Après l'introduction dans la vidéo précédente des équations de base de l'effet Kerr optique, nous allons maintenant nous intéresser à cet effet dans deux cas particuliers plus simples, le premier où nous n'aurons que des effets spatiaux, donc le cas d'un faisceau monochromatique qui se propage dans un milieu non-linéaire, et le second qui fera l'objet de la vidéo suivante, qui correspond au cas d'une impulsion brève. Donc nous allons, comme nous l'avons fait pour la dispersion, distinguer ces deux cas pour simplifier le problème. Dans cette première vidéo, nous allons donc nous intéresser au domaine spatial. Considérons donc un faisceau lumineux se propageant ici au travers d'un milieu non-linéaire d'épaisseur grand L Comme nous l'avons vu, l'équation qu'il faudrait en principe résoudre pour la propagation de ce faisceau consiste à écrire que la dérivée première de l'enveloppe du champ par rapport à z serait la somme de deux opérateurs, l'un représentant les effets de diffraction, et l'autre les effets non-linéaires. Donc la diffraction sera représentée sous l'effet de ce laplacien transverse ici, et l'effet non-linéaire correspondant à l'effet Kerr que nous avions établi donc sous cette forme. Donc ce que nous allons faire ici, c'est que nous allons supposer que, compte tenu de l'épaisseur suffisamment faible du matériau, on pourra négliger l'effet de la diffraction. Donc on va éliminer ce terme ici, correspondant à la diffraction, qu'il faudrait en principe prendre en compte si on avait un milieu épais, afin de se concentrer sur l'effet de la non-linéarité optique. Donc en d'autres termes, on néglige cet opérateur différentiel des chapeaux, et on va s'intéresser uniquement à l'opérateur non-linéaire N, et donc c'est, ce sera l'effet de cet échantillon, uniquement un effet non-linéaire et donc uniquement un effet de phase ici comme vous l'avez dans cette équation. Une grandeur qu'il est habituel d'introduire quand on s'intéresse à l'effet Kerr, c'est ce qu'on appelle l'intégrale b. Cette intégrale, par définition, est égale à l'accumulation ou à l'intégrale du déphasage non-linéaire donc qui est proportionnelle à gamma A en module au carré, le terme que nous avons ici, sur l'ensemble de la propagation, donc une intégrale de zéro à L de gamma A de zéro zéro z au carré d z. C'est-à-dire qu'on va s'intéresser ici au déphasage non-linéaire au centre du faisceau lumineux, là où l'intensité est la plus grande. Et donc c'est défini de manière générale ici sous la forme d'une intégrale qu'on peut aussi exprimer en utilisant non pas le paramètre gamma mais l'indice non-linéaire n deux sous la forme donc de oméga sur c ou deux pi sur lambda fois l'intégrale de n deux fois l'intensité du faisceau en son centre. Dans le cas que nous avons ici, où l'intensité pourra être supposée constante dans le milieu, puisqu'on a négligé les effets de la diffraction, cette intégrale s'écrira tout simplement sous la forme, donc, oméga zéro sur c, je vais le réécrire, deux pi sur lambda multiplié par n deux I, donc I ce sera ici l'intensité au centre du faisceau, donc qui, je vous le rappelle d'après ce qu'on a vu dans la vidéo précédente, sera indépendante de z, et évidemment multiplié par l'épaisseur L de l'échantillon. Donc cette intégrale b va correspondre au déphasage non-linéaire maximum qu'on pourra accumuler lors de la propagation. Alors ce qu'on peut voir tout de suite c'est que, même si l'intensité est faible et si le produit n deux I est très faible devant un, on a ici un facteur L divisé par lambda qui pourra être considérable, puisqu'on va avoir un échantillon par exemple qui aura une épaisseur de l'ordre du centimètre, comparé à une longueur d'onde de l'ordre du micron, on aura de nombreux ordres de grandeur ici qui vont pouvoir renforcer cet effet non-linéaire. Ce sera encore plus vrai si on s'intéresse à la propagation d'un faisceau lumineux le long d'une fibre optique où on pourra avoir des distances considérables par rapport à la longueur d'onde. Donc on pourra avoir des intégrales b importantes. Donc l'intégrale b c'est ce qui va nous permettre de, disons, de quantifier l'importance de l'effet non-linéaire accumulé tout le long de la propagation. Bien, alors on va donc considérer maintenant le fait qu'on a un faisceau lumineux, qui est par exemple ici un faisceau Gaussien, et donc qui a une intensité I de r qui va varier avec r, donc ici sous la forme d'une Gaussienne, et donc qui sera évidemment plus important au centre que sur les bords, et ce qui va être intéressant précisément, c'est le fait que l'intensité varie avec la position à l'intérieur du faisceau lumineux. Ça, ça veut dire que finalement le déphasage va être plus important au centre que sur les bords puisque le déphasage sera proportionnel à l'intensité, et donc on va avoir un chemin optique plus grand au centre du faisceau que sur les bords, raison pour laquelle j'ai représenté ici une petite bosse sur l'échantillon. Tout se passe comme si, comme on a un échantillon, pardon, comme on a un chemin optique plus important au centre du faisceau, tout se passe comme si on avait une épaisseur plus importante, une surépaisseur au centre de ce faisceau lumineux, et ce qu'on voit ici c'est que cette déformation va finalement jouer le rôle d'une lentille sphérique. Vous allez a priori dévier votre faisceau lumineux, qui au début avait une propagation parallèle, et bien sous l'action de cette lentille, vous allez faire converger le faisceau, et c'est ce qu'on appelle l'auto-focalisation. C'est la manifestation spatiale de l'effet Kerr optique. Alors on peut se rendre compte ici, en représentant l'amplitude