Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Séance 3 : PROBABILITÉ SUR UN ESPACE D'ÉTAT FINI
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Do curso por École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
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L'ESPACE DE PROBABILITÉ (1/3)
L'espace de probabilité est l'objet du Cours 1 qui s'étale sur trois semaines. Après une introduction générale, cette semaine est consacrée à la notion d'expérience aléatoire et d'événement aléatoire, puis à la définition d'une probabilité sur un espace d'état fini.
Conheça os instrutores
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON] Bonjour.
Dans cette séance 3 du cours 1, nous allons définir les premières propriétés
de ce qu'on va appeler une probabilité.
En fait, nous allons nous limiter dans cette séance, à définir la probabilité
d'une expérience aléatoire qui est liée à un espace d'état qui est fini,
donc il y aura un nombre fini d'éléments.
Revenons au jeu de Pile ou Face,
et posons-nous une question très simple : comment savoir si la pièce est truquée?
Donc, vous jouez à Pile ou Face, peut-être que quand vous faites Face,
vous devez donner un euro à votre compagnon, ou si vous faites Pile,
vous allez recevoir un euro,
donc, dans ce cas, le jeu de Pile ou Face peut avoir un intérêt majeur, et en fait,
le fait que la pièce soit truquée, peut vous concerner particulièrement.
Lançons une fois la pièce, et vous tombez sur un Pile.
Là, vous avez un Pile, mais vous ne pouvez rien dire.
Si vous faites trois lancers,
et que vous obtenez deux Piles et un Face, vous ne pouvez toujours rien dire.
Mais si vous faites 300 lancers, et que vous obtenez 200 Pile et 100 Face,
vous allez pouvoir commencer à vous poser des questions.
Si vous faites 3 000 lancers, et que vous obtenez 2 000 Pile et 1000 Face, là,
vous allez commencer à vous dire que la pièce semble truquée.
En vous disant, si j'avais une pièce non truquée, avec 3 000 lancers,
je devrais à peu près avoir autant de Pile que de Face.
Et vous voyez que dans ce raisonnement, que vous faites très souvent sans doute,
dans la réalité, et sans y penser, c'est la répétition de l'expérience, qui vous
donne de l'information, et qui vous permet d'émettre une hypothèse sur la probabilité
de réalisation de l'événement Pile, par exemple, lorsque vous lancez votre pièce.
Et vous allez avoir envie de dire que, la chance de réalisation de cet événement
Pile, c'est à peu près le nombre 2 000 / 3 000, c'est-à-dire 2 / 3.
Donc en fait, ce que vous faites naturellement,
c'est que vous calculez ce qu'on appelle la fréquence empirique de réalisation de
l'événement Pile, c'est-à-dire le nombre de Pile que vous avez obtenus sur le
nombre total de lancers, et vous allez approcher
la chance de réalisation de l'événement, Pile, par cette valeur empirique.
Donc vous voyez que dans ces exemples que j'ai donnés, de 3 lancers,
300 lancers ou 3 000 lancers, le nombre de Pile sur le nombre total de lancers,
est toujours le même : c'est 2 /3.
Néanmoins, quand le nombre total de lancers est petit, quand il est égal
à 3 par exemple, vous n'aurez pas d'information sur la pièce,
le fait qu'elle soit truquée ou pas.
Il faut que vous ayez beaucoup de lancers,pour que cette fréquence empirique
puisse avoir un sens.
Et c'est sur cette approche fréquentiste,
qu'a été construit le modèle théorique probabiliste.
A garder en tête : il faut une répétition de grand nombre
de cas de votre expérience aléatoire, bien évidemment dans les mêmes conditions,
ou des conditions environnementales très approchées, et dans ce cas,
c'est la fréquence empirique qui va nous donner une idée de la chance de
réalisation a priori de l'événement qui nous intéresse.
Regardons les propriétés de cette fréquence empirique.
