好 那你看看呢 我们之前有讲过
对于任何一个随机变量X来讲
对于任何一个随机变量X来讲
它的一个函数 X的一个函数
比如说随便用g(X)来表示这个函数的话
X如果是随机的 那它带到一个函数里面是不是也是随机的
是的啊 所以我们上次讲过g(X)也是一个随机变量
那既然是随机变量 它就应该有它的期望值 对不对
那一种方法就是说
g(X)是一种随机变数 那我就先算出g(X)的PMF
那我就可以定义它的期望值 这是种方法 也是很好的
但是这种方法有时候就比较啰嗦
因为你要定义g(X)的期望值之前
你要先找出g(x)这个随机变量它的PMF
这个有时候就比较麻烦
所以呢我们就说 其实我们发现说
g(X)有一个等价的一个算法 可以算出它的期望值
就是你把g(X) 很简单 就是g(X)乘上Px（x）就好
然后也是一样 把所有的小x 所有的可能的x都submission起来
这是用来算一个 当你这个x带到一个 因为这个就是说
x的概率分布是这个嘛 当你x的概率分布
你这个时候要算的平均式你带到g(X)的这个平均值
所以我们这边呢 就不是乘以X了而是乘以g(X)了
而这个g(X)乘上Px(X)加起来就是g(X)的期望值 这样非常重要的
一个式子要记住
期望值的运算呢它有一些性质 让我们
这个性质呢可以使我们在计算期望值的时候可以比较方便比较好算
所以这个东西大家一定要注意
我们举一个例子给大家看
假设你今天有个随机变量X它是什么概率分布我不知道
但是呢 我们比如说 某个概率分布 然后你要算的是
3X^2的这个期望值 那这个是什么
这是不是X的一个函数 就刚才讲的那个g(X)嘛
就是g(X)=3X^2的意思嘛
那3X^2的期望值 刚才讲g(X)的期望值就很简单
你就把g(X)直接乘x的PMF然后submission起来
所以这个既然是你的g(X) 你把它代小x进去
就变成了3x^2，小x的平方 乘上对应的PNF了 OK
好，那这个时候呢 我们要做一件事情 什么事情呢
我们把这个3呢拉到外面来 所以是不是就变成了
3乘上submission的x^2乘上Px(x)
好 那最后等于什么 随后等于3乘上g(X)^2
所以从这个例子我们会发现说 诶 你在这里面有一个常数 有没有
这个常数是可以直接提到这个期望值外面
期望值里面的任何一个常数 常数的系数都可以被拉到外面来
这是它的一个很重要的性质
这个东西呢 不是只有对这个x^2 不是说这个地方是x^2才有用
事实上，对于任意的g(X)都成立 怎么说呢 你看
假设你的这个常数 这个刚才我们是用3嘛 那这边我先用一个α来表示任意的一个常数
你有个任意的常数α乘上个g(X) 所以说那期望值
那根据定义 这个东西的期望值是什么
把这里面的整个东西代小x 就是α乘上g(x) 乘上PMF 对不对
好 这个submission呢 α是常数 是不是又可以拉到前面来
所以你把它拉到前面来 然后就变成是
α乘上submission的g(X)乘上Px(x) 对不对
那g（x）乘上Px(x)那submission取代 这是什么的期望值
这是g(X)的期望值啊 所以呢外面再乘上一个α
所以我们刚才就证明给你看呢 刚才这个性质不是只有在X^2的时候才成立
是对于任意的大X的函数g(X)呢 你在里面呢给它乘上一个α
这个α一直可以被你提到外面来 这也就是说我们在做题的时候就很方便了
好 那刚才这个α乘上g(X)的期望值呢 α可以提出来
那这个性质呢 怎么把它延伸呢 好 我们来看一下
假设我们现在是αg(X)+βh(X)这两个合成起来再取期望值
有没有什么性质或者化简可以用的呢 我们来看一下
αg(X)+βh(X)这个也是可以看起来把它当做是一个X的一个整的一个很大的一个函数嘛