A de x y du champ électrique en sortie de l'échantillon, donc là ce sera ce qui est représenté ici, c'est l'amplitude en ce point, donc en fonction de x y, et puis ici dans l'espace de Fourier. Donc on avait déjà vu qu'on avait des relations du type delta x delta k x supérieur ou égal à un demi, et donc aussi que si on a une Gaussienne dans cet espace, on aura également une Gaussienne dans l'espace des k. Et on va voir maintenant ce qui se passe si j'augmente la valeur de l'intégrale b. Donc ici j'ai une valeur de b qui est égale à zéro, par exemple si on avait un milieu qui n'était pas non-linéaire, si on fait n deux égal à zéro, et puis je vais progressivement augmenter la valeur de b pour voir ce qui se passe. Donc vous voyez que naturellement, ce qu'on a, c'est qu'en sortie de l'échantillon, on a ces couleurs qui apparaissent qui correspondent à une phase qui a une symétrie de révolution, puisque le faisceau a une symétrie de révolution pour son intensité, mais une phase qui va dépendre de, finalement, la distance au centre du faisceau. J'utilise le même code couleurs qu'on a utilisé depuis le début de ce cours pour représenter l'amplitude et la phase, enfin le code couleurs pour la phase et puis l'amplitude est représentée selon la brillance donc le noir ici correspond évidemment à un faisceau d'amplitude nulle. Donc vous voyez que, plus j'augmente la valeur d'intégrale b, et plus on va avoir un grand nombre d'anneaux concentriques ici, vous indiquant que la phase varie rapidement au centre du faisceau. Le maximum du déphasage correspond à ce qu'on a au centre du faisceau mais on aura une variation quand on s'écarte du centre. Et vous voyez qu'une première conséquence, c'est que dans l'espace des vecteurs d'onde, et bien, naturellement, on va augmenter le diamètre du faisceau et donc on va augmenter la valeur de delta k x et de delta k y. Donc là, on va être largement supérieur ici à la relation delta x delta k x que vous aviez démontrée avec Vincent. Cette apparition de nouveaux vecteurs d'onde transverse correspond aux flèches que j'ai représentées ici, c'est-à-dire que vous allez, avec ces nouveaux vecteurs d'onde, vous allez pouvoir focaliser votre faisceau lumineux sous l'action de cette lentille de Kerr. Nous venons de voir ce qui se produisait à l'intérieur de notre échantillon non-linéaire dans lequel nous avons pris en compte uniquement l'effet Kerr et où nous avons négligé la diffraction. Il est bien entendu intéressant de voir ce qu'il va ensuite advenir de ce faisceau lumineux en aval de l'échantillon, sous l'action de la diffraction et avec cette nouvelle phase. Alors vous avez ici représenté, en fonction de la distance de propagation en aval de l'échantillon, le diamètre, la largeur r m s du faisceau lumineux telle qu'on l'avait définie, vous avez la courbe en gris ici qui correspond à la loi hyperbolique qu'on avait trouvée quand on avait, sous le seul effet de la diffraction, et on va voir maintenant comment se propage le faisceau lumineux lorsqu'on modifie sa phase en raison de la non-linéarité dans l'échantillon. Donc vous avez ici deux images, la première qui est en sortie de l'échantillon, donc toujours en amplitude et en phase, et puis la deuxième après une distance de propagation qu'on va pouvoir faire varier, donc qui se trouve en ce point-là. Donc dans toute cette distance ici entre zéro et deux mètres, on va résoudre la propagation du faisceau lumineux à l'aide de l'opérateur de diffraction qu'on avait déjà étudié. Alors ce qu'on voit évidemment c'est qu'au bout d'une distance d'un mètre, et bien le faisceau lumineux a légèrement augmenté de taille, on a eu cet effet de diffraction avec cette variation hyperbolique. Et on va voir maintenant ce qui se passe quand on modifie la valeur de l'intégrale b, et donc l'effet de la non-linéarité dans le matériau. Donc je vais ici augmenter la valeur de b, donc vous voyez qu'on a ici apparition de ces anneaux concentriques en raison de la phase, et puis on a, vous avez ici, le calcul du diamètre du faisceau lumineux en fonction de la distance de propagation. Alors en fait, ce que fait le programme ici, c'est qu'il calcule, il résout complètement la propagation, enfin le calcul du profil du faisceau lumineux en fonction de la distance de propagation. Ça prend évidemment un petit peu de temps parce qu'il s'agit de faire une Transformée de Fourier sur un ensemble bidimensionnel de données, et donc c'est pour ça que le calcul, vous l'avez vu, prend quelques secondes. Mais je peux varier ici la valeur de l'intégrale b et voir comment on va modifier la propagation du faisceau lumineux. Ce qu'on retrouve sans surprise c'est que le diamètre du faisceau lumineux reste une hyperbole, puisque ça, c'était une propriété générale de la diffraction d'un faisceau lumineux lorsqu'il n'y a que la diffraction, et c'est effectivement ce qui se passe une fois qu'on est sorti de l'échantillon. Donc on retrouve une variation hyperbolique, et finalement l'effet de la non-linéarité ça a été de modifier le sommet de cette hyperbole, et vous voyez qu'on a effectivement un processus d'auto-focalisation alors que le faisceau, s'il n'y avait pas eu de non-linéarité, aurait simplement diffracté comme représenté en gris ici, et bien sous l'action de la non-linéarité, on a en effet une auto-focalisation et un diamètre du faisceau lumineux qui est tout simplement une conséquence de cette phase ici concentrique qui joue le rôle d'une lentille convergente. Et vous voyez que si je continue à augmenter la valeur de l'intégrale b, je vais aller jusqu'à ici l'intégrale b de cinq, et bien je vais pouvoir sensiblement diminuