Et biensûr, la dérivée de F en x est égale à f(X).
Vous verrez des exercices qui utilisent ces résultats-là.
Et réciproquement, si F est dérivable en tout point,
on peut en déduire que X
a une loi de densité f = la dérivée de F.
Donc je répète, je ne vais pas faire la preuve de cette proposition,
ce sont vraiment des résultats d'analyses, qui relient l'intégrale fonction
de sa borne supérieure, pour une fonction f, et la fonction f elle-même.
En revanche ce qui m'intéresse ici,
c'est l'interprétation de ces résultats en termes de probabilités.
Ce qu'on est en train de dire ici, c'est que la densité f, c'est la dérivée,
quand c'est possible, de la fonction de répartition F.
Je vous rappelle qu'un nombre dérivé, si je regarde f(X) et
donc F'(x), un nombre dérivé est la limite de son taux d'accroissement.
Donc si on utilise une notation à la physicienne, j'ai envie de dire,
on peut assurer que f(x) est presque le taux d'accroissement, en tous cas
c'est la limite du taux d'accroissement, F(x + un petit accroissement de x,
que je vais noter delta x), - F(x) sur l'accroissement delta x.
Si nous revenons à la définition de la fonction de répartition en termes de
probabilités, ici je vous rappelle que la fonction de répartition est continue,
donc on peut mettre ici F(x) ou F(x-),
de sa limite à gauche, cette quantité que j'ai ici au numérateur,
nous avons vu que c'était exactement la probabilité pour la loi de X,
de l'intervalle [x, x, + delta x].
Donc en fait, cette densité est la limite, quand l'accroissement tend vers 0,
de la probabilité que X soit dans l'intervalle [x,
x, + delta x] divisé par l'accroissement delta x.
Je vous rappelle que la probabilité, on a vu que c'était une surface,
et on divise par une longueur, tout cela est cohérent, et f(x) ça va être,
nous allons le voir tout de suite, la essentiellement la hauteur d'un petit
rectangle, donc vous voyez ici, ma surface colorée en vert,
c'est en fait l'accroissement, que l'on a écrit sous cette forme,
ici entre 6 et 6 + 1/2 je crois, de mémoire.
Alors, biensûr, pour des besoins visuels on a pris ici un intervalle suffisamment
large, mais maintenant si vous faites tendre cet intervalle-là,
la longueur de cet intervalle vers 0, vous voyez que vos deux hauteurs ici
vont se rapprocher l'une de l'autre, et la hauteur limite,
qui est la valeur, est la valeur de la fonction O.6.
Donc pensez toujours à cette association entre
la densité et des surfaces correspondantes.