Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Séance 6 (3/3) : INDÉPENDANCE
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Do curso por École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
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L'ESPACE DE PROBABILITÉ (3/3)
Nous achevons le Cours 1 cette semaine. Nous introduisons deux concepts centraux : le conditionnement et l'indépendance. Nous étudions ensuite un résultat très utilisé : le théorème de Borel-Cantelli. Enfin, nous introduisons un autre concept incontournable : celui de variable aléatoire.
Conheça os instrutores
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[MUSIQUE] Nous
allons donc maintenant étudier le cas, où
l'on suppose que le fait qu'un événement aléatoire A soit réalisé,
n'influe pas sur la probabilité de réalisation, d'un événement donné, B.
Donc, comment allons-nous modéliser ça?
Si on se donne a priori l'information que A est réalisé, on a vu que dans ce cas-là,
la probabilité de B, c'est la probabilité de B, sachant A, et si on suppose que
le fait que A soit réalisé n'influe pas sur la probabilité de réalisation de B,
ça veut dire que conditionné ou non par A, ne change rien et que donc la probabilité
de B, sachant A, ici, va être égal à la probabilité de B.
Or, nous savons que la probabilité de B, sachant A,
est égal à la probabilité de A inter B, divisé par la probabilité de A.
Donc, P de A inter B, sur P de A égale P de B,
c'est équivalent à avoir que la probabilité de A inter B est
égal au produit des probabilités A et de B, formule très mnémotechnique ici.
Alors, voyez qu'ici, ce qui est intéressant à noter,
c'est qu'il y a un rôle symétrique de A et B, A inter B est égal à B inter A,
et puis P de A, P de B, c'est la même chose que P de B, P de A.
Donc, en fait, on a obtenu cette caractérisation de notre formule ici,
qui signifiait que l'information A est réalisée n'influe pas sur la
probabilité de réalisation de B.
Mais, vous voyez que cette propriété-là est aussi équivalente,
puisqu'on peut changer les rôles de A et B, et cette propriété équivalente au fait
que l'information B est réalisée n'influe pas sur la probabilité réalisation de A.
Donc, ça, c'est intéressant puisqu'on a un rôle symétrique ici.
Donc, en fait, on pourra dire que 2 événements aléatoires sont indépendants,
l'un de l'autre, si et seulement si, eh bien, on a que la probabilité de A,
sachant B, est égal à la probabilité de A, ou que la probabilité de B, sachant A,
est égal à la probabilité de B.
Et tout ceci se caractérise par le fait,
que la probabilité de A inter B est égal à la probabilité de A, probabilité de B.
Et, c'est ça, cette propriété-là,
qui va nous permettre de facilement faire des calculs.
Bien. Et voyez, il faut garder vraiment en tête,
la définition de cette notion d'indépendance.
Alors, voyez que c'est indépendant, ça n'a rien à voir avec une propriété
ensembliste, voyez qu'elle, cette propriété, on va voir des exemples après,
dépend fondamentalement de la probabilité.
Rien à voir avec une propriété ensembliste de types des ensembles disjoints,
je vous rappelle que si des ensembles sont disjoints, si leur intersection est vide,
et la probabilité du vide, c'est toujours 0.
Donc, ce n'est pas P de A, P de B, ici,
A et B peuvent avoir des probabilités strictement positives, donc,
c'est une propriété qui dépend du choix de la probabilité.
Alors, prenons un exemple, supposons qu'on tire une carte dans un jeu de 52 cartes,
et on suppose qu'on a des tirages uniformes,
pour l'instant le jeu n'est pas truqué, donc, l'événement aléatoire A,
c'est le fait qu'on tire un as, et l'événement aléatoire B,
c'est le fait que la carte soit un carreau, qu'on ait tiré un carreau.
Donc, la probabilité de A, bah, une probabilité uniforme,
on a 4 as dans un jeu de 52 cartes, donc la probabilité de A, c'est 4 sur 52.
On a 13 carreaux sur un jeu de 52 cartes, donc la probabilité de B, c'est 13 sur 52.
Que vaut A inter B?
A inter B, c'est la carte est un as, la carte est un carreau, donc,
c'est le choix, juste j'ai tiré l'as de carreau.
Donc, c'est une carte dans mon jeu de 52 cartes, donc la probabilité de A inter B,
c'est 1 sur 52.
Or, vous remarquez que si vous faites le produit 4 sur 52,
fois, 13 sur 52, comme 4 fois 13, ça fait 52, vous trouvez 1 sur 52.
Et donc, tout calcul fait, vous pouvez montrer que la probabilité de A inter B
est égal au produit des probabilités de A et probabilité de B,
donc, les événements A et B sont indépendants.
