción funcional yo puedo obtener la tabla de

verdad, cosa que hemos hecho.

De la tabla de verdad puedo obtener su representación canónica en suma de

productos, en suma de minterms en concreto, sería esta.

Aquí utilizando las propiedades de la álgebra de Boole,

yo puedo simplificar la función booleana y por ejemplo, he hecho aquí una

simplificación que me ha dado esta función que es totalmente equivalente a esta.

Y cuando you tengo la función simplificada yo puedo construir un

circuito que la implementa, porque he visto las equivalencias de

las operaciones booleanas con las puertas lógicas.

¿Vale?

De forma que, fijaros que ahora you

sé a partir de una descripción funcional de un problema,

yo sé construir you un circuito digital que lo implementa.

Hay que decir que, dada una representación funcional e

incluso dada una tabla de verdad existen más,

en general puede existir más de un circuito que lo implementa.

Lo que se trata siempre es de conseguir el circuito más

simplificado posible, que utilice menos puertas lógicas y para eso utilizamos las

propiedades del álgebra de Boole para saber simplificar la función booleana.

Vamos a ver un ejemplo completo de diseño de un módulo.

Recordad, queríamos construir un sumador capaz de sumar números de cuatro bits.

Lo primero que hicimos fue definir un módulo más sencillo,

el sumador de un bit capaz de sumar números de un bit y esta

definición nos permitió describir estructuralmente el sumador

de cuatro bits como la concatenación de cuatro sumadores de un bit.

Posteriormente, cada uno de estos sumadores de un

bit los describimos funcionalmente.

Cogemos el sumador de un bit, obtuvimos su descripción funcional, esta descripción

funcional nos permite construir la tabla de verdad de este circuito.

Y de la tabla de verdad somos capaces de

sacar las ecuaciones booleanas que implementan esta tabla.

Minimizando si es necesario estas ecuaciones booleanas a base de utilizar

las propiedades del álgebra de Boole, podemos llegar a construir el

circuito que nos representa este pequeño módulo sumador de un bit.

Y por supuesto, el sumador de cuatro bits se construiría

concatenando cuatro conjuntos de módulos como éste.

Así pues, you para acabar en esta,

en este tema de esta segunda semana hemos visto, hemos definido el álgebra de Boole.

Hemos visto sus postulados y algunas propiedades que nos van a ser

útiles para simplificar funciones.

Hemos visto que cualquier función booleana se

puede representar en una tabla de verdad.

Y hemos visto cómo obtener a partir de una tabla,

cómo obtener la función booleana equivalente, utilizando el concepto de

minterm y definiendo lo que hemos llamado la forma canónica de suma de productos.

Finalmente y seguramente lo más importante, hemos visto cómo a partir de

una descripción funcional particular, nosotros podemos crear la tabla de verdad.

La tabla de verdad nos permite definir las funciones booleanas que lo implementan

y a partir de aquí podemos llegar a diseñar el circuito que deseamos.

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