這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
7-3.a: 條件機率分佈與失憶性 (上)
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Do curso por National Taiwan University
頑想學概率：機率二 (Probability (2))
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Na lição
WEEK 7
上週提到離散的隨機變數期望值，本週我們會談到離散的隨機變數期望值該怎麼算出來？在 7-2 和 7-3 我們會了解隨機變速的函數、條件的幾率分佈、和失憶性──之前我們有提到 Geometric Distribution 跟Exponential 都是失憶性的這種幾率分佈，那什麼叫失憶性 (Memoryless) 呢？
Conheça os instrutores
葉丙成教授 (Professor)
電機工程學系 (Department of Electrical Engineering)
那接下来 我们来最后来介绍这个7-3的这个
条件的概率分布 还有这个所谓失忆性的性质
我们现在看一个例子
这个
之前我们讲到这个宅宅
他这个每天去跟店员妹买东西
最后终于追到了店员妹
他这个店员妹
不知道为什么这么爱 她也很爱宅宅
所以为了更了解宅宅的心
她也开始去战LOL
她希望说 为什么知道 为什么宅宅这么喜欢LOL
那已经知道 这个店员妹在LOL的这个场数
X~UNIF(1,5)
也就是1到5的概率都有可能 1到5的概率都有可能
但是
如果说我们今天知道说
已经知道店员妹今天
战了两场之后依然战意甚浓 继续战
也就是说
已经有个条件发生了
什么条件
已经知道店员妹战了两场之后还想再战
那请问在这情况之下
这个店员妹战LOL的这个场数的概率
是概率分布是多少
因为你已经战了两场
本来是等于一场、等于两场、等于三场、四场、等于五场的概率
都是一样 都是1/5
但是今天已经告诉你说
店员妹战了两场以后还想再战
那请问她今天战了几场
这概率分布是多少
战了两场还想再继续再战
这表示什么
她就不是3、就是4、就是5
而且看起来机会都均等 所以就是什么
是1/3
这个是从理解上来讲
我们很好理解
但是从数学的角度
属于数学角度 实际上或者是更复杂的问题的话
我们其实要有一个比较
精准的数学的形式来表达这个事情
那是怎么样子
基本上就跟我们讲条件概率一样
你先要定义你的条件是什么
在这个地方 我们的case就是
B 就是这个条件是什么
就是店员妹战了两场还想再战
这就是我们的条件 这是我们的条件B
那在原来的random variable
X 它有它的概率分布
但是在B这件事情发生了之后
X的概率分布就变了
那我们怎么样用符号上来表示这个事情
来表达说 这个是发生B了之后
这个事件之后的这个X
跟原来那个X是不一样的X
怎么表示
就PMF的角度来讲 我们通常会这样写
我们就写说
X|B 就在那个足标那边写
X|B
这就是告诉人家说
这不是原来那个X
这个那个发生B了以后的那个X
发生B了以后那个X
所以这个东西
如果以数学上来讲是什么意思
这个符号其实就是把它写成就是一个条件概率
这个conditional
这个东西 前面这个地方我们叫做这个
conditional的PMF
条件的PMF
但是条件的PMF你要是给它写成概率形式 它其实是什么
它就是个条件概率
就是在B这个条件发生的情况之下
X会等于x的这个概率
那这个条件概率
根据我们以前学过条件概率是什么
就是你这两个东西都交集、都发生
就是X等于x且条件B发生的概率
去除于
除于这个B发生的概率
这就是条件概率 也就是我们以前学的嘛
所以从这边可以分析出conditional的PMF
就是在B发生的情况之下 条件之下 去算这个条件概率
那现在问题来了
X等于x且B又发生
这个东西 B有没有发生其实是看什么
去看你X的值
所以 你今天说X等于这个x
比如说 我举例来讲 像刚才这个条件
战了两场还想再战
那我问你
X如果等于1的话
X等于1且B发生的概率是什么