Alors, allons, toute de suite, voir ce contre-exemple, ici, qui est le même
modèle, on se pose la même question, mais maintenant j'ai un jeu de cartes truquées.
Donc, je suppose par exemple que la carte du valet de
pique a été un petit peu cornée, donc si on choisit au hasard les cartes,
on a beaucoup de chance de tomber sur le valet de pique.
Donc, dans mon jeu truqué, j'ai une nouvelle probabilité pour ce choix
des cartes, qui est que la probabilité de tirer le valet de pique va être un demi,
et puis, les autres cartes, elles, ont des tirages uniformes, donc il y a 51 autres
cartes, donc on va avoir pour chaque carte une probabilité de un demi, fois,
1 sur 51, vous vérifierez qu'ainsi la probabilité des
tirages de toutes les cartes possibles, ça fait bien 1.
Donc, probabilité de tirer le valet de pique,
un demi, probabilité de tirer une autre carte, dans ce cas-là, c'est 1 sur 102.
Alors, maintenant si je veux de la même façon calculer la probabilité
d'avoir l'as de carreau, eh bien, c'est une carte parmi des cartes,
qui sont différentes du valet de pique, donc, c'est 1 sur 102.
Mais vous voyez que cette probabilité-là va être différente du produit
des probabilités de tirer un as fois la probabilité de tirer un carreau.
Pourquoi?
Parce que la probabilité de tirer un as, c'est la probabilité de tirer un des 4 as,
parmi les 51 cartes qui ne sont pas un valet de pique, donc,
ça va être 4 sur 102 ou encore 2 sur 51,
et la probabilité de tirer un carreau, bah moi, j'ai 13 cartes de carreaux et j'ai
une probabilité 1 sur 102, pour chacune de ces cartes, donc ça va être 13 sur 102.
Et, ce produit-là, ici, n'est pas du tout égal à 1 sur 102.
Donc, dans ce cas-là, pour ce choix de probabilité-là, qui correspond ici,
dans notre exemple,
à un jeu de cartes truquées, on n'a pas indépendance des événements.
Donc, voyez, ce sont les mêmes ensembles A et B, dans les deux cas, mais
c'est la probabilité qui a changé, et dans un cas on a indépendance des événements,
dans l'autre cas, on n'a pas indépendance.
Donc, en rouge,
je vous l'ai marqué, gardez ça en tête, la notion d'indépendance de 2 événements
aléatoires est vraiment liée au choix de la probabilité qu'on met sur notre modèle.
Alors, des petites propriétés qu'on peut montrer facilement, c'est qu'à partir de
l'indépendance de A et B, on peut aussi obtenir
l'indépendance d'un certain nombre d'autres événements aléatoires, à savoir
l'indépendance du complémentaire de A et du complémentaire de B, l'indépendance
du complémentaire de A et de B et l'indépendance de A et B complémentaire.
Donc, on a équivalence entre ces 4 indépendances possibles.
Donc, on va en montrer une de ces 4.
Donc, on suppose que
A et B sont indépendants
[AUDIO_VIDE] et nous allons montrer
que A et B complémentaire sont indépendants.
Donc, bien sûr, on s'est donné le modèle probabiliste sous-jacent.
Donc, ce qu'il nous faut calculer,
c'est la probabilité de A inter B complémentaire.
Alors pour ce faire, nous, ce que l'on sait, c'est que A et B sont indépendants,
c'est-à-dire qu'on est capable de calculer la probabilité de A inter B.
Donc, on va écrire que B et B complémentaire forment une partition de
oméga, c'est-à-dire que la probabilité de A inter B complémentaire,
plus, la probabilité de A inter B.
Voyez que ça, c'est égal à la probabilité de A inter B complémentaire et A inter
B sont des événements disjoints, donc ça, ça va être la probabilité de A inter B,
union B complémentaire, je décompose vraiment tout ici, ça,
c'est l'espace oméga, donc A inter oméga, c'est A.
Donc, la probabilité de A inter B complémentaire, ce qu'on vient de montrer,
c'est que la probabilité de A inter B complémentaire est égal à la probabilité
de A moins la probabilité de A inter B.
Or, maintenant, on sait que A et B sont indépendants,
donc cette quantité-là, ici, c'est le produit P de A,
P de B, ça, c'est l'indépendance.
[AUDIO_VIDE] Donc,
vous voyez que je peux mettre P de A en facteur, donc,
c'est P de A, facteur de 1 moins P de B, et 1 moins P de B,
on sait que c'est la probabilité du complémentaire de B.