Dans un cadre plus théorique, nous avons une expérience aléatoire,
et un événement aléatoire, lié à cette expérience.
Et on suppose que l'on répète n fois l'expérience.
Dans ce cas, je vais appeler n indice A le nombre de fois où A est réalisé.
A est un événement aléatoire,
cela correspond à une propriété de l'expérience, et à chaque fois que l'on
répète l'expérience, on peut savoir si A est réalisé ou non.
Je compte le nombre de fois où il est réalisé, c'est n indice A.
Donc, par définition,
la fréquence empirique de l'événement aléatoire A, sera égal au nombre de
fois où A est réalisé / le nombre total de fois où j'ai réalisé l'expérience.
C'est-à-dire n indice A / n.
C'est ce que je note f indice n de A, ou fn(A).
Quelles sont les propriétés de cette fréquence empirique?
Vous voyez, bien sûr, par définition, n indice a et n sont des nombres positifs,
donc cette fréquence est positive, et par ailleurs, n indice A,
c'est toujours plus petit que n, donc cette fréquence est plus petite que 1.
Par remarque, la fréquence empirique est comprise entre 0 et 1.
Deuxième remarque, si A = grand oméga, par définition,
grand oméga est l'ensemble de tous les résultats possibles de l'expérience,
donc n indice grand oméga est égal à n, au nombre de fois où j'ai
réalisé l'expérience, et fn(oméga) est donc égal à 1.
Troisième remarque.
Si je considère deux événements qui sont incompatibles,
c'est-à-dire liés à deux ensembles A et B qui sont disjoints,
si l'on regarde le nombre de fois où A ou B est réalisé,
puisque A et B sont disjoints, le résultat de l'expérience qui réalise A ou B,
va réaliser soit A, soit B, mais jamais les deux à la fois.
Donc, le nombre de fois où A ou B est réalisé, est égal au nombre de
fois où A est réalisé + le nombre de fois où B est réalisé.
C'est-à-dire que n indice A union B, est égal à n indice
A + n indice B, ce qui va entraîner que la fréquence empirique de
A union B est égale à la somme des fréquences empiriques de A et de B.
Bien sûr, pour avoir cette propriété-là,
j'ai fondamentalement utilisé le fait que A et B sont disjoints.
Nous allons garder en tête ces propriétés-là,
et revenir à notre exemple du transparent précédent,
pour essayer de donner une définition par une approche vraiment intuitive,
de ce qu'on va appeler une probabilité.
Une probabilité, ce sera un nombre réel, compris entre 0 et 1, qui va
être associé à un événement aléatoire A, je vous rappelle que cet événement-là est
lié à une propriété qu'on peut associer à l'expérience que l'on considère,
et on va essayer de quantifier, a priori, la chance qu'on
a de réaliser cet événement aléatoire A, quand on fait notre expérience aléatoire.
Et c'est cette chance a priori, donc cette quantité abstraite
qu'on se donne a priori, c'est ce que l'on va essayer de définir maintenant,
et qui va s'appeler la probabilité de A.
Ce que l'on a vu dans l'exemple de Pile ou Face du début de cette séance, c'est que,
intuitivement, ce nombre-là va être en fait obtenu comme la limite,
quand le nombre de lancers ou quand le nombre de fois où l'expérience est
réalisée n tend vers l'infini, donc cela va être la limite,
quand n tend vers l'infini, de ces fréquences empiriques fn(A).
Puisque, intuitivement, on s'est dit que, plus on a de lancers, et plus la
fréquence empirique va être un nombre qui va bien nous caractériser la fréquence,
ou la probabilité, de réalisation de l'événement qui nous intéresse.
Cette définition de la probabilité de l'événement aléatoire A, comme limite des
fréquences empiriques, va nous permettre d'obtenir immédiatement des propriétés de
la probabilité que l'on va obtenir, très simplement, par passage à la limite.
