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[SON]
[AUDIO_VIDE] Bonjour.
Dans cette séance 2 du chapitre 3, nous allons voir un cas particulier de variable
aléatoire, ou v.a., à valeur réelle, vous allez voir qu'il est extrêmement agréable,
quand on veut faire des calculs, pour l'instant on a regardé les v.a.
réelles et leurs lois d'un point de vue très abstrait,
mais à partir de la troisème séance on va quand même commencer à voir des exemples
et à faire des calculs, donc ces v.a.
qui nous intéressent, enfin ce sont plutôt leurs lois qui nous intéressent,
nous allons voir qu'elles ont une propriété particulière,
à savoir ce qu'on va décrire maintenant.
Je prends donc une v.a.
à valeur réelle, et je vais dire que X a une loi qui a une densité f,
je vais revenir ensuite sur ce qu'est f,
si on peut avoir une formulation spécifique de sa fonction de répartition.
Donc plus précisément, la fonction de répartition de X en le
point x, va s'écrire, comme l'intégrale fonction de sa borne supérieure,
de la fonction f, en le point x.
Donc, nous verrons dans la séance 3, un certain nombre d'exemples de v.a.
à densité.
Alors déjà, pour pouvoir définir ça, pour tout x, je vous rappelle qu'une fonction
de répartition c'est une probabilité, donc c'est un nombre compris entre 0 et 1,
donc déjà, ça exige que la fonction f soit positive, et de plus,
on veut définir son intégrale, on a le droit, comme on l'a vu tout à l'heure,
de faire tendre x vers + l'infini, donc on veut que f soit intégrable.
Alors, suivant votre connaissance en intégration, on va supposer qu'elle
soit intégrable Lebesgue, donc on va lui demander d'être, déjà, mesurable,
soit on va supposer que cette intégrale-là est définie au sens de Riemann,
et dans ce cas-là, on va supposer que l'intégrale converge au sens de Riemann.
Ce sont des notions qui coïncident pour les fonctions positives.
Donc on dira que la loi de X, P indice X a une densité f,
si on a cette propriété la probabilité d'avoir X inférieur ou égal à x est égale
à l'intégrale de- l'infini à x, f(y)dy.
Je vous rappelle que vous avez dû voir cela dans vos cours d'intégration,
qu'une telle fonction qui à x associe l'intégrale de- l'infini à x de
f(y)dy, est une fonction continue en x,
donc dans ce cas, la fonction de répartition de X est continue.
Et nous avons vu que cela entraînait que la probabilité d'avoir
X = x est nulle, quel que soit x dans R.
Ce qui veut dire que,
quand on a une variable dont la loi a une densité, cette v.a.
ne charge pas les points.
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Donc c'est un peu à l'opposé des v.a.
qu'on a vu dans le chapitre 2, qui elles,
ne chargeaient que des singletons discrets.
Donc maintenant, on va appeler densité de probabilité,
toute fonction qui peut être candidate à être la densité d'une loi de v.a.
Donc une fonction f sera une densité de probabilité,
si elle est positive, intégrable, et elle doit vérifier une troisième condition,
je vous rappelle qu'on a vu que la fonction de répartition tendait vers 1
quand x tendait vers + l'infini, et cela va entraîner
l'intégrale de- l'infini à + l'infini, de f(y)dy doit être égale à 1.
Donc rappelez vous de cette condition, qui est
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il est très facile de montrer qu'elle vérifie les propriétés (i), (ii), (iii).
Et donc on sait par le théorème d'existence de construction,
qu'il existe une probabilité µ sur R, tel que µ de l'intervalle [- l'infini,
x] est égal à l'intégrale de- l'infini à x de f(y)dy.
Donc là encore,
on a une relation presque biunivoque entre ces deux classes d'objets.
Biensûr, si µ peut être identifié comme la loi de X, dans ce cas-là, on peut écrire
que cette intégrale est égale à la fonction de répartition au point x.
