Так, теперь я думаю, что можно поговорить об одном очень важном законе, для которого чуть-чуть с формальной точки зрения у нас не хватает знаний, но с содержательной точки зрения у нас все есть. Я давайте сделаю так. Я сейчас сформулирую результат. Это великий результат. Это один из классических из самых центральных, вообще, фактов теории вероятностей. Это, то что называется, закон больших чисел. А потом прокомментирую, где я вас чуть-чуть обманул. Я надеюсь, что в таком варианте, я никого не смущу. Потому что, на самом деле, доказать этот результат в каком-то смысле мы уже готовы. Теорема, которая называется, кратко принято говорить просто ЗБЧ, и это все понимают. Закон Больших Чисел. Формулируется следующим образом. Пусть ξ1, ..., ξn,... – некоторая бесконечная последовательность. Некоторая последовательность попарно некоррелированных случайных величин. Ну дальше можно говорить по-разному. Ну давайте предположим, что существует некоторая константа c такая, что для любого i дисперсия ξi-того не превосходит c. То есть дисперсии всех этих случайных величин ограничены. С ростом индекса дисперсия не растет. Она ограничена одной и той же константой c для всех i. Вот давайте, например, предположим так. Тогда точно все получится. Утверждается, что тогда для любого ε > 0 вероятность того, что ξ1 +... + ξn поделить на n, – то есть вот такое вот среднее значение результатов применения наших случайных величин, давайте по модулю, – уклоняется от своего математического ожидания, то есть от величины Mξ1 +... + Mξn поделить на n, уклоняется от своего математического ожидания больше, чем на ε, вот эта вероятность стремится к нулю при n, стремящимся к бесконечности. Вот такой вот замечательный, очень глубокий, на самом деле, факт, который я сейчас постараюсь всячески прокомментировать, а потом в некотором смысле доказать. Ну вот давайте, прежде всего, я извинюсь все-таки перед слушателями по поводу некоторой маленькой неграмотности с формальной точки зрения, которую я допустил при формулировки этой теоремы, потому что нам как бы не даны еще те знания, которые позволяют абсолютно четко формализовать то, что здесь написано. Смотрите, в чем состоит проблема. Вроде бы, мы с вами говорим о том, что мы умеем работать только с конечными пространствами элементарных событий, на которых мы умеем определять понятие вероятности. Мы каждому элементарному исходу присваиваем некоторую чиселку, которую называем вероятностью этого элементарного исхода, и говорим, что мы все сделали корректно в случае, если сумма вероятности элементарных событий равна 1. Это вы все, конечно, помните. И дальше мы говорим, что вероятность какого-то события – это просто сумма по всем элементарным исходам, которые благоприятствуют этому событию, вероятности этих элементарных исходов. Вот такая у нас есть конструкция. Закавыка состоит в том, что здесь у нас сейчас присутствует не конечное, но бесконечное количество различных, и как мы еще дополнительно говорим, попарно некоррелированных случайных величин. Но на конечном пространстве элементарных событий трудновато будет задать бесконечное количество различных попарно некоррелированных случайных величин. В этом состоит некоторая формальная некорректность, неаккуратность того, что я здесь написал. Ну видите, я же использую одну и ту же букву P для обозначения вероятности, значит, я наверное предполагаю, что все то, что здесь написано под знаком вероятности, живет на каком-то одном и том же вероятностном пространстве. Но повторяю, если считать, что это вероятностное пространство конечно, а мы, вроде бы, никаких других вероятностных пространств с вами пока что не знаем, то ну несколько формально это неаккуратно. Так все-таки говорить не очень хорошо. Ну с одной стороны, я вам обещаю, что все-таки какие-то бесконечные пространства в рамках этого курса точно появятся. То есть мы реабилитируемся за эту формальную неаккуратность. А с другой стороны, ну вы же можете понимать это утверждение вполне практическим образом, на практике, когда вы смотрите на реализации каких-то, как вам кажется, случайных величин, сейчас я про это поговорю, вы, конечно же, понимаете, что ничего бесконечного, в принципе, у вас нет. У вас лишь конечное множество случайных величин, и тогда Закон Больших Чисел, который мы здесь написали, это очень понятное и естественное утверждение, это такой, если хотите, закон природы. Причем я вам скажу такой полуанекдот. Суть такая, что математики – каковым и я являюсь, конечно, тоже – всегда говорят, что Закон Больших Чисел – это такой физический закон природы. А физики говорят: да нет! Это математическая теорема. Вот, ну видите, математическая теорема нам чуть-чуть не удалась. С точки зрения