Séance 2 : LOI D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE RÉELLE À DENSITÉ

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Do curso por École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

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École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

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Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

Na lição

VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (1/3)

Le Cours 3, qui s'étend sur trois semaines, est consacré aux variables aléatoires qui prennent leurs valeurs dans les réels. Une nouvelle rubrique fait son apparition : « Méthodes de simulations et expériences numériques interactives ». Chaque séance du type « Illustration & expérimentation : ... » est accompagnée d'une expérience numérique interactive que vous pouvez manipuler (« A vous de jouer ! »).

Séance 1 : LOI D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE RÉELLE - FONCTION DE RÉPARTITION27:34

Séance 2 : LOI D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE RÉELLE À DENSITÉ10:40

Séance 3 (1/3) : VARIABLE ALÉATOIRE DE LOI UNIFORME et SIMULATION26:39

Séance 3 (2/3) : VARIABLES ALÉATOIRES DE LOIS EXPONENTIELLE OU GAMMA315:14

Séance 3 (3/3) : VARIABLE ALÉATOIRE DE LOI NORMALE12:04

Conheça os instrutores

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON]

[AUDIO_VIDE] Bonjour.

Dans cette séance 2 du chapitre 3, nous allons voir un cas particulier de variable

aléatoire, ou v.a., à valeur réelle, vous allez voir qu'il est extrêmement agréable,

quand on veut faire des calculs, pour l'instant on a regardé les v.a.

réelles et leurs lois d'un point de vue très abstrait,

mais à partir de la troisème séance on va quand même commencer à voir des exemples

et à faire des calculs, donc ces v.a.

qui nous intéressent, enfin ce sont plutôt leurs lois qui nous intéressent,

nous allons voir qu'elles ont une propriété particulière,

à savoir ce qu'on va décrire maintenant.

Je prends donc une v.a.

à valeur réelle, et je vais dire que X a une loi qui a une densité f,

je vais revenir ensuite sur ce qu'est f,

si on peut avoir une formulation spécifique de sa fonction de répartition.

Donc plus précisément, la fonction de répartition de X en le

point x, va s'écrire, comme l'intégrale fonction de sa borne supérieure,

de la fonction f, en le point x.

Donc, nous verrons dans la séance 3, un certain nombre d'exemples de v.a.

à densité.

Alors déjà, pour pouvoir définir ça, pour tout x, je vous rappelle qu'une fonction

de répartition c'est une probabilité, donc c'est un nombre compris entre 0 et 1,

donc déjà, ça exige que la fonction f soit positive, et de plus,

on veut définir son intégrale, on a le droit, comme on l'a vu tout à l'heure,

de faire tendre x vers + l'infini, donc on veut que f soit intégrable.

Alors, suivant votre connaissance en intégration, on va supposer qu'elle

soit intégrable Lebesgue, donc on va lui demander d'être, déjà, mesurable,

soit on va supposer que cette intégrale-là est définie au sens de Riemann,

et dans ce cas-là, on va supposer que l'intégrale converge au sens de Riemann.

Ce sont des notions qui coïncident pour les fonctions positives.

Donc on dira que la loi de X, P indice X a une densité f,

si on a cette propriété la probabilité d'avoir X inférieur ou égal à x est égale

à l'intégrale de- l'infini à x, f(y)dy.

Je vous rappelle que vous avez dû voir cela dans vos cours d'intégration,

qu'une telle fonction qui à x associe l'intégrale de- l'infini à x de

f(y)dy, est une fonction continue en x,

donc dans ce cas, la fonction de répartition de X est continue.

Et nous avons vu que cela entraînait que la probabilité d'avoir

X = x est nulle, quel que soit x dans R.

Ce qui veut dire que,

quand on a une variable dont la loi a une densité, cette v.a.

ne charge pas les points.

Donc c'est un peu à l'opposé des v.a.

qu'on a vu dans le chapitre 2, qui elles,

ne chargeaient que des singletons discrets.

Donc maintenant, on va appeler densité de probabilité,

toute fonction qui peut être candidate à être la densité d'une loi de v.a.

Donc une fonction f sera une densité de probabilité,

si elle est positive, intégrable, et elle doit vérifier une troisième condition,

je vous rappelle qu'on a vu que la fonction de répartition tendait vers 1

quand x tendait vers + l'infini, et cela va entraîner

l'intégrale de- l'infini à + l'infini, de f(y)dy doit être égale à 1.

Donc rappelez vous de cette condition, qui est

souvent utile dès que l'on fait des calculs.

Une remarque, c'est que si vous avez une densité de probabilité telle qu'on la

définit ici dans cette assertions, si maintenant je définis

la fonction F(X) comme étant l'intégrale fonction de sa borne supérieure de f,

il est très facile de montrer qu'elle vérifie les propriétés (i), (ii), (iii).