Donc, finalement, nous avons montré que la probabilité de A inter B complémentaire
est égal à la probabilité de A fois la probabilité de B complémentaire,
et ça, c'est la définition de l'indépendance de A et B complémentaire.
Bon, je vous laisse faire les autres équivalences, enfin, prouver les
équivalents, toutes ces équivalences à titre d'exercice, et vous voyez bien qu'en
changeant les rôles de A et B du complémentaire ou pas complémentaire,
on va avoir toutes ses propriétés, que nous avions annoncées d'indépendance
entre ces événements différents, construits à partir de A et de B.
Alors, maintenant on peut généraliser un petit peu cette notion d'indépendance,
voyez que pour l'instant, on avait parlé de l'indépendance de
2 événements aléatoires Comment on va définir l'indépendance pour
3 événements aléatoires, et de manière générale, pour un nombre fini,
voire un nombre infini dénombrable, d'événements aléatoires.
Alors, il faut faire, un petit peu, attention à la définition, donc,
je vais regarder la définition, ici, la plus générale.
On se donne une suite d'événements aléatoires An, donc, une suite d'ensemble
appartenant à notre tribu A ronde, et on dira qu'ils sont indépendants,
si et seulement si, on va avoir cette propriété ici, du fait que la
probabilité de l'intersection d'événements aléatoires, Ai 1, Ai 2,
etc., jusqu'à Ai k, est égal au produit
des probabilités des événements aléatoires Ai 1, etc., jusqu'à Ai k.
Et cela, pour toutes les sous-suites finies, d'indice i1,
i2, ik, appartenant à notre ensemble d'indice N, ici.
Donc, ce n'est pas seulement, on extrait tous les couples d'événements aléatoires
de la suite An et on écrit l'indépendance de A2, comme on l'a vu avant, non.
On va prendre n'importe quelle sous-suite finie, de cette suite de An,
et on va demander à avoir notre propriété ici d'indépendance pour cette sous-suite.
Donc, il faut faire attention un petit peu à ça.
Voyez, par exemple, que si vous regardez 3 événements aléatoires A1, A2, A3, eh bien,
on va dire qu'ils sont indépendants, si, donc, cette propriété ici,
décrite en rouge, est vraie pour toutes les sous-suites extraites de 1, 2, 3.
Donc, on va avoir les propriétés
vraies pour les sous-suites à 2 éléments extraites de 1, 2, 3.
Donc, P de A1 inter A2 égale P de A1, A2, A1 et A2 sont indépendants.
P de A1 inter A3 est égal à P de A1, P de A3, ça,
ça dit que A1 et A3 sont indépendants.
P de A2 inter A3 égal P de A2, P de A3,
là ça nous dit que A2 et A3 sont indépendants.
Mais il y a une propriété supplémentaire,
qui est celle qu'on prend comme sous-suite d'indices, la suite d'indices 1, 2, 3.
Et donc, on va demander en plus que P de A1
inter A2 inter A3 est égal au produit des probabilités P de A1, P de A2, P de A3.
Vous verrez à la fois en séance d'exercice et dans les QCM que vous allez
avoir à faire, donc, des exemples et des contre-exemples
d'ensemble d'événements aléatoires indépendants.
À cette notion-là, il y a une notion très connexe, qui est vraiment
importante aussi, qui est la notion d'expériences aléatoires indépendantes.
Donc, vous voyez quand on fait des expériences successives d'un même
phénomène, eh bien, on a envie de dire que la probabilité de réalisation d'un
résultat, sur une des expériences, ne va pas avoir d'influence sur
la probabilité de réalisation du résultat, dans une expérience ultérieure.
Par exemple, si je lance un lancer de pièces, ce n'est pas parce que j'ai eu
face au premier tirage, que ça aura un impact sur le fait que j'ai face
au dixième tirage, dans un cadre assez standard de jeu de pile ou face.
Eh bien, ça, on va pouvoir le traduire en termes d'indépendance des
événements aléatoires, et on va dire qu'on a des expériences aléatoires qui sont
indépendantes, si les événements aléatoires,
associés à chacune de ces expériences, sont indépendants les uns des autres.
Donc, ça, c'est vraiment important et, en fait,
depuis le début, quand je vous donne des exemples, même dans les premiers
exemples de calcul qu'on a fait sur les lois binomiales,
ou hypergéométriques ou autre, on a utilisé de manière sous-jacente,
le fait qu'on avait des modèles avec des expériences aléatoires indépendantes.
