Olá.
Vamos agora fazer projeto completo de avanço de fase,
de modo a satisfazer os requisitos de tempo de resposta e sobressinal.
O sistema é dado por G de s igual
a 0,005 sobre s vezes s mais 0,05
Os requisitos são: tempo de subida menor ou
igual a 18 segundos sobressinal menor ou igual a 0,3 ou 30%.
Esses requisitos resultam csi maior ou igual a 0,35,
o que implica uma margem de fase maior do que 35 graus e ómega c
maior ou igual a 0,11 radianos por segundo.
Escolhemos os extremos dos intervalos csi igual
a 0,35 e ómega c igual a 0,11 radianos por segundo.
Para acomodar os efeitos de aproximações tomaremos 5 graus na margem de fase.
Margem de fase igual a 35 graus mais 5 graus, 40 graus no total.
O diagrama de Bode do sistema sem compensador é mostrado
a seguir que a frequência de cruzamento do zero desejada foi marcada.
Vemos que o ganho nessa frequência é de cerca de -9,2 dB e a fase
de aproximadamente menos 157 graus, resultando uma margem de fase de 23 graus.
Isto é, apenas com ganho é impossível atingir os requisitos.
Seguindo o nosso procedimento,
vamos calcular o avanço de fase que o compensador deve fornecer.
Fi é igual a margem de fase menos a fase de G de J ómega
c menos 180 graus que é igual a 4 graus mais 157
graus menos 180 graus, resultando 17 graus.
Para que o máximo seja de 17 graus deve-se ter alfa igual
a 1 menos seno de 17 graus sobre 1 mais seno de 17 graus, que é igual a 0,54.
A fim de que a frequência para máximo avanço seja ómega
c é necessário que T igual a 1 sobre ómega c vezes raiz de alfa que
é igual a 1 sobre 0,11 vezes raiz de 0,54, que dá aproximadamente 12.
Então, o ganho do compensador nessa frequência será igual a 1 sobre
raiz de alfa que é igual a 1,35.
Assim, o ganho para fazer com que o cruzamento do zero ocorra 0,11
radianos por segundo será K dB igual a 10 log de
alfa menos módulo de G de j ómega c dB,
que é igual a 10 log de 0,54 menos módulo de G de 0,11 j
dB que é igual a menos 2,7 mais 9,2 resultando 6,5 dB.
Com isso, K será igual a 10 elevado a K dB sobre 20,
o que dá 2,1 e o compensador será C de s igual
a 2,1 vezes 12 s mais 1 sobre 6,5 s mais 1.
Os diagramas de Bode para o sistema com compensador são mostrados a seguir.
Nestas figuras, pode-se ver que o projeto foi bem sucedido tanto
impor a margem de fase desejada quanto a frequência de cruzamento de 0 dB.
A seguir, botam-se os diagramas antes e depois da compensação
no mesmo gráfico para comparação Por fim, simulando a resposta do
sistema malha fechada para uma entrada de grau unitário, temos esse gráfico.
Nota-se que o sobressinal é de 0,3 e o tempo
de subida é de cerca de 16 segundos, atendendo os requisitos.
Agora, você já deve ser capaz de repetir esses passos para outros sistemas.
Construa outros exemplos e pratique com requisitos distintos,
como o tempo de acomodação e o tempo de pico.
No próximo vídeo, você verá como tratar do comportamento regime estacionário
alterando o ganho para baixas frequências de maneira a obter valor aceitável de
erro regime estacionário sem prejudicar o comportamento no regime transitório.