Давайте тогда думать, как могло случиться такое несчастье,
что даже после двух этапов раскраски случилось вот это F?
Как могло такое получиться?
Как могли остаться одноцветные Mi-тые?
Ну более того, я вас еще аккуратнее спрошу: как могло
такое случиться с конкретным множеством Mi-тое,
с конкретным множеством Mi-тое, что и после первого этапа,
и после второго этапа, – после обоих этапов – шлеп,
и оно оказалось целиком красным или оно оказалось целиком синим?
Вот сейчас мы опишем соответствующие события.
Смотрите, во-первых, давайте назовем
соответствующее событие Ai-тое для данного конкретного множества Mi-тое.
Во-первых, могло так случиться, что Mi-тое красное,
целиком красное, то есть нет ни одного синего элемента,
целиком красное после первого этапа
и целиком красное
после второго.
Но вот такой знаете, рок злой.
Оно и сразу покрасилось целиком в красный цвет, и мы пытались перекрасить каждый
его элемент, бросая вот ту монетку со смещенным ценром тяжести, но катастрофа.
Все наши бросания привели к неудаче – ни разу ни один красный элемент не
поменял свой цвет на синий.
Множество по-прежнему осталось красным.
Есть другой...
Это такой, если хотите, сильный недолет.
Есть другой вариант, который, я бы сказал, наоборот, переборщил, сильный перелет.
Mi-тое красное после
первого этапа и целиком синее после второго.
Пересолил, слишком старались перекрасить.
Перекрашивали, перекрашивали, перекрашивали, шлеп, а оно целиком синее.
Было красное, а стало синее.
Неприятно.
Так, это Ai-тое штрих, конечно, это другое событие.
И давайте еще одно событие напишем, назовем его Ci-тое.
Оно состоит в следующем, это самое обидное, что вообще может быть на свете.
Mi-тое было неодноцветным,
было неодноцветным после первого этапа.
То есть все с ним было хорошо, а мы взяли и своими перекрашиваниями его испортили.
Оно стало красным после второго этапа.
Было неодноцветным после первого этапа и стало красным целиком после второго.
Надо еще подумать, как такое возможно?
Как это мы умудрились так навредить?
Все же было хорошо, счастье уже было почти возможно, и нате,
взяли и все себе сами испортили, загубили на корню.
Теперь вопрос: скажите мне, пожалуйста,
а верно ли,
что это исчерпывающее описание всех нехороших
ситуаций по отношению к конкретному множеству Mi-тое?
Что других не бывает?
Ну, конечно, бывает.
Конечно, может быть, что Mi-тое синее после первой раскраски,
после первого этапа и синее после второго.
То есть вот здесь просто красное – красное заменяем на синее – синее.
Точно так же вот здесь красное – синее можно с таким успехом заменить на синее –
красное.
Это абсолютно симметричная ситуация.
Но понятно, что вероятность соответствующего события она абсолютно
такая же, как вероятность Ai-того и здесь тоже вероятность соответствующего
события абсолютно такая же, как вероятность Ai-того штрих.
Ведь вопрос о переходе с полной красноты на полную красноту
он идентичен вопросу о переходе с полной синевы на полную синеву.
Ведь на первом этапе красный и синий элементы появляются с одинаковой
вероятностью.
А на втором этапе мы не цвет присваиваем, мы перекрашиваем.
То есть красный может поменяться на синий и синий может поменяться на красный.
И вероятность этого одна и та же.
Поэтому те ситуации, которые мы вроде как здесь не рассмотрели,
они абсолютно симметрично рассмотрены.
Иными словами, короче говоря, я хочу сказать следующее.
Я хочу сказать, что вероятность события F,
которую мы хотим, в конечном счете оценить сверху единицы, она, конечно,
не превосходит удвоенной вероятности
объединения по всем i от 1 до m Ai-того,
объединенного с Ai-тым штрих, объединенным с Ci-тым.
Вот так вот.
То есть имеется в виду, что значит вот это объединение?
Это значит, что хотя бы для одного i, хотя бы для одного i вот в этом множестве
от 1 до m, случилась неприятность: либо реализовалась вот эта гадость,
в результате чего Mi-тое осталось одноцветным; либо вот эта гадость,
и в результате снова Mi-тое осталось одноцветным; либо вот эта гадость,
и оно не то, что осталось, оно стало одноцветным после второго этапа.
А двойка, повторяю, она возникает из того,
что мы не стали здесь рассматривать симметричные ситуации.
Здесь писать синее, здесь писать синее – красное, ну и так далее.
Вот. Но эта двойка в свою очередь сыграет роль.
Дальше мы пользуемся стандартным свойством вероятности, которое мы с вами знаем.
Это 2 умножить на сумму по всем i от 1 до m.
А в скобках здесь стоит вероятность Ai-того плюс
вероятность Ai-того штрих плюс вероятность Ci-того.
О, то есть теперь нам предстоит – внимание!
– с одной стороны, найти вот эти вероятности, они находятся просто за 3
копейки, и немножко приложить действительно усилий для того,
чтобы оценить сверху вероятность события Ci-того.
И вот в этом месте будет самая красивая, самая интересная
вероятностная комбинаторика, которая есть во всем этом доказательстве.
А потом нам придется-таки подбирать то p маленькое, которое завершит выкладку
и покажет, что в ней действительно можно сделать вероятность строго меньше единицы.
Вот такая вот наша траектория.