对不对 那它的期望值是什么
就把小x代进去啊 就是αg(x)+βh(x)这整个东西去乘上Px(x)
那这两个东西呢 这样是现在是 这两个呢加在一起以后再乘上Px(x)
对不对 那我们就把它乘开来 把它乘开来
那这个就变成 一个是乘开来 这一个submission
另外是 另外一个h乘起来再乘一个submission
那你看看呢 αg(X)再乘上Px(x)
这个α跟前面一样 怎么样 可以先拉到外面来
那β呢也是一样 本来呢β也是一样跟h乘在一起
但是呢也可以被拉到外面来 好 所以就变成这两个样子
那这个呢 again 我们知道 g(x)乘上Px(x)然后去掉submission 这是什么
这是g(X)的期望值嘛 所以这两个呢 前面这边就变成是
αg(X) 那后面这个呢 h(x)乘上Px(x)呢 submission起来 那是什么
那是h(X)的期望值 所以这个东西就是βE[h(X)]
所以我们发现说 原来你在里面呢是一个线性组合
αg(x)+βh(x) 你可以把它拆开成 各自各做各的期望值
g做自己的期望值 h做自己的期望值
最后再用α、β把它乘在一起加起来 OK
好 那老师问你 如果现在是3个呢
现在这里面如果是αg(x)+βh(x)的值再加上比方说γl(x)的时候
这东西呢是不是后面可以多加一项出来 是可以的
所以这个性质是可以 你如果你看刚才的这个证明的话
这里面如果是3项 那这边这个地方呢 就会是三项
对不对 那3项的话 这边呢就拆成3个 submission
那最后呢也会变成是3个 这个期望值个别算出来后再乘上α、β、γ相加 OK
所以一般说这个性质怎么样 他是不是只限于两个
No 3个、4个甚至n个都可以
好 这边呢 老师给大家一个例子
6X+8X^2它的期望值 那我们就可以把X自己当做一个函数
写作g(X)=X 把X^2当做h 这个当做一个函数
h(x)=X^2 所以呢你看 这个怎么样 就可以把他们各自拆开
那也就是自己算自己的期望值 X呢就是算自己的期望值之后
这个6把它拉到外面来 那8也是一样
那8呢 X^2是自己算自己的期望值 那8呢把它拉到外面来
OK 所以呢这个性质很多时候 期望值的化简会很有用
等一下我们后面就会看到OK
好 期望值还有一个很重要的一个性质是什么 就是
α如果是一个常数的话 老师问你 如果α 比如说α等于5
5的期望值是多少 那你就看看 α是一个任意的常数
那你就看看 根据期望值的定义 这个东西它的期望值是什么
就是它呢 去乘上X的PMF 然后submission起来
那你看呢 这个α呢 也是一样我们可以把它拉到外面来
那这边呢就变成什么 submission的PMF
把PMF从负无穷一直加到无穷大 把X从负无穷加到无穷大
submission加到无穷大 你想想看这PMF你从头加到尾
加起来等于多少 就等于1啊 所以你看
α乘上1呢就是α 好 所以 任何一个常数的期望值 都是等于这个常数自己
好 就是比如说3的期望值 就是3 或者说这个例子
6的期望值就是6 这个合理吧
它都已经是常数了 你还期望它变什么
任何一个常数期望值 你还期望它变成别的数字吗
不可以啊 这就不叫常数了 对不对
所以任何常数的期望值是什么 就是它自己
OK 这也是期望值一个很重要的一个性质
好 很常见的一些随机变量的一些函数的期望值是什么呢
这边做一个介绍啊 其中一个 很常见的 以后你常会听到 就是说
X的n‘smoment 我们的中文会讲说X的第n个moment
n‘s就是第n个的意思 一个很常见的函数就是说x的第n个moment
那这个什么叫X的第n个moment x的第n个moment其实就是代表
葉丙成教授 (Professor)
