Definição da margem de fase. Efeito do ajuste do ganho no diagrama de Bode.

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Do curso por Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle Usando a Resposta em Frequência

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Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle Usando a Resposta em Frequência

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Neste curso você aprenderá a obter a resposta em frequência de um sistema Linear e Invariante no Tempo (LIT) e a usá-la para projetar controladores que atinjam requisitos de reposta transitória e em regime estacionário. Você aprenderá a obter o diagrama de Bode a partir de dados de amplitude e fase de entradas e saídas senoidais. Também será capaz de esboçar o diagrama de Bode de um sistema dada a sua função de transferência. Outrossim, será capaz de representar a resposta em frequência na carta de Nichols-Black. A fim de se determinar a estabilidade do sistema, você aprenderá a aplicar o critério de Nyquist, que faz uso da resposta em frequência em malha aberta e permite determinar se um sistema será estável em malha fechada. Ao fim do curso, você será capaz de projetar controladores com dinâmica, isto é, com polos e zeros, portanto mais complexos do que um simples ganho de realimentação. Essa flexibilidade permitirá que você projete controladores para satisfazer simultaneamente requisitos de sobressinal e tempo de resposta que seriam impossíveis de atender com um simples ganho. Também poderá com isso alterar as características da resposta em regime estacionário, aumentando as constantes de erro sem alterar (muito) a resposta transitória. Por fim, você aprenderá a projetar controladores do tipo PD, PI e PID, que estão entre os mais disseminados em aplicações de engenharia de controle.

Na lição

Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

Neste módulo você verá que a resposta de sistemas lineares e invariantes no tempo a uma uma entrada senoidal é também uma saída senoidal, com mesma frequência, decorrido certo tempo. Esse fato será usado para motivar a obtenção da resposta em frequência de um sistema, isto é, relacionar a amplitude e fase da senoide de saída com características do sistema linear e com a frequência das senoides. Em seguida, essa resposta será usada para projeto de sistemas de controle com um ganho proporcional de modo a atender requisitos de sobressinal.

Definição da margem de fase. Efeito do ajuste do ganho no diagrama de Bode.5:38

Relação da margem de fase em malha aberta com o sobressinal da resposta em malha fechada.3:55

Projetando o ganho de controle proporcional com a margem de fase para satisfazer requisito de sobressinal.4:18

Conheça os instrutores

Rubens Junqueira Magalhães Afonso
Professor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Jackson Paul Matsuura
Professor Associado
Departamento de Sistemas e Controle

Olá!

Neste vídeo você verá que podemos estimar a margem de estabilidade

do sistema malha fechada a partir dos diagramas de Bode do sistema malha aberta.

Aprenderá também a computar como uma alteração no ganho do sistema afeta essas

margens de estabilidade.

Vamos começar aprofundando a nossa discussão sobre a resposta frequência.

Você já viu que os polos de sistema são números complexos,

podem ou não ter parte imaginária nula.

Quando os polos estão do lado esquerdo do plano complexo o sistema é estável,

porém quando estão do lado direito do eixo imaginário ou mesmo sobre o próprio eixo,

o sistema é instável.

Os polos do sistema com realimentação unitária são as soluções de 1

mais G de s igual 0, visto que a função de transferência de

malha fechada tem denominador 1 mais G de s.

Para encontrar os polos devemos ter G de s igual a menos 1 que é

número real negativo, isto é tem módulo 1 e fase menos 180.

Então devemos ter módulo de G de s igual a 1 e fase de G de s igual

a menos 180 graus.

ao avaliar G de jota ômega estamos verificando o valor de G na

reta entre os semiplanos estável e instável,

isto é, quando o sistema está no limiar da estabilidade.

Se houver algum valor de ômega para p qual módulo de G de jota ômega

igual a 1 e fase de G de jota ômega igual a menos 180 graus,

então os polos do sistema malha fechada com realimentação unitária podem

cruzar o eixo imaginário, este é ponto crítico.

Tipicamente teremos o diagrama de Bode do sistema com 2 frequências distintas: ômega

c, quando o módulo vale 1 (módulo de G de jota ômega c igual a 1) e ômega f, quando

a fase vale menos 180 graus (fase de G de jota ômega f igual a menos 180 graus).

Como neste gráfico ao lado que ômega c é menor que ômega f No gráfico do

módulo marcamos ômega c quando o módulo vale 0 dB, que equivale a ganho de 1.

No gráfico da fase marcamos ômega f quando a fase vale menos 180 graus.

A medida do ângulo que falta para que ômega c seja

ponto crítico é chamada margem de fase.

No caso de ômega f, a fase já é menos 180 graus mas o quanto

falta para o ganho ser unitário é a chamada margem de ganho.

Lembre que o diagrama de Bode que construímos tem ganho dB,

então o módulo unitário aqui vale 0 dB,

veja as imagens na figura ao lado.

A margem de fase nesse caso é dado por PM igual a fase

de G de jota ômega c mais 180 graus, que é igual a 77 graus,

que PM vem do inglês "Phase Margin".

Já a margem de ganho é GM igual a menos módulo de G de jota ômega f dB,

que é igual a 30 dB, que GM vem da expressão Gain Margin, inglês.

Nesse sistema a margem de fase positiva significa que o sistema ainda tem

alguma folga antes de se tornar instável, já a margem de ganho positiva indica

que o ganho pode ser aumentado até 30 dB sem instabilizar o sistema.

Essas medidas nos dão uma ideia do grau de estabilidade de sistema.

É claro que, como estamos considerando uma de cada vez separadamente,

isto é uma aproximação.

O que acontece se multiplicarmos G de s por ganho K maior do que 0?

Para fazer o diagrama de Bode teremos: módulo de K vezes G

de jota ômega dB que é igual ao módulo de K dB mais o módulo de G de jota ômega dB,

que é igual a 20 log de K mais módulo de G de jota ômega dB.

Isso significa que o diagrama de Bode de ganho é o mesmo de G de jota

ômega mas transladado de 20 log de K.

Quanto à fase, a fase de K vezes de G de jota ômega é igual à fase de

K mais a fase de G de jota ômega, que será igual à fase de G de jota ômega

visto que a fase de K é 0 para K positivo, então o gráfico de fase não

se altera Vamos investigar o que acontece se eu aplicar ganho K maior do que 1.

Como o valor do logaritmo é positivo,

a curva de ganho será transladada para cima como vemos na figura ao lado.

Azul a curva antes da translação e cores laranja a curva depois da translação.

Como a forma da curva não muda, nem a curva de fase se altera,

a frequência ômega c é aumentada e a margem de fase PM é diminuída,

nesse caso para cerca de 45 graus.

como vemos nos gráficos ao lado,

que mantivemos as antigas ômega c e PM para comparação.

De maneira similar, se tivéssemos usado K menor do

que 1 a curva seria transladada para baixo, causando uma diminuição na

frequência de cruzamento de 0 dB e aumento na margem de fase.

Agora você já sabe como medir a margem de fase e de ganho no

diagrama de Bode e também sabe como uma alteração no ganho do sistema

afeta as curvas de ganho e fase e também suas margens.

No próximo vídeo você vai ser capaz de relacionar a margem de fase malha

aberta com sobre sinal malha fechada, passando a poder usar o diagrama de Bode

de malha aberta para prever qual será o sobre sinal da resposta malha fechada.

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