Давайте разберем задачу про экипаж космического корабля. Давайте четко сформулируем условие: имеется m планет [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] и k членов экипажа космического корабля. Ну давайте просто скажем k космонавтов [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Так вот эти k космонавтов из своего космического корабля случайным образом высаживаются на эти самые имеющиеся в нашем распоряжением m планет. Случайным образом. Совершенно случайно. Вот ну так вот они как-то сумели распределиться по планетам случайно, что в принципе могли все k космонавтов высадиться например на первую планету, такое тоже бывает. Могли как-то распределится так, что на каждой планете поровну более или менее людей. В общем вариантов существует множество разных и нам как раз будет предстоять понять сколько, при этом вы должны понимать, что планеты все разные естественно, они имеют свои имена, то есть совершенно не одно и то же: «Коля высадился на планету Земля» или «Коля высадился на планету Луна», ну Земля ладно, Земля это наша планета, ну какую-нибудь можно взять Венеру, Марс, что хотите, куда уж он там мог высадиться. Вот, люди естественно различные, планеты естественно различные то есть есть масса разных вариантов как эти космонавты могут высадиться на своих планетах. Вот есть такая вероятностная простая схема ну и давайте введем случайную величину ξ, которая в зависимости от того, как космонавты распределились по планетам, равняется количеству неосвоенных планет. ξ – это количество планет, на которые просто ни один космонавт не попал, ну так случилось, что вот никто не высадился. Количество планет, на которые никто не высадился. ну понятно вот такая случайная величина, действительно, ну в зависимости от того, как они распределятся по планетам, это количество может быть самым разнообразным. И задача, естественно, состоит, ну естественно, в том смысле, что мы занимаемся этой темой, естественно состоит в том, чтобы вычислить математическое ожидание этой случайной величины ξ. Если действовать по определению, то будет сложно и будет не очень понятно, как его посчитать, если действовать непосредственно по определению. Можете попробовать, и наверно пробовали уже, ну вот убедились, что это не так легко, а вот если действовать с помощью линейности математического ожидания, то как обычно все получится «на ура». Значит давайте ξ представим в виде суммы индикаторов, как обычно, индикаторных случайных величин. ξ1 в данном случае +... + ξ m. Всего будет m индикаторных случайных величин, каждая из которых отвечает очередному номеру планеты. Ну давайте где ξi-тое в зависимости от раскладки от распределения космонавтов по планетам, это будет 1 или 0, в зависимости от того, вот эта конкретная i-тая планета, она освоена? То есть на нее кто-то высадился, или не высадился никто? ну давайте так, единица, если на i-тую планету никто не высадился. i-тую планету никто... ну давайте я уж писать не буду, не высадился, понятно на i-тую планету никто не высадился, и 0 в противном случае, если хотя бы кто-то на этой планете, в итоге, оказался. Вот такие вот индикаторы, ну ясно, что когда мы сложим эти индикаторы, просуммируем от 1 на m, то сложится ровно столько единичек, сколько в данной раскладке есть планет, на которые никто не высадился, ну так это и есть наша ξ, которую мы желаем посчитать и там... математическое ожидание вычислить. В общем, мы действительно сумели представить ξ в виде суммы таких очень простеньких случайных величин, каждая из которых принимает всего два возможных значений: 1 и 0. Ну соответственно если воспользоваться таки линейностью, то мы получаем, что матожидание ξ, которое естественно, без всякой линейности есть матожидание суммы, раз ξ представлена в виде суммы, ну а матожидание суммы – это сумма матожиданий, вот в этом месте мы пользуемся как раз линейностью. Сумма матожиданий ξ1 +... + ξm, каждое из которых уже можно пытаться вычислить просто по определению, потому что каждая ξi-тое очень просто устроенно, принимает всего два возможных значения. Ну вот давайте посмотрим, чему равняется математическое ожидание ξi-того. Совершенно просто по определению это 1 умножить на вероятность того события, которое соответствует 1 + 0 умножить на вероятность второго события, ну то есть попросту вероятность того, что i-тая планета пуста. На нее никто не высадился, ну вот вероятность вот этого условия, что на i-тую планету никто не высадился Я вот в этом месте просто взял и написал немножко другими словами, никто не высадился, ну значит она пуста с точки зрения там появления людей, космонавтов на этой планете. Так, и вот теперь нам нужно понять, как устроена наша схема собственно, вероятностная. Как устроена наша схема распределения космонавтов по планетам. Ну, на самом деле, мы работаем конечно в рамках классической схемы вероятностной. То есть у нас есть все возможные способы распределить k космонавтов по m планетам, все вообще существующие на свете такие способы и их количество мы должны поставить в знаменатель, давайте так и напишем: количество способов... – это знаменатель такой здоровый. Количество способов распределить различных космонавтов по различным планетам, распределить космонавтов по планетам. Это вот такие вот распределения космонавтов по планетам, это просто наши элементарные исходы, поэтому количество способов распределить космонавтов по планетам, это и есть количество элементарных исходов, которое всегда присутствует в знаменателе вероятности, коль скоро мы имеем дело с ее классическим определением, а, повторяю, именно с ним мы здесь имеем дело. А в числителе мы должны написать количество элементарных исходов среди вот этих всех возможных, которые благоприятствует данному событию, то есть это количество способов распределить космонавтов по планетам… распределить космонавтов по планетам таким образом, чтобы i-тая планета оказалась пустой. i-тая планета пуста, а по остальным – как угодно. i-тая планета пуста. Ну вот давайте все таки посмотрим сначала на знаменатель, сколько же всего есть таких возможных распределений космонавтов по планетам, при которых вообще никаких ограничений не имеется, у нас m планет и k космонавтов Ну это совсем просто. Давайте я даже как-то это нарисую, вот у нас есть эти m штук планет и есть k космонавтов Рисую я смешно. Ну вот что-то в таком духе, это космонавты, их k человек. Они, естественно, все разные, хотя я их нарисовал очень похожими, вот и планеты у нас разные, с разными именами, как и люди. Ну смотрите, вот каждого из этих k людей я могу посадить на любую из имеющихся в моем распоряжении m планет. То есть вот, например, для этого человека, существует ровно m различных возможностей, куда он попадет. Вот для этого человека ровно m различных возможностей. То же самое для этого товарища, есть ровно m различных возможностей как он может высадиться на планеты ну и для последнего тоже – ровно m возможностей. Поскольку это все независимо, то согласно традиционному комбинаторному правилу умножения мы просто получаем m в степени k, это то, что называется размещение с повторениями. То есть у нас есть m в степени k возможности распределить наших космонавтов по планетам, таким образом, продолжая равенство, мы уже видим, что в знаменателе находится m в степени k Ну, а числитель устроен совершенно также – мы просто i-тую планету выбрасываем из рассмотрения, у нас в результате остается m − 1 планета и вот по этим оставшимся m − 1 планетам, мы можем как угодно распределять наших k товарищей, то есть у нас получится m − 1 в k-той степени таких рассадок, распределений. Итого, вероятность подсчитана, ну можно ее как-нибудь красиво записать, вот так вот: 1 − (1/m) в k-той степени, хотя никакой необходимости, конечно, в подобной перезаписи нету. Ну и в итоге получаем ответ для математического ожидания ξ, потому что, как видите, математическое ожидание каждого из ξi-тых от i никоим образом не зависит, поэтому когда мы производим суммирование по i, мы просто умножаем вот эту величину на количество слагаемых. Слагаемых у нас m штук, но а величина вот она: 1 − 1/m-тая в k-той степени и линейность нам очень красиво и быстро решила нашу задачу.
