Voici maintenant la solution de l'exercice.
Je vous rappelle, on vous demandait de calculer P de M sachant T+,
alors qu'on connaît P(M), P(T+ sachant M) et P(T- sachant S) essentiellement, donc,
il s'agit de retourner les probabilités conditionnelles, et pour cela,
comme toujours, en utilisant la définition des probabilités conditionnelles,
la probabilité conditionnelle de M sachant T+, c'est la probabilité de M et de T+
divisé par la probabilité de T+, et donc c'est la probabilité conditionnelle de T+
sachant M, multiplié par la probabilité de M sur P(T+).
On a déjà fait apparaître deux des termes,
ce qu'il nous reste à trouver, c'est P(T+).
De façon très classique,
P(T+) c'est la probabilité de T+ et M + la probabilité de T+ et S,
puisque M et S sont disjoints, et donc pour passer en probabilité conditionnelle,
c'est la probabilité de T+ sachant M fois P(M) + la probabilité de T+ sachant S
fois P(S), c'est ce qu'on appelle la formule de la probabilité totale,
en fait on écrit très souvent immédiatement P(T+) = P(T+ sachant M)P(M)
+ P(T+ sachant S)P(S) Donc pour tout écrire en fonction des données,
P(T+) = P(T+ sachant M)P(M) + (1- P(T- sachant S) ) (1- P(M) ).
Pour écrire les choses en fonction des données.
Nous avons donc trouvé une formule pour P(T+) et donc en définitive,
P(M sachant T+) c'est égal à P(T+ sachant M)P(M) / P(T+)
donc sur P(T+ sachant M)P(M) + (1- P(T- sachant S) ) (1- P(M) ) Et de même,