Donc, à partir de ces propriétés des fréquences empiriques,
nous allons en déduire immédiatement, par passage à la limite,
les trois propriétés suivantes : à savoir que, si pour tout événement aléatoire
A la probabilité de A est un nombre compris entre 0 et 1,
que pour l'espace d'état grand oméga,
il est immédiat de vérifier que la probabilité de cet espace est égale à 1,
ce qui est évidemment, naturel, puisque oméga est l'ensemble de tous les
résultats possibles de l'expérience, a priori, la probabilité que l'on tombe sur
un des résultats possibles de l'expérience, c'est 1.
Et troisième propriété : si A et B sont disjoints,
la probabilité de réaliser l'événement aléatoire A union B,
va être égale à la somme des probabilités de réalisation de A et B.
En fait, si l'espace grand oméga est fini, donc un nombre fini d'événements,
on pourra voir que ces conditions sont suffisantes, alors que,
si oméga est un espace plus compliqué, et nous en avons vu des exemples
dans la séance numéro 2, ces conditions ne seront pas suffisantes.
Mais pour l'instant, nous allons déjà jouer, avec ces conditions,
et voir quelles sont les conséquences de ces propriétés-là,
dans le cas où grand oméga est fini.
Première propriété : si A est un événement aléatoire,
j'ai défini son complémentaire,
que j'ai noté A avec un petit c ici,
et ce que l'on peut montrer, c'est que la probabilité de réalisation de
A + la probabilité de réalisation du complémentaire de A, vaut 1.
Pour montrer cette propriété, nous remarquons que
A inter A complémentaire est égal au vide.
Par définition, c'est même la définition du complémentaire, A et A complémentaire
sont disjoints, et A union A complémentaire est égal à oméga.
Il est donc immédiat, de par ces propriétés; d'obtenir que
la probabilité de A union A complémentaire est, d'une part,
égale à la somme des probabilités de A et de A complémentaire,
puisque A et A complémentaire sont disjoints, et d'autre part,
comme A union A complémentaire est égal à oméga, cette somme est égale à 1.
Deuxième propriété qui en découle trivialement, si vous prenez A égal oméga,
le complémentaire de A est le vide.
Donc nous avons que la probabilité de oméga plus la probabilité
du vide est égal à 1, or, comme la probabilité de oméga vaut 1,
la probabilité du vide vaut 0.
Troisième propriété, si A est un événement aléatoire inclus dans B,
eh bien la probabilité de A est inférieure ou égale à la probabilité de B.
Donc ça, c'est une propriété qui peut découler de l'intuition.
Si une propriété implique une autre propriété, eh bien, la chance de réaliser
cette propriété A va être plus petite que la chance de réaliser la propriété B.
C'est ça que cette inégalité un peu abstraite veut dire.
Montrons cette inégalité.
Nous avons B et A qui est inclus dans B et que je mets à l'intérieur de B.
Nous pouvons donc écrire l'événement, l'ensemble B,
l'événement aléatoire B comme la réunion de A et de la couronne
que je hachure ici, qui est l'événement B moins A.
On peut aussi écrire B intersecté avec le complémentaire de A.
Une remarque, l'ensemble A est disjoint de la couronne,
et par l'axiome que nous avons vu sur les probabilités, cela va entraîner que
la probabilité de B, qui est égale à la réunion de A et de B moins A,
est égale à la probabilité de A plus la probabilité de B moins A.
Nous avons vu que la probabilité de B moins A
est un nombre positif et cela entraîne
que P (A)
plus petit
que P (B).
Nous allons maintenant généraliser la propriété que nous avons vue précédemment,
à savoir que si A et B étaient disjoints,
la probabilité de A union B est égale à la probabilité de A plus la probabilité de B.
Nous allons la généraliser à une suite finie
d'événements aléatoires que j'appelle A i et qui sont deux-à-deux disjoints.
je considère donc n événements aléatoires A i et je vais montrer que si les A i
sont deux-à-deux disjoints, la probabilité de l'union de i égal 1 à n des
A i est égale à la somme de i égal 1 à n des probabilités de A i.
