Давайте разберём ещё одну задачу на приближённые вычисления вероятности, так, до кучи, чтоб понимать действительно всё-таки в чём состоит разница между двумя предельными теоремами, которые мы можем использовать. Ну давайте, например, так: стенографист записывает некоторое сообщение с большой скоростью, поэтому может, вообще говоря, при записи очередного знака ошибиться. То есть записать какой-то неправильный знак. Ну давайте будем считать, что вероятность ошибки стенографиста в одном знаке... [КАШЛЯЕТ] маленькая, человек очень профессиональный, равна 0,0005 с вероятностью пять десятитысячных он ошибается в очередном знаке. Причём важное замечание состоит в том, – здесь его всё-таки надо явно сделать, хотя, я думаю, что вы предполагаете, что это замечание имеет место. Так вот, замечание состоит в том, что ошибки не зависят друг от друга. То есть усталость у стенографиста, как бы вот мы предполагаем, что не накапливается. Передавая, не передавая, а записывая сообщение, ну, какое-нибудь там, какую-то речь размером, скажем, в десять тысяч символов, он на десятитысячном символе, независимо от всех предшествующих, имеет ту же самую вероятность 0,0005 ошибиться, что и на первом из них. Усталости нету, все не зависит ни от чего. Вот ну и давайте действительно считать, что передаётся сообщение, ну, не передаётся, извините, это же стенографист, это не то, что там телеграф какой-то. Значит, ну, не передаётся, а записывается, ладно я уж допишу слово «передаётся», но имеется в виду, что записывается какое-то сообщение или какой-то текст. Давайте просто текст в 10 000 знаков. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Спрашивается, с какой вероятностью стенографист ошибётся не более чем три раза. Значит, вероятность, с которой стенографист за все эти 10 000 попыток не ошибиться, вот за все эти 10 000 попыток не ошибиться стенографист ошибётся не более трёх раз. Как можно посчитать с одной стороны такую вероятность, а с другой стороны, оценить. Ну, естественно, желая посчитать такую вероятность, мы должны работать просто с обычной схемой испытаний Бернулли совершенно так же, как в задаче про девятки, и последовательность из цифр длины 10 000 мы имеем дело, вот, вроде, совершенно похожая ситуация, да? Мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли, в которой всего 10 000 испытаний (n = 10 000). Вероятность, ну, наверно, успех – это всё-таки не ошибка, да? Успех – это, когда ошибки нет. Ну ладно, давайте всё-таки считать, что p – это вероятность ошибки, хотя это довольно забавно звучит. Какой уж тут успех, если произошла ошибка. Но и здесь же мы вычисляем количество ошибок, поэтому в каком-то смысле успех, ну не для нас, так для противника нашего стенографиста состоит в том, чтобы стенографист всё-таки ошибся. Ну вот давайте считать, что вероятность успеха, ой, неправильно написал, нолика не хватает. Сейчас мы вот эту пятерочку сотрём, нолик нарисуем, и вот эта вероятность «успеха» — успеха нашего противника — она 0,0005, ну, соответственно, можно и q написать — это 0,9995. Это, наоборот, вероятность нашего успеха, что стенографист не допустил ошибку. Ну, и как водится в схеме испытаний Бернулли, мы, конечно, получаем, что эта вероятность равна C из n. Ну, вернее, она равна сумме, конечно, но эта сумма состоит всего из четырёх слагаемых, то есть нам нужно посчитать с какой вероятностью либо 0 успехов, либо 1 успех, либо 2, либо 3. Всего четыре слагаемых. Давайте, я так и напишу: C из n по 0 на p в нулевой на q в степени (n − 0) + C из n по единице на на p в первой на q в n минус первой + C из n по двойке на p в квадрате на q в n минус второй и + C из n по тройке на p в кубе на q в n минус третьей. Это точное значение вероятности, и в данном случае в отличие от задачи про девятки, когда нужно было посчитать C из 10 000 по 940 и так далее, в этом случае C приходится считать, конечно, из 10 000, но по каким-то более обозримым величинам, поэтому, в принципе, такой ответ уже можно считать вполне себе разумным и никаких приближений для него не писать. Но мы решаем с вами какую-то модельную задачу, пример разбираем, поэтому, нам всё-таки хочется спросить себя: «какую из двух предельных теорем, если бы всё-таки пришлось её применять, нужно было бы применить в этой ситуации?». Какую из двух? Вот давайте посмотрим на сей раз, если мы n умножаем на p, у нас 10 000 и 0,0005, то это равняется пяти. Вот это уже похоже в каком-то смысле на предельную теорему Пуассона. Почему? А потому что np в квадрате — это очень маленькое число. Это очень маленькое число. p в квадрате — это 25 сто миллионных. 