Et donc on sait par le théorème d'existence de construction,

qu'il existe une probabilité µ sur R, tel que µ de l'intervalle [- l'infini,

x] est égal à l'intégrale de- l'infini à x de f(y)dy.

Donc là encore,

on a une relation presque biunivoque entre ces deux classes d'objets.

Biensûr, si µ peut être identifié comme la loi de X, dans ce cas-là, on peut écrire

que cette intégrale est égale à la fonction de répartition au point x.

J'aimerais vous montrer graphiquement ce que ces objets-là signifient.

Supposons que la densité f soit cette fonction-là,

donc on a une fonction positive, qui prend ici ses valeurs sur l'intervalle [0,

10] et dont on sait qu'elle est l'intégrale 1.

Donc vous voyez que, en fait, si je veux regarder,

donc la probabilité, donc supposons que f soit la densité de la loi d'une v.a.

X, comment est-ce que je vais pouvoir trouver la fonction de répartition de X?

Eh bien vous savez, vous avez vu ça dans des cours d'intégration, que l'intégrale

de- l'infini ou de 0 ici x de la fonction f,

se trouve en fait être la surface qui est délimitée par la courbe f ici,

l'axe des x et la valeur x si on regarde la fonction de répartition.

Donc ici, si on regarde la fonction de répartition de X au point 6,

c'est-à-dire la probabilité d'avoir X alors soit inférieur ou égal,

soit strictement inférieur à 6,

nous avons vu que la probabilité d'avoir X = 6 est nulle dans le cas d'une v.a.

à densité, eh bien cette probabilité-là est exactement la surface que j'ai

coloriée en vert, ici.

Donc ce qu'il faut garder en tête,

c'est qu'une probabilité se représente graphiquement par une surface.

Donc la fonction de répartition se représente par une surface,

alors que la densité se représente par une fonction.

Comment passer de l'une à l'autre?

Eh bien en fait, exactement par les résultats d'analyses,

qui relient une fonction f et son intégrale F

et donc ici, évidemment, F c'est

ce qu'on appelle une primitive de f, au moins quand f est suffisamment régulière.

Ces résultats d'analyses sont résumés dans cette proposition,

à savoir que si vous avez X une v.a.

de loi f, la fonction de répartition F indice

F de X est dérivable en tout point x où f est continu.

Et biensûr, la dérivée de F en x est égale à f(X).

Vous verrez des exercices qui utilisent ces résultats-là.

Et réciproquement, si F est dérivable en tout point,

on peut en déduire que X

a une loi de densité f = la dérivée de F.

Donc je répète, je ne vais pas faire la preuve de cette proposition,

ce sont vraiment des résultats d'analyses, qui relient l'intégrale fonction

de sa borne supérieure, pour une fonction f, et la fonction f elle-même.

En revanche ce qui m'intéresse ici,

c'est l'interprétation de ces résultats en termes de probabilités.

Ce qu'on est en train de dire ici, c'est que la densité f, c'est la dérivée,

quand c'est possible, de la fonction de répartition F.

Je vous rappelle qu'un nombre dérivé, si je regarde f(X) et

donc F'(x), un nombre dérivé est la limite de son taux d'accroissement.

Donc si on utilise une notation à la physicienne, j'ai envie de dire,

on peut assurer que f(x) est presque le taux d'accroissement, en tous cas

c'est la limite du taux d'accroissement, F(x + un petit accroissement de x,

que je vais noter delta x), - F(x) sur l'accroissement delta x.

Si nous revenons à la définition de la fonction de répartition en termes de

probabilités, ici je vous rappelle que la fonction de répartition est continue,

donc on peut mettre ici F(x) ou F(x-),

de sa limite à gauche, cette quantité que j'ai ici au numérateur,

nous avons vu que c'était exactement la probabilité pour la loi de X,

de l'intervalle [x, x, + delta x].

Donc en fait, cette densité est la limite, quand l'accroissement tend vers 0,

de la probabilité que X soit dans l'intervalle [x,

x, + delta x] divisé par l'accroissement delta x.

Je vous rappelle que la probabilité, on a vu que c'était une surface,

et on divise par une longueur, tout cela est cohérent, et f(x) ça va être,

nous allons le voir tout de suite, la essentiellement la hauteur d'un petit

rectangle, donc vous voyez ici, ma surface colorée en vert,

c'est en fait l'accroissement, que l'on a écrit sous cette forme,

ici entre 6 et 6 + 1/2 je crois, de mémoire.

Alors, biensûr, pour des besoins visuels on a pris ici un intervalle suffisamment

large, mais maintenant si vous faites tendre cet intervalle-là,

la longueur de cet intervalle vers 0, vous voyez que vos deux hauteurs ici

vont se rapprocher l'une de l'autre, et la hauteur limite,

qui est la valeur, est la valeur de la fonction O.6.

Donc pensez toujours à cette association entre

la densité et des surfaces correspondantes.

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