Nichols-Black/Bode de 2ª e 3ª ordem. Estender relações entre ωc e ωn e entre ξ e PM de sistema de 2ª ordem do Tipo 1 para qualquer sistema.

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Do curso por Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle Usando a Resposta em Frequência

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Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle Usando a Resposta em Frequência

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Neste curso você aprenderá a obter a resposta em frequência de um sistema Linear e Invariante no Tempo (LIT) e a usá-la para projetar controladores que atinjam requisitos de reposta transitória e em regime estacionário. Você aprenderá a obter o diagrama de Bode a partir de dados de amplitude e fase de entradas e saídas senoidais. Também será capaz de esboçar o diagrama de Bode de um sistema dada a sua função de transferência. Outrossim, será capaz de representar a resposta em frequência na carta de Nichols-Black. A fim de se determinar a estabilidade do sistema, você aprenderá a aplicar o critério de Nyquist, que faz uso da resposta em frequência em malha aberta e permite determinar se um sistema será estável em malha fechada. Ao fim do curso, você será capaz de projetar controladores com dinâmica, isto é, com polos e zeros, portanto mais complexos do que um simples ganho de realimentação. Essa flexibilidade permitirá que você projete controladores para satisfazer simultaneamente requisitos de sobressinal e tempo de resposta que seriam impossíveis de atender com um simples ganho. Também poderá com isso alterar as características da resposta em regime estacionário, aumentando as constantes de erro sem alterar (muito) a resposta transitória. Por fim, você aprenderá a projetar controladores do tipo PD, PI e PID, que estão entre os mais disseminados em aplicações de engenharia de controle.

Na lição

Carta de Nichols-Black. Especificação de desempenho no domínio da frequência.

Você aprenderá a representar a resposta em frequência graficamente de outra maneira: a carta de Nichols-Black. Você será capaz de relacionar a amplitude do pico de ressonância da resposta em frequência de malha com o fator de amortecimento do sistema em malha fechada. Também será capaz de relacionar a frequência de cruzamento de 0 dB em malha aberta com a frequência natural em malha fechada. Assim, poderá projetar controladores proporcionais para atingir sobressinal desejado ou tempo de resposta requerido, apenas a partir da resposta em frequência de malha aberta do sistema.

Bode de malha aberta x Bode de malha fechada: cálculo ponto a ponto?5:08

A carta de Nichols-Black3:34

O cruzamento de 0dB e a PM na Carta de Nichols-Black: efeito do ajuste de ganho.3:09

Bode e Nichols-Black de 2ª ordem, visualizando a relação entre Margem de Fase em MA e o pico de ressonância em MF e entre ωc em MA e ωn em MF.4:48

Nichols-Black/Bode de 2ª e 3ª ordem. Estender relações entre ωc e ωn e entre ξ e PM de sistema de 2ª ordem do Tipo 1 para qualquer sistema.6:08

Conheça os instrutores

Rubens Junqueira Magalhães Afonso
Professor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Jackson Paul Matsuura
Professor Associado
Departamento de Sistemas e Controle

Olá.

Até agora você aprendeu a usar o diagrama de Bode e a carta de

Nichols-Black para sistemas de 2ª ordem com 1 polo no 0, a fim

de prever o comportamento malha fechada a partir dos dados de malha aberta.

Neste vídeo você vai ver que podemos usar o que se aplica a esses sistemas,

com relativa precisão, também para sistemas de 2ª ordem do tipo 0,

isto é, sem polos no 0 e mesmo para sistemas de 3ª ordem.

Vamos começar com sistema de 2ª ordem qualquer: G de s igual

a K sobre s menos p1 vezes s menos p2.

Para este exemplo, vamos escolher K igual a 3,

p1 igual a menos 0,02 e p2 igual a menos 1.

O diagrama de Bode ficará como na figura.

A frequência de cruzamento de 0 dB é cerca de 1,7 radianos por segundo,

quando a fase vale menos 148 graus.

Agora, olhando a resposta ao degrau unitário, identifica-se que

o tempo de subida foi de 1,1 segundos e sobressinal de cerca de 37%.

Vamos fazer as contas supondo que as aproximações válidas para

sistemas de 2ª ordem do tipo 1 também são válidas nesse caso.