25 поделить на 100 миллионов. И даже когда вы это умножите на 10 000, это все равно будет 25 десятитысячных. То есть, это очень мало. 25 десятитысячных. И вот уже такую величину, конечно, вполне можно считать ничтожной погрешностью при оценивании вероятности с помощью... вот этой вот вероятности, которая нас интересует, – с помощью предельной теоремы Пуассона. Ну и np, в общем, похожа на какую-то разумную константу, не на 1000, а на что-то достаточно маленькое. Поэтому можно говорить о том, что сумма, которая нас интересует, примерно равна, согласно теореме Пуассона... А чему, согласно теореме Пуассона, она примерно равна? Теорема Пуассона говорит, что давайте вот эту штуку n умножить на p в данном случае обозначим Λ (лямбда). Вот до сих пор это было математическое ожидание, а здесь мы ещё введём дополнительное обозначение Λ. И теорема Пуассона говорит так: что здесь получится сумма пока от 0 до 3, ну в принципе, та же самая, которая присутствовала и здесь, только вместо слагаемых с C-ми будут слагаемые с Λ-ми. Это будет Λ в степени k на e в степени −Λ поделить на k!. Ну или если подставить в явном виде Λ равная 5, то у нас получится конкретно... давайте опять распишем длинную сумму, чтоб было похоже на ту, которая написана вот на той доске. Так, ну что, если 0 мы подставим, у нас будет... вместо k я имею в виду, если 0 мы подставим, у нас получится e в степени − 5, следующее слагаемое с k равным 1 это у нас будет Λ на e в степени − Λ. Так? 5e в минус пятой. Так, дальше у нас будет Λ квадрат пополам, то есть 25/2 на e в минус пятой. Хе! Что ещё у нас получается? 125 — это 5 в кубе поделить на 3 факториал, то есть на 6, и снова на e в минус пятой. Ну то есть, e в минус пятой степени можно спокойно вынести за скобку, в скобках останется 1 + 5 это 6 + 25/2, вот это уже так похуже, ну, 12,5, то есть 18,5 всё вместе. 125, к сожалению, на 6 не делится, 20 целых 5/6, да? Ой, ну так, примерно, 21, конечно, если совсем пренебрегать мелочами. Ну я не знаю, можно, конечно, при желании привести это дело к общему знаменателю, так чтоб уж совсем оно в уме посчиталось. Ну давайте приведём, действительно. Так, знаменатель у нас 6, тогда вот отсюда полезет шестёрка, отсюда полезет 30, в принципе можно было сразу сказать 36, отсюда полезет 3 умножить на 25 — это 75, и отсюда будет 125. Вот так это совсем точно — e в минус пятой поделить на 6 и умножить на сумму вот этих чисел, то есть 36 + 75 — это 111, если я не ошибаюсь, и + 125 — это 236. Так, интересное дело, 236, конечно, на 6 не делится, но пополам можно сократить, будет e в минус пятой поделить на 3, умножить на 118. Вот такое вот число. Ну в принципе, я для чего это всё нудно вычислял, такую арифметику производил, которую, в общем, каждый может сделать самостоятельно, я просто хотел продемонстрировать, что всё-таки в такой форме записи у нас получается попроще, чем когда мы вычисляли страшенные C-ки. Даже C из 10 000 по 3, хоть это и проще, чем C из 10 000 по 940, но это всё-таки достаточно здоровенная штуковина. А здесь написано что-то вполне обозримое, и действительно можно даже в уме прикинуть, чему равняется эта вероятность, если поднапрячься и попробовать сосчитать в уме, что такое e в пятой степени. Ну для хорошо считающих людей это не составит никакого труда, а плохо считающие люди возьмут калькулятор и сделают это в мгновение. Так что вот задача полностью решена, и видно, чем она отличается от своей предшественницы. В ней действительно np квадрат гораздо меньше единицы, а np — это такая обозримая константа, которая не сильно больше единицы. Поэтому вполне можно считать, что аппроксимация Пуассона, приближение Пуассона, гораздо более адекватно, нежели приближение Муавра-Лапласа. Вот мы его посчитали, и оно действительно очень неплохо работает.
