[MÚSICA] Salve, salve! Chegou a hora de a gente dar uma olhada mais de perto na questão da conectância. [MÚSICA] Nessa aula, eu quero aprofundar conceito de conectividade, e além disso explicar conectância, que é uma das formas mais comuns de medir conectividade. [MÚSICA] Vamos imaginar então grafo que começa com apenas único vértice. Ele não pode fazer conexão com ninguém, naturalmente. Se eu colocar segundo vértice aqui, passa a ser possível haver uma aresta entre eles, haver uma conexão entre eles. Se eu coloco terceiro vértice neste grafo, aí pode se conectar com o primeiro, pode se conectar com o segundo. Notem que nessa tríade aqui formada, todas nas conexões possíveis, de fato ocorrem no grafo. E se chegar a quarto vértice? Ele pode se conectar com os demais que já existiam. Neste caso aqui, nós temos clique, todas as conexões possíveis, de fato ocorrem. Notaram que o número de conexões possíveis vai aumentando rápido conforme a gente cresce o tamanho do grafo? Olha só, se eu colocar mais dois vértices neste grafo, o número de conexões possíveis ou potenciais explode, fica muito grande bem rapidamente. O número potencial de interações que a gente observa uma rede, o E, escalona com o tamanho da rede, que a gente vai chamar de N aqui. Vamos ver então E função de N. Numa rede com apenas dois nós ou num grafo com apenas dois vértices, só existe uma conexão possível, imaginando que é grafo não direcionado e o repartido. Só que se eu tiver quatro vértices, já existem seis conexões possíveis. Com oito vértices este número de interações ou conexões possíveis pula para 28. Com 16 ele vai para 120, realmente, a coisa escalona. O número de interações potenciais cresce muito rápido com o tamanho da rede. Vamos dar uma olhada num exemplo real, aquela teia trófica estudada pelo Paine nos anos 60 dos organismos de costão rochoso, marinho. Vamos esquecer a história natural por tempo e focar na parte abstrata, no grafo si. Supondo que todo o mundo possa comer todo o mundo nesta teia trófica, qual seria o número de conexões possíveis para o vértice? Vamos pegar ele como exemplo aqui. Bom, a gente vê que ele tem conexão com três, quatro, dois e sete. Só que ele também poderia se conectar com cinco e seis. Então, o número de conexões potenciais do vértice são as quatro que ele, de fato, está fazendo e mais duas que ele poderia fazer e não fez ainda. Ou seja, seis conexões, vocês podem ver exatamente que conexões são essas nas listas de arestas logo baixo. Se a gente quiser criar uma fórmula a partir disso, a gente pode dizer que o número de conexões potenciais de é igual ao tamanho da rede menos. Porquê? Porque não pode se conectar a si mesmo. Neste exemplo daqui não há alças ou loops. É teia trófica sem canibalismo, só para simplificar. E na rede como todo o número de conexões potenciais na rede vai ser o tamanho da rede vezes o número de conexões potenciais de vértice dessa rede. Isso dá N, vezes, entre parenteses N menos. Nessa rede a gente observa seis conexões que a gente vai chamar de I. As potenciais, consideradas naquela formula, são 56. Colocando isso na fórmula e calculando, dá uma conectância de zero ponto vinte e seis. Note que esse valor já sai porcentagem, ou seja, é a mesma coisa que eu dizer aqui nessa rede do Paine, vinte e seis por cento das interações potenciais são, de fato, realizadas. E gente, é muito comum na natureza a gente observar conectâncias baixas, geralmente abaixo de trinta por cento. Porquê? Como a gente viu logo atrás, o número de interações potenciais explode, ele cresce exponencialmente com o tamanho da rede, então, tem muitas interações que pela estrutura, teoricamente, seriam possíveis de acontecer, mas na natureza não acontece, por causa de restrições ecológicas e evolutivas. Generalizando essa fórmula da conectância, a gente diz que a conectância, no caso deste exemplo, vai ser igual ao número de conexões que a gente observa, isso vai ser o numerador, dividido pelo número de interações potenciais nessa rede. Mas porque é que tem dois dividindo o denominador? A gente precisa dividir por dois porque a rede não é direcionada, então, tanto faz eu dizer que está conectado com dois, ou que dois está conectado com por isso eu divido este número por dois. Para a fórmula ficar mais simples, mais fácil de representar, eu jogo esse dois para o numerador. E fica duas vezes o número de interações observadas, dividido por N vezes N menos. Vamos imaginar aquela teia trófica bem simples de algumas aulas atrás. Vamos supor que essa rede possa ter canibalismo, ou seja, aparecem alças ou loops nesta rede. O canibalismo não é tabu nessa rede. Então, olha só, o número de interações potenciais desta rede vai ser N ao quadrado. Eu não preciso daquela fórmula do N vezes N menos porque cada vértice, cada nó, pode se conectar a si mesmo. Além disso, reparem, essa rede aqui deste outro exemplo é direcionada. Faz diferença eu dizer de onde o arco parte, aonde cada arco chega, estas arestas têm direção e sentido. Então, eu tenho que fazer isso alterado na fórmula também. Eu vou tirar aquele dois que estava multiplicando o numerador. Eu vou dizer que a conectância nesse caso, é simplesmente o número de interações observadas divididos por N ao quadrado. Porque a rede além de permitir canibalismo, ela também é direcionada. Mas e se fosse uma rede bem diferente dessa, por exemplo, uma rede de dispersão de sementes, que eu tenho animais numa classe de vértices e plantas outra classe de vértices. E as interações são de dispersão de sementes, ali nas células. A conectância nesse caso seria o número de interações observadas, dividido, é claro, como sempre, pelo números de interações potenciais. Só que esse potencial eu vou calcular como o número de vértices de uma classe vezes o número de vértices da outra classe, nesse caso o número de animais vezes o número de plantas. [MÚSICA] Quais são as mensagens principais? Qual é a moral da história? Lembre-se, conectividade é o quanto os nós estão conectados entre si. A conectância é a forma mais comum de medir conectividade e até de conceitualizar a conectividade. Já na prática, a fórmula da conectância varia de acordo com a estrutura da rede, você tem que levar conta se é uma rede unipartida ou bipartida, direcionada ou não direcionada e outras características que a gente viu naquela aula mais para trás. [MÚSICA]
