Olá. Até agora você aprendeu a usar o diagrama de Bode e a carta de Nichols-Black para sistemas de 2ª ordem com 1 polo no 0, a fim de prever o comportamento malha fechada a partir dos dados de malha aberta. Neste vídeo você vai ver que podemos usar o que se aplica a esses sistemas, com relativa precisão, também para sistemas de 2ª ordem do tipo 0, isto é, sem polos no 0 e mesmo para sistemas de 3ª ordem. Vamos começar com sistema de 2ª ordem qualquer: G de s igual a K sobre s menos p1 vezes s menos p2. Para este exemplo, vamos escolher K igual a 3, p1 igual a menos 0,02 e p2 igual a menos 1. O diagrama de Bode ficará como na figura. A frequência de cruzamento de 0 dB é cerca de 1,7 radianos por segundo, quando a fase vale menos 148 graus. Agora, olhando a resposta ao degrau unitário, identifica-se que o tempo de subida foi de 1,1 segundos e sobressinal de cerca de 37%. Vamos fazer as contas supondo que as aproximações válidas para sistemas de 2ª ordem do tipo 1 também são válidas nesse caso. Xsi será aproximadamente margem de fase PM sobre 100, que é igual a 0,32 e ômega n aproximadamente frequência de cruzamento do 0 dB, ômega c, igual a 1,7 radianos por segundo. De onde podemos calcular o sobressinal e o tempo de subida como MP igual a "e" elevado a menos pi xsi sobre raiz de 1 menos xsi ao quadrado, que é igual a "e" elevado a menos pi 0,32 sobre raiz de 1 menos 0,32 ao quadrado que é igual a 0,35. E t r tempo de subida, que é igual a pi menos arco cosseno de xsi sobre ômega n vezes a raiz quadrada de 1 menos xsi ao quadrado, que será igual a pi menos arco cosseno de 0,32 sobre 1,7 vezes raiz quadrada de 1 menos 0,32 ao quadrado, o que dá 1,2 segundos. E nos dá os resultados que tivemos com boa aproximação. No que diz respeito à carta de Nichols-Black, que está na figura, você pode ver que a curva está entre os lugares geométricos de 3 dB e 6 dB. Vamos admitir que tangenciem 5 dB, como esse é o maior ganho visto, isso significa que o pico de ressonância vale 5 dB. Relembrando a fórmula M r função de xsi, M r é igual a 1 sobre 2 vezes xsi vezes a raiz de 1 menos xsi ao quadrado para xsi menor ou igual a 0,7. E convertendo 5 dB para o seu valor módulo, teremos 1,78 que será igual a 1 sobre 2 vezes xsi vezes a rais de 1 menos xsi ao quadrado, de onde 12,7 vezes xsi ao quadrado vezes 1 menos xsi ao quadrado igual a 1, de onde 12,7 xsi à 4ª menos 12,7 xsi ao quadrado mais 1 igual a 0. Resolvendo, teremos as soluções xsi igual a 0,3 e xsi igual a 0,96. A 2ª será descartada, porque assumimos que xsi é menor do que 0,7. Com isto teríamos o sobressinal de Mp igual a e e elevado a menos pi xsi sobre a raiz de 1 menos xsi ao quadrado que é igual a menos pi 0,30 sobre a raiz de 1 menos 0,30 ao quadrado, que dá 0,37. A partir desses resultados, temos que as aproximações podem ser feitas para esse caso, tendo mente que devemos obter os resultados menos exatos. Muito bem! Agora você já sabe bem o que fazer ao encontrar sistema de 2ª ordem. Mas o que dizer de sistemas de ordens superiores? Vamos estudar o caso de sistema de 3ª ordem: G de s igual a K sobre s menos p1 vezes s menos p2 vezes s menos p3. Tomando K igual a 60, p1 igual a menos 0,02, p2 igual a menos 1 e p3 igual a menos 15, vamos usar o diagrama de Bode para fazer as nossas contas. A frequência de cruzamento de 0 dB é de aproximadamente 1,8 radianos por segundo. Já a margem de fase é de 22 graus. Vejamos se as relações para sistemas do tipo 1 também são válidas nesse caso: xsi aproximadamente PM sobre 100 será igual a 0,22, ômega n aproximadamente ômega c igual a 1,8 radianos por segundo. Mp igual a e elevado a menos pi 0,22 sobre a raiz de 1 menos 0,22 ao quadrado igual a 0,5 e t r igual a pi menos arco cosseno de 0,22 sobre 1,8 vezes a raiz de 1 menos 0,22 ao quadrado igual a 1 segundo. Simulando o sistema malha fechada para uma entrada degrau unitário, o que temos é mostrado na figura, onde se nota sobressinal de 54% e tempo de subida de 1 segundo confirmando mais uma vez a validade, mesmo que limitada, de nossas aproximações. Agora você aprendeu que, com algum cuidado, pode estender as traduções de parâmetros da resposta frequência de malha aberta para malha fechada também para sistemas de 2ª ordem gerais e mesmo sistemas de 3ª ordem. Nos próximos vídeos, vamos usar as observações feitas até agora para realizar o projeto de ganho de realimentação proporcional de forma a atender requisitos de frequência natural malha fechada ou de margem de fase, isto é, requisitos relacionados ao tempo de subida, acomodação ou pico ou de sobressinal.