Теория вероятностей - это, вне всякого сомнения, один из самых важных и богатых приложениями разделов современной математики. С помощью методов этой замечательной науки можно как оценивать классические вероятности выигрышных стратегий в азартных играх, так и решать весьма серьезные прикладные задачи, возникающие буквально в каждой области науки. В нашем курсе мы познакомим слушателей прежде всего с самыми основами предмета. И сделаем мы это в уникальном формате - иллюстрируя вероятностные объекты и методы на примерах решения с их помощью комбинаторных задач. Суть в том, что, конечно, в базовой вероятности много комбинаторики, и это все знают; мы же расскажем не только об этом, но и о том, как, наоборот, вероятностные методы позволяют работать с комбинаторными задачами. Это позволит нам впоследствии выйти на приложения вероятности в теории графов, случайных графов и, наконец, веб-графов и прочих сложных сетей. Также в рамках курса мы оторвемся от чисто комбинаторных интерпретаций и обсудим более общие вероятностные модели. Но интуиция все равно сохранится, и в этой комбинаторной подоплеке уникальность курса. Курс построен так, что будет по плечу даже тем, кто изучал математику последний раз только в школе. Тем не менее, так как для понимания курса необходимы знания основ комбинаторики, мы рекомендуем пройти наш курс по комбинаторике прежде чем прослушивать данный курс. Внутри курса также все просто – каждую неделю вас ждут видеолекции и проверочные задания, которые нужно выполнять в срок. В конце – итоговая проверочная работа. Студенты, которые набрали достаточное количество баллов, смогут получить сертификат.
Формулировка закона больших чисел
Loading...
Do curso por Moscow Institute of Physics and Technology
Теория вероятностей для начинающих
305 ratings
Na lição
Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин
Независимость двух и нескольких случайных величин. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин. Дисперсия суммы независимых случайных величин. Пример некоррелированных зависимых случайных величин. Закон больших чисел. Предельная теорема Пуассона. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Применение теоремы к задаче о двух гардеробах.
Conheça os instrutores
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
кафедра дискретной математики МФТИ
Максим Жуковскийпреподаватель
кафедра дискретной математики МФТИ
Так, теперь я думаю, что можно поговорить об одном очень важном законе,
для которого чуть-чуть с формальной точки зрения у нас не хватает знаний,
но с содержательной точки зрения у нас все есть.
Я давайте сделаю так.
Я сейчас сформулирую результат.
Это великий результат.
Это один из классических из самых центральных, вообще,
фактов теории вероятностей.
Это, то что называется, закон больших чисел.
А потом прокомментирую, где я вас чуть-чуть обманул.
Я надеюсь, что в таком варианте, я никого не смущу.
Потому что, на самом деле, доказать этот результат в каком-то смысле мы уже готовы.
Теорема, которая называется,
кратко принято говорить просто ЗБЧ, и это все понимают.
Закон Больших Чисел.
Формулируется следующим образом.
Пусть ξ1,
..., ξn,...
– некоторая бесконечная последовательность.
Некоторая
последовательность
попарно некоррелированных случайных величин.
Ну дальше можно говорить по-разному.
Ну давайте предположим,
что существует некоторая константа c такая,
что для любого i дисперсия ξi-того не превосходит c.
То есть дисперсии всех этих случайных величин ограничены.
С ростом индекса дисперсия не растет.
Она ограничена одной и той же константой c для всех i.
Вот давайте, например, предположим так.
Тогда точно все получится.
Утверждается, что тогда
для любого ε > 0 вероятность того,
что ξ1 +...
+ ξn поделить на n, – то есть вот такое вот среднее
значение результатов применения наших случайных величин,
давайте по модулю, – уклоняется от своего математического ожидания,
то есть от величины Mξ1 +...
+ Mξn поделить на n,
уклоняется от своего математического ожидания больше, чем на ε,
вот эта вероятность стремится к нулю при n, стремящимся к бесконечности.