Cette preuve va se faire par récurrence sur l'entier n.
Je vais vous montrer que par récurrence sur n,
si les A i sont deux-à-deux disjoints, la probabilité de l'union de
i égal 1 à n des A i est égale à la somme de i égal 1 à n des probabilités de A i.
C'est vrai pour n égal 2,
puisque c'est une des actions que nous avons décidées sur la probabilité,
à savoir que P (A union B) est égale à P (A) plus P (B) si A et B sont disjoints.
Maintenant, supposons que c'est vrai pour toute suite
de n moins 1 événements aléatoires.
[AUDIO_VIDE] Dans ce cas,
si je considère maintenant mes n événements aléatoires A i,
je vais écrire l'union de i égal A à n
des A i comme la réunion de i égal 1 à n moins 1 des A i
union A n, en utilisant l'associativité de la réunion.
Dans ce cas-là, il est facile de voir,
du fait que les A i sont disjoints deux-à-deux, que les événements
aléatoires [AUDIO_VIDE] union
de i égal 1 à n moins 1 des A i et A n sont disjoints.
[AUDIO_VIDE] Nous en déduisons que la probabilité
de l'union de i égal 1 à n des A i est
égale à la probabilité de la réunion de i égal 1 à n moins
1 des A i plus la probabilité de A n.
Maintenant, nous pouvons appliquer l'hypothèse de récurrence à cette
quantité-là et nous savons, par cette hypothèse, que cette probabilité-là vaut
la somme de i égal 1 à n moins 1 des probabilités de A i.
Nous avons donc démontré le résultat.
Dernière propriété, nous allons maintenant montrer que si nous considérons
deux événements aléatoires quelconques A et B,
la probabilité de A union B plus la probabilité de A inter B est
égale à la somme des probabilités de A et des probabilités de B.
Donc une remarque, l'action des probabilités que nous avons introduite
précédemment nous dit une information sur la probabilité de la réunion
de A et B quand A et B sont disjoints.
Maintenant, je regarde des événements aléatoires quelconques où l'intersection
des événements aléatoires A et B n'est pas forcément vide.
Et vous voyez que la probabilité de cette intersection apparaît quand je veux relier
la probabilité de la réunion A union B, à la somme des probabilités de A et de B.
Pour ce faire, nous allons, en fait, décomposer,
nous allons regarder cette image où vous avez l'ensemble
A et l'ensemble B et leur intersection A inter B.
La réunion, bien sûr, c'est l'ensemble qui est défini ici.
En fait, je vais pouvoir décomposer cette réunion,
A union B, comme la réunion de trois événements aléatoires disjoints.
Ici, vous avez A inter B complémentaire.
Ici, vous avez A inter B et ici, vous avez B inter A complémentaire.
Nous allons donc pouvoir écrire que la probabilité de
A union B est égale à la somme de la probabilité de A inter B complémentaire
plus la probabilité de A inter B
plus B inter A complémentaire, qui est ici.
Il est facile de voir que la probabilité de A s'écrit
comme la somme de la probabilité de A inter B et de la probabilité
de A inter B complémentaire, qui sont deux événements disjoints dans A.
Cela me permet d'avoir la probabilité de A inter B complémentaire comme
égale à la probabilité de A moins la probabilité de A inter B.
Je peux faire de même pour calculer la probabilité de cet
événement aléatoire B inter complémentaire de A,
qui va être égale ainsi à la probabilité de B moins la probabilité de A inter B.
Et si j'associe ces trois propriétés, que je vous conseille
de réécrire à tête reposée sur vos feuilles, eh bien, vous
obtiendrez exactement que la probabilité de A union B plus la probabilité
des deux A inter B est égale à la probabilité de A plus la probabilité de B.
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