Alors, reprenons, par exemple, encore une fois l'exemple du pile ou face,
et on va supposer donc qu'on a un jeu de pile ou face infini,
on peut lancer une infinité de fois la pièce, mais en fait,
ce qui nous intéresse ici, c'est d'étudier l'arrivée du premier pile, par exemple.
Donc, c'est ce qu'on appelle une probabilité de succès,
supposons qu'on gagne le jeu si on fait pile.
Donc, on va lancer la pièce et on s'arrêtera quand on a fait pile.
Donc on aimerait savoir quand on s'arrête.
Alors, on ne suppose pas a priori que la pièce est équilibrée,
c'est-à-dire que la probabilité de face, c'est un nombre petit p,
compris strictement entre 0 et 1, mais, p n'est pas forcément, ici, égale à un demi.
Et donc, voyez, je vais numéroter les événements en fonction du numéro de
l'expérience aléatoire associée, par exemple, F indice n, c'est l'événement
aléatoire, je fais face ou j'ai fait, j'ai obtenu face, pardon, au nième lancer.
De même, Pn, c'est l'événement, j'ai obtenu pile au nième lancer.
Donc, on regarde maintenant, ce qu'on appellera dans un cours ultérieur,
une variable aléatoire, qui est l'indice de l'expérience,
qui va me donner le premier pile.
C'est-à-dire, je vais appeler T le premier lancer où l'on obtient pile
et ce nombre aléatoire, ici, vaudra k, si,
en fait, donc, c'est la kième expérience, qui me donne le premier pile,
ce qui veut dire que dans les k moins unième expériences précédentes,
j'ai obtenu un face et à la kième expérience, j'ai un pile.
Donc, je vais dire que j'aurais que ce premier lancer où j'obtiens pile,
se trouve au numéro d'expérience k, si et seulement si, j'ai
obtenu un face à la première expérience, un face à la deuxième expérience, etc.,
un face à k moins unième expérience et un pile à la kième expérience.
Je vous rappelle que les et sont traduits par des intersections
en termes d'ensemble, ici.
Alors, maintenant, si je suppose que mes expériences aléatoires sont indépendantes,
on a vu la définition ici, ça veut de dire que les événements,
associés à des expériences différentes, sont indépendants les uns des autres,
ce qui veut dire que mes événements aléatoires, ici, F1,
F2, etc., F(k- 1), Pk, sont indépendants.
Donc, je vais pouvoir écrire que cette, ici on a une suite finie d'événements
aléatoires, que la probabilité de cette intersection, c'est le produit des
probabilités des événements, F1, F2, etc., F(k- 1), Pk.
Comme toutes mes probabilités de mes événements aléatoires d'obtenir un face
sont les mêmes, je vais avoir la probabilité
d'obtenir face puissance (k- 1) fois la probabilité d'obtenir pile,
c'est-à-dire p puissance (k- 1) facteur de (1- p).
Je vous rappelle p, c'est ce nombre compris entre 0 et 1,
qu'on avait fixé a priori.
Alors, voyez une petite remarque, si je regarde la somme pour k,
alors bien sûr k est supérieur ou égal à 1, par définition,
on va dire qu'on obtient pile, soit au premier lancer, soit au deuxième, etc.
Et si je regarde la somme sur k plus grand que 1, de ces probabilités d'avoir T
égal k, eh bien, c'est la somme pour k supérieur ou égal à 1,
de P puissance (k- 1), facteur de (1 – p), comme p est compris entre 0 et 1,
la somme pour k supérieur ou égal à 1, de P puissance (k – 1), c'est 1 sur,
1 moins p, c'est la somme de la série géométrique de raison p.
Et donc, 1 sur, 1 moins p, fois 1 moins p, ça vaut 1.
Donc, la somme sur toutes les valeurs possibles,
k supérieur ou égal à 1, des probabilités de T égal k vaut 1,
ce qui veut dire que T va toujours prendre une valeur finie, toujours, enfin,
avec une probabilité, la probabilité que T soit infinie, elle vaut 0.
Ce qui veut dire, que si on joue à pile ou face, comme ça,
avec un nombre infini de pile ou face, si vous gagnez quand vous obtenez un pile,
eh bien, ce qu'on prouve, c'est que la probabilité qu'on gagne,
sur un temps fini, vaut 1, bien sûr ce temps fini peut être très
long et il sera peut-être plus grand que votre durée de vie.
Alors, ces p (k – 1) (1 – p) ici, ce qu'on vient voir,
ce sont bien sûr des nombres positifs, dont la somme vaut 1, donc voyez,
c'est un exemple d'une suite de nombres, qui définit une probabilité sur N étoile,
ici, N étoile, c'est N privé de 0, qu'on appelle loi géométrique, de raison p.
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