今天她只战了一场
然后B说 B这个条件是战了两场还想再战
这两个事情交集是什么 是0
怎么可能她战了一场
然后又战了两场又想战
这两件事情是不会同时发生的
所以你就发现说 原来你这个
X等于x 这个x如果没有在B里面的话
那上面这个概率其实就是等于0
但是 如果
这个X等于x 那个x已经有在B里面了
那你只要算X等于x有发生就好
所以你把它整理出来会像这个样子
如果你的x是不属于B 就像刚才那个有没有
X是在1的这个情况之下
X=1 那它不符合你这个条件
所以在这个条件的发生情况之下
X是不可能等于x的
所以它这个概率就等于零
但是
如果说你这个X等于x的这个x
本身是属于B的
以这个例子来讲就是x等于3或4或5的话
那根据条件概率
你上面这个X等于x就已经在B里面
所以我就不用再特别写出它有在B
因为这个x本身就属于B里面的一份子
所以只要X有等于x
B自然就成立了
所以上面这个地方
其实就是变成是原来的X等于x的概率
然后除于B发生的概率
那X等于x 原来你看看
这个原来X等于任何一个x的概率是什么
都是1/5
所以这边的分子就是1/5
那分母
就是B发生的概率
战了两场还想再战 那就是
战了3场或4场或5场
就是3/5
就是 所以就是3/5一除就是1/3
所以这边为什么是1/3
直观上来讲是1/3没有错
但是它其实是有经过一个严谨的、数学的推导
是follow我们以前的条件概率
ok
所以这个就是discrete 这个case下的条件概率分布
那我们把它整理一下
也就是什么 就是说
如果X是个离散的随机变数
然后它的PMF是px(x)
也就是原来的PMF已经有了
那如果我们已经知道某个事件B已经发生的情况之下
在这种情况之下你的新的条件概率分布是什么
你的PMF 就是刚才讲的
conditional的这个PMF
这边要写个|B
告诉人家说这是B发生了
如果你的x 这个x
你现在看到x是有在落在B里面的话
那很简单
这个新的条件的这个PMF就是把原来的PMF值去除于P(B)
Normal来计算就好
如果你这个x是不属于B的
这个x是不属于B的那就很简单
就是在B发生的情况之下这个x是不会发生的
所以conditional的PMF在这个地方的值就是等于0
但是大家记住一件事
X|B怎么样
它本身也是一个非常健全
非常可爱的一个随机变数
X是个随机变数
X|B也还是个随机变数
就所以一个
它只是跟X不一样的是说 告诉人家说 人家告诉你说
这是B 这个事情发生之后的随机变数
就比如说
我举个例子说 比如说
像以前杨过
杨过是黄蓉从小养大
杨过本来是一个人
但是他本来也很听郭靖、黄蓉的话
他的行为 比如说今天黄蓉叫他做一个事情
他会不会去做
会做用1表示 不会做就用0表示 不听话就用0表示
他以前黄蓉叫他
因为有时候小朋友 有时候你叫他做事情他自己不会做
所以他会不会做其实是个随机变数
这个x代表以前杨过的行为模式
好了 今天杨过知道了黄蓉干掉了
杨康是被黄蓉害死了以后
杨过是不是整个人个性大变了
今天他对黄蓉充满敌意
所以他 你叫他做事情
他可能就会故意搞怪或者不做或者干什么
但是你看看
杨过依然是一个人
这个杨过只是跟以前的杨过不一样
这个只是说 我知道了 他爸爸被害死了以后
他爸爸是怎么死的
之后的杨过跟完全以前不知道他爸爸怎么死的杨过
两个都是一个 都是随机变数
所以一个正常的随机变数该有的它应该有
比如说x它应该有CDF、有期望值、有什么东西
那X|B 这个知道他的爸爸怎么死之后
这个新的随机变数X
CDF、期望值、什么东西它应该都有
它也是一个健全的随机变数
所以很多同学在学条件概率分布的时候
很容易就被这个|B 整个就吓到 不要吓（倒）
不要吓（倒） 就把这个|B当作一个符号而已
它依然是个随机变数
所以从这角度来看的话 它CDF是什么
CDF的话 你看一个正常的随机变数
它的CDF是把它小于等于x之后的
小于等于x那些值的PMF都加起来
所以这个X|B的CDF是什么
就是把X|B的那个条件CDF 所有比X还要小的那些
CDF全部把它加起来 这样就好了
所以其实也在看
因为这里面只有u也在B里面 它才会不等于0
其它等于0就不用看 你可以用另外一种形式化简就是这个
但你先从这个式子来看 从这个框框里面来看