математики, здесь есть формальная неточность. Как раз с точки зрения физики, здесь все совершенно понятно. Смысл очень простой. Смотрите, мы производим наблюдение за каким-то процессом, который протекает в природе. Ну, в природе или на каком-нибудь производстве. Я не знаю, представьте себе, что случайные величины, которые здесь написаны в рамках нашей формулировки, это какие-нибудь количества бракованных деталей, которые пронаблюдались на производстве в течение дня, скажем, ξ1 – это количество бракованных деталей в течение 1-го февраля, ξ2 – это количество бракованных деталей, которые пронаблюдались на этом производстве в течение 2-го февраля, ну и так далее. Так каждый день наблюдаем за количеством бракованных деталей и смотрим, как ведет себя эта сумма. Ну или, там, за погодой наблюдаем или еще за какими-нибудь интересными свойствами. Короче говоря, есть какой-то реальный процесс, за которым мы наблюдаем, и этот процесс поделен на отдельные такие вот этапы, в рамках каждого из которых наблюдается некоторая числовая характеристика этого процесса. Утверждается, что если эти числовые характеристики... Ну, здесь мы написали в каком-то самом таком упрощенном варианте формулировку. Попарно некоррелированы, да? То есть даже не упрощенном, а наоборот, таком ослабленном, что ли, в самом ослабленном варианте. Если они попарно некоррелированы, ну или скажем, независимы в совокупности, тогда уж точно все получится. Если эти наблюдения друг от друга в каком-то смысле не зависят, тогда такое вот абстрактное математическое ожидание суммарного количества, которое получится у нас на выходе, можно в достаточно хорошей мере аппроксимировать таким вот статистическим средним. То есть мы просто посмотрели, чему равняется ξ1, посмотрели, чему равняется ξn, усреднили, получили некоторое число, и мы утверждаем, что вот это вот случайное, вообще говоря, число уклоняется от неизвестного нам в каком-то смысле математического ожидания больше, чем на любое, сколь угодно маленькое, заданное наперед ε с вероятностью, которая крайне мала. То есть, если вас все-таки как сугубых математиков смущает та неаккуратность, о которой я говорил, то воспринимать это нужно следующим образом: если у нас зафиксировано какое-то очень маленькое ε, то мы точно знаем, что пронаблюдав за процессом достаточно долго, конечное количество шагов, но достаточно долго, достаточно много дней, например, наблюдая за бракованными деталями, мы сможем с помощью вот этого статистического среднего, обычного среднего арифметического, в очень хорошей степени с вероятностью очень близкой к единице аппроксимировать математическое ожидание. Вот, на самом деле, если забыть про формальности, то смысл именно такой. Теоретическое матожидание и среднее арифметическое – они в некотором смысле с высокой вероятностью близки друг к другу. То есть, если написать вот здесь наоборот меньши либо равно ε, то такая вероятность, конечно, стремится к 1. Можно дать более или менее аккуратные оценки того, с какой скоростью она стремится к 1. И тогда вы, действительно, по каждому ε сможете находить такое n конечное, для которого, действительно, вероятность столь малого уклонения в нужной степени близка к 1. Это вполне практический подход, вполне такой физически содержательный результат. Ну повторяю, это вот закон природы: если вы долго наблюдаете за каким-то процессом, то средние матожидания с высокой вероятностью очень мало различаются. Ну доказать этот результат мы, конечно, сумеем в предположении, что когда-нибудь вы узнаете, что такое бесконечное вероятностное пространство, но тем не менее, если поверить, что вероятностная мера определена корректно, конечно, мы сможем этот результат сейчас обосновать. Ну можно это как-то по-другому формализовывать, конечно, ну давайте я уже в эти дебри лезть не буду, а просто теорему докажу. Последний комментарий, который мне хотелось сделать перед доказательством, он следующий: ну представьте себе дополнительно, что вот эти наши случайные величины ко всему прочему еще имеют одинаковые математические ожидания или и вовсе, то что называется, одинаково распределены. То есть принимают, по сути, одни и те же значения с одними и теми же вероятностями. Тогда, конечно, у них совпадают математические ожидания. И в этом случае сумма матожиданий – это просто матожидание любой из них, например, первой, умножить на n, n сокращается, и у нас получается, в частности, такой результат. Если для любого i Mξi = a, то вероятность того, что среднее значение уклоняется от этого числа a больше, чем на ε, стремится к нулю при n, стремящимся к бесконечности. Вот такой вот совсем уж понятно написанный, совсем прозрачный и красивый результат. Ну хорошо, сейчас докажем.