Вот такой вот замечательный, очень глубокий, на самом деле, факт,
который я сейчас постараюсь всячески прокомментировать,
а потом в некотором смысле доказать.
Ну вот давайте, прежде всего, я извинюсь все-таки перед слушателями по
поводу некоторой маленькой неграмотности с формальной точки зрения,
которую я допустил при формулировки этой теоремы,
потому что нам как бы не даны еще те знания,
которые позволяют абсолютно четко формализовать то, что здесь написано.
Смотрите, в чем состоит проблема.
Вроде бы, мы с вами говорим о том,
что мы умеем работать только с конечными пространствами элементарных событий,
на которых мы умеем определять понятие вероятности.
Мы каждому элементарному исходу присваиваем некоторую чиселку,
которую называем вероятностью этого элементарного исхода, и говорим, что мы
все сделали корректно в случае, если сумма вероятности элементарных событий равна 1.
Это вы все, конечно, помните.
И дальше мы говорим,
что вероятность какого-то события – это просто сумма по всем элементарным исходам,
которые благоприятствуют этому событию, вероятности этих элементарных исходов.
Вот такая у нас есть конструкция.
Закавыка состоит в том, что здесь у нас сейчас присутствует не конечное,
но бесконечное количество различных, и как мы еще дополнительно говорим,
попарно некоррелированных случайных величин.
Но на конечном пространстве элементарных событий трудновато будет задать
бесконечное количество различных попарно некоррелированных случайных величин.
В этом состоит некоторая формальная некорректность, неаккуратность того,
что я здесь написал.
Ну видите, я же использую одну и ту же букву P для обозначения вероятности,
значит, я наверное предполагаю, что все то, что здесь написано под знаком
вероятности, живет на каком-то одном и том же вероятностном пространстве.
Но повторяю, если считать, что это вероятностное пространство конечно, а мы,
вроде бы, никаких других вероятностных пространств с вами пока что не знаем,
то ну несколько формально это неаккуратно.
Так все-таки говорить не очень хорошо.
Ну с одной стороны, я вам обещаю, что все-таки какие-то бесконечные пространства
в рамках этого курса точно появятся.
То есть мы реабилитируемся за эту формальную неаккуратность.
А с другой стороны, ну вы же можете понимать это утверждение вполне
практическим образом, на практике, когда вы смотрите на реализации каких-то,
как вам кажется, случайных величин, сейчас я про это поговорю, вы,
конечно же, понимаете, что ничего бесконечного, в принципе, у вас нет.
У вас лишь конечное множество случайных величин, и тогда Закон Больших Чисел,
который мы здесь написали, это очень понятное и естественное утверждение,
это такой, если хотите, закон природы.
Причем я вам скажу такой полуанекдот.
Суть такая, что математики – каковым и я являюсь, конечно, тоже – всегда говорят,
что Закон Больших Чисел – это такой физический закон природы.
А физики говорят: да нет!
Это математическая теорема.
Вот, ну видите, математическая теорема нам чуть-чуть не удалась.
С точки зрения математики, здесь есть формальная неточность.
Как раз с точки зрения физики, здесь все совершенно понятно.
Смысл очень простой.
Смотрите, мы производим наблюдение за каким-то процессом,
который протекает в природе.
Ну, в природе или на каком-нибудь производстве.
Я не знаю, представьте себе, что случайные величины,
которые здесь написаны в рамках нашей формулировки,
это какие-нибудь количества бракованных деталей, которые пронаблюдались на
производстве в течение дня, скажем, ξ1 – это количество бракованных деталей
в течение 1-го февраля, ξ2 – это количество бракованных деталей, которые
пронаблюдались на этом производстве в течение 2-го февраля, ну и так далее.
Так каждый день наблюдаем за количеством бракованных деталей и смотрим,
как ведет себя эта сумма.
Ну или, там, за погодой наблюдаем или еще за какими-нибудь интересными свойствами.