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J'aimerais vous montrer graphiquement ce que ces objets-là signifient.
Supposons que la densité f soit cette fonction-là,
donc on a une fonction positive, qui prend ici ses valeurs sur l'intervalle [0,
10] et dont on sait qu'elle est l'intégrale 1.
Donc vous voyez que, en fait, si je veux regarder,
donc la probabilité, donc supposons que f soit la densité de la loi d'une v.a.
X, comment est-ce que je vais pouvoir trouver la fonction de répartition de X?
Eh bien vous savez, vous avez vu ça dans des cours d'intégration, que l'intégrale
de- l'infini ou de 0 ici x de la fonction f,
se trouve en fait être la surface qui est délimitée par la courbe f ici,
l'axe des x et la valeur x si on regarde la fonction de répartition.
Donc ici, si on regarde la fonction de répartition de X au point 6,
c'est-à-dire la probabilité d'avoir X alors soit inférieur ou égal,
soit strictement inférieur à 6,
nous avons vu que la probabilité d'avoir X = 6 est nulle dans le cas d'une v.a.
à densité, eh bien cette probabilité-là est exactement la surface que j'ai
coloriée en vert, ici.
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Et biensûr, la dérivée de F en x est égale à f(X).
Vous verrez des exercices qui utilisent ces résultats-là.
Et réciproquement, si F est dérivable en tout point,
on peut en déduire que X
a une loi de densité f = la dérivée de F.
Donc je répète, je ne vais pas faire la preuve de cette proposition,
ce sont vraiment des résultats d'analyses, qui relient l'intégrale fonction
de sa borne supérieure, pour une fonction f, et la fonction f elle-même.
En revanche ce qui m'intéresse ici,
c'est l'interprétation de ces résultats en termes de probabilités.
Ce qu'on est en train de dire ici, c'est que la densité f, c'est la dérivée,
quand c'est possible, de la fonction de répartition F.
Je vous rappelle qu'un nombre dérivé, si je regarde f(X) et
donc F'(x), un nombre dérivé est la limite de son taux d'accroissement.
Donc si on utilise une notation à la physicienne, j'ai envie de dire,
on peut assurer que f(x) est presque le taux d'accroissement, en tous cas
c'est la limite du taux d'accroissement, F(x + un petit accroissement de x,
que je vais noter delta x), - F(x) sur l'accroissement delta x.
Si nous revenons à la définition de la fonction de répartition en termes de
probabilités, ici je vous rappelle que la fonction de répartition est continue,
donc on peut mettre ici F(x) ou F(x-),
de sa limite à gauche, cette quantité que j'ai ici au numérateur,
nous avons vu que c'était exactement la probabilité pour la loi de X,
de l'intervalle [x, x, + delta x].
Donc en fait, cette densité est la limite, quand l'accroissement tend vers 0,
de la probabilité que X soit dans l'intervalle [x,
x, + delta x] divisé par l'accroissement delta x.
Je vous rappelle que la probabilité, on a vu que c'était une surface,
et on divise par une longueur, tout cela est cohérent, et f(x) ça va être,
nous allons le voir tout de suite, la essentiellement la hauteur d'un petit
rectangle, donc vous voyez ici, ma surface colorée en vert,
c'est en fait l'accroissement, que l'on a écrit sous cette forme,
ici entre 6 et 6 + 1/2 je crois, de mémoire.
Alors, biensûr, pour des besoins visuels on a pris ici un intervalle suffisamment
large, mais maintenant si vous faites tendre cet intervalle-là,
la longueur de cet intervalle vers 0, vous voyez que vos deux hauteurs ici
vont se rapprocher l'une de l'autre, et la hauteur limite,
qui est la valeur, est la valeur de la fonction O.6.
Donc pensez toujours à cette association entre
la densité et des surfaces correspondantes.
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Carl Graham