Xsi será aproximadamente margem de fase PM sobre 100,

que é igual a 0,32 e ômega n aproximadamente frequência de cruzamento

do 0 dB, ômega c, igual a 1,7 radianos por segundo.

De onde podemos calcular o sobressinal e o tempo de subida como MP

igual a "e" elevado a menos pi xsi sobre raiz de 1 menos xsi ao quadrado,

que é igual a "e" elevado a menos pi 0,32 sobre raiz de 1 menos

0,32 ao quadrado que é igual a 0,35.

E t r tempo de subida, que é igual a pi menos arco cosseno de xsi

sobre ômega n vezes a raiz quadrada de 1 menos xsi ao quadrado,

que será igual a pi menos arco cosseno de 0,32 sobre 1,7 vezes

raiz quadrada de 1 menos 0,32 ao quadrado, o que dá 1,2 segundos.

E nos dá os resultados que tivemos com boa aproximação.

No que diz respeito à carta de Nichols-Black, que está na figura,

você pode ver que a curva está entre os lugares geométricos de 3 dB e 6 dB.

Vamos admitir que tangenciem 5 dB, como esse é o maior ganho visto,

isso significa que o pico de ressonância vale 5 dB.

Relembrando a fórmula M r função de xsi, M r é igual a 1 sobre

2 vezes xsi vezes a raiz de 1 menos xsi ao quadrado para xsi menor ou igual a 0,7.

E convertendo 5 dB para o seu valor módulo,

teremos 1,78 que será igual a 1 sobre 2

vezes xsi vezes a rais de 1 menos xsi ao quadrado,

de onde 12,7 vezes xsi ao quadrado vezes 1 menos xsi ao quadrado igual a 1,

de onde 12,7 xsi à 4ª menos 12,7 xsi ao quadrado mais 1 igual a 0.

Resolvendo, teremos as soluções xsi igual a 0,3 e xsi igual a 0,96.

A 2ª será descartada, porque assumimos que xsi é menor do que 0,7.

Com isto teríamos o sobressinal de Mp igual a e e elevado

a menos pi xsi sobre a raiz de 1 menos xsi ao quadrado que é igual a menos

pi 0,30 sobre a raiz de 1 menos 0,30 ao quadrado, que dá 0,37.

A partir desses resultados, temos que as aproximações podem ser feitas

para esse caso, tendo mente que devemos obter os resultados menos exatos.

Muito bem!

Agora você já sabe bem o que fazer ao encontrar sistema de 2ª ordem.

Mas o que dizer de sistemas de ordens superiores?

Vamos estudar o caso de sistema de 3ª ordem: G de s igual a K sobre s

menos p1 vezes s menos p2 vezes s menos p3.

Tomando K igual a 60, p1 igual

a menos 0,02, p2 igual a menos 1 e p3

igual a menos 15, vamos usar o diagrama de Bode para fazer as nossas contas.

A frequência de cruzamento de 0 dB é de aproximadamente 1,8 radianos por segundo.

Já a margem de fase é de 22 graus.

Vejamos se as relações para sistemas do tipo 1 também são

válidas nesse caso: xsi aproximadamente PM sobre 100 será igual a 0,22,

ômega n aproximadamente ômega c igual a 1,8 radianos por segundo.

Mp igual a e elevado a menos pi 0,22 sobre

a raiz de 1 menos 0,22 ao quadrado igual a 0,5

e t r igual a pi menos arco cosseno de 0,22 sobre

1,8 vezes a raiz de 1 menos 0,22 ao quadrado igual a 1 segundo.

Simulando o sistema malha fechada para uma entrada degrau unitário,

o que temos é mostrado na figura, onde se nota sobressinal de 54% e

tempo de subida de 1 segundo confirmando mais uma vez a validade,

mesmo que limitada, de nossas aproximações.

Agora você aprendeu que, com algum cuidado, pode estender as

traduções de parâmetros da resposta frequência de malha aberta para malha

fechada também para sistemas de 2ª ordem gerais e mesmo sistemas de 3ª ordem.

Nos próximos vídeos, vamos usar as observações feitas até

agora para realizar o projeto de ganho de realimentação proporcional de forma

a atender requisitos de frequência natural malha fechada ou de margem de fase,

isto é, requisitos relacionados ao tempo de subida,

acomodação ou pico ou de sobressinal.

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