Короче говоря, есть какой-то реальный процесс, за которым мы наблюдаем,
и этот процесс поделен на отдельные такие вот этапы, в рамках каждого из
которых наблюдается некоторая числовая характеристика этого процесса.
Утверждается, что если эти числовые характеристики...
Ну, здесь мы написали в каком-то самом таком упрощенном варианте формулировку.
Попарно некоррелированы, да?
То есть даже не упрощенном, а наоборот, таком ослабленном, что ли,
в самом ослабленном варианте.
Если они попарно некоррелированы, ну или скажем, независимы в совокупности,
тогда уж точно все получится.
Если эти наблюдения друг от друга в каком-то смысле не зависят,
тогда такое вот абстрактное математическое
ожидание суммарного количества,
которое получится у нас на выходе, можно в
достаточно хорошей мере аппроксимировать таким вот статистическим средним.
То есть мы просто посмотрели, чему равняется ξ1, посмотрели,
чему равняется ξn, усреднили, получили некоторое число, и мы утверждаем,
что вот это вот случайное, вообще говоря, число уклоняется от неизвестного нам в
каком-то смысле математического ожидания больше, чем на любое,
сколь угодно маленькое, заданное наперед ε с вероятностью, которая крайне мала.
То есть, если вас все-таки как сугубых математиков смущает та неаккуратность,
о которой я говорил, то воспринимать это нужно следующим образом: если у
нас зафиксировано какое-то очень маленькое ε, то мы точно знаем,
что пронаблюдав за процессом достаточно долго, конечное количество шагов,
но достаточно долго, достаточно много дней, например, наблюдая за
бракованными деталями, мы сможем с помощью вот этого статистического среднего,
обычного среднего арифметического, в очень хорошей степени с вероятностью
очень близкой к единице аппроксимировать математическое ожидание.
Вот, на самом деле, если забыть про формальности, то смысл именно такой.
Теоретическое матожидание и среднее
арифметическое – они в некотором смысле с высокой вероятностью близки друг к другу.
То есть, если написать вот здесь наоборот меньши либо равно ε,
то такая вероятность, конечно, стремится к 1.
Можно дать более или менее аккуратные оценки того,
с какой скоростью она стремится к 1.
И тогда вы, действительно,
по каждому ε сможете находить такое n конечное, для которого,
действительно, вероятность столь малого уклонения в нужной степени близка к 1.
Это вполне практический подход, вполне такой физически содержательный результат.
Ну повторяю, это вот закон природы: если вы долго наблюдаете за каким-то процессом,
то средние матожидания с высокой вероятностью очень мало различаются.
Ну доказать этот результат мы, конечно, сумеем в предположении,
что когда-нибудь вы узнаете, что такое бесконечное вероятностное пространство,
но тем не менее, если поверить, что вероятностная мера определена корректно,
конечно, мы сможем этот результат сейчас обосновать.
Ну можно это как-то по-другому формализовывать, конечно,
ну давайте я уже в эти дебри лезть не буду, а просто теорему докажу.
Последний комментарий, который мне хотелось сделать перед доказательством,
он следующий: ну представьте себе дополнительно,
что вот эти наши случайные величины ко всему прочему еще имеют одинаковые
математические ожидания или и вовсе, то что называется, одинаково распределены.
То есть принимают, по сути, одни и те же значения с одними и теми же вероятностями.
Тогда, конечно, у них совпадают математические ожидания.
И в этом случае сумма матожиданий – это просто матожидание любой из них, например,
первой, умножить на n, n сокращается, и у нас получается,
в частности, такой результат.
Если для любого i Mξi = a,
то вероятность того,
что среднее значение уклоняется
от этого числа a больше, чем на ε,
стремится к нулю при n, стремящимся к бесконечности.
Вот такой вот совсем уж понятно написанный,
совсем прозрачный и красивый результат.
Ну хорошо, сейчас докажем.
Explore nosso catálogo
Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.
O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.
© 2018 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.