你发现这个CDF长这个样
跟一般的随机变数长得没有两样
所以不要被吓到
那我们再看一个Case 刚刚是Distribute的Case
那连续的Case长什么样子
如果今天是店员妹她等公车上班
她等公车的是时间是X 是个连续的时间
从0到10分钟都有可能 而且是均等
所以它是一个Uniform
这个连续的概率分布
那假设店员妹已经等了5分钟 这个车子还没来
请问在这情况下 她等车的时间概率分布是什么
所以你看我们现在应该知道条件是什么
X是个Uniform 0到10之间都有可能
然后我们知道已经有个事件发生
什么事件发生
就是她等了5分钟还没来
所以也就是说等车的时间X是大于5的
那这个条件发生的概率是多少
就是原来等车的时间是0到5之间都有可能
0到10之间都有可能 那你现在发现它已经大于5了
所以就是什么 就是只有1/2的概率
这个条件是1/2的概率
那你来看一下 这是一个正常的CDF
0到10之间等于1/10
就是一般店员妹她去等公车的时候
它时间的PDF长这个样
但是今天已经告诉你说
店员妹已经等了5分钟了 等了5分钟车子还没有来
所以它的概率分布 这个PDF长成这个样子
只有5到10之间才有可能
那5到10之间 而且5到10之间的机会都是均等
所以它PDF是什么 就是1/5
同样的 这里也应该有个严谨的
这个数学的一个方式来得到这个数
我们看看这个式子
我们看看这个X|B就在
B发生的情况之下X的Conditional的PDF
条件PDF是什么
那回到这个 我们还是要回到
像第五周那样 这个算PDF也不好算
所以我们还是希望从概率的角度出发
怎么样把PDF跟概率的角度出发连起来关系
这个在B发生的条件之下
然后X在x附近的PDF
事实上我们讲过
那个东西跟X落在小区间的概率是有关系的
我们知道X落在任何一个地方的小区间的概率
那个△很小的话 落在那个△区间概率
会等于那个地方的PDF值去乘以△
所以换一句话说
一个地方的PDF值会等于
X落在x附近的那个小区间的概率去除以△
所以你看看 从第一个等号 就是这个地方
我们先把它表示成
X在发生B的条件之下
X会在落在那个小区间的概率
这是概率 它应该是很接近概率密度乘以△
我们先把它除以△就会得到这个概率密度
所以我们从一般角度出发
通过这个方式
你看老师每次讲概率密度就很喜欢用这个近似值
为什么 因为这个近似值你就可以把概率密度
转化成一个概率的形式
那我们从第一个星期一直到目前为止
对于处理概率这些事情都比较上手、比较习惯的
对于处理概率密度比较不习惯
所以你只要通过这种方式
Always（总是）把概率密度表示成
落在那个小区间的概率除以△的话
我们就可以继续用我们最熟练的
处理概率的这个方法来处理它
你看看这东西
X落在x跟x+△之间的这个事件
Condition on B这个事情发生的
那是什么 那是条件概率
条件概率是什么
就是你第一个要分母除以条件发生的概率
X∈B 这个B发生的概率
分子是什么 就是X落在x跟x+△之间且X∈B
同样的 你看看分子这个概率就要看x
如果x有在B里面的话
那它发生在小区间同时也会imply
导致它这个B一定会发生
所以你只要确定它有这个x在这个小区间
但是如果现在这个X不在B里面
那你要它落在小区间又落在B里面 这个概率是等于0的
所以也是一样可以区分说
x属于B跟x不属于B的时候
这个概率分别等于0和不等于0
还标个记 这还有个1/△
是前面这个△带过来的
那我们整理一下会发现
当你的x落在B里面的话
这个分子 刚刚讲到这个分子x属于B就不用考虑了
只要你X有落在x跟x+△之间 这个B必然成立
所以这个只要考虑分子来考虑概率就好
那分母 刚刚讲前面有个△
还有这个在B发生的概率
你看这个东西
△分之X落在x附近的小区间的概率是什么
那不就是原来的X在x边的PDF值吗
不就是f(x)
所以这是fx（x）
所以就是等于这东西再除以P（B）
这就是你新的Conditional PDF的值
on the other hand （另一方面说）如果你的x不属于B的话
那你这边Conditional PDF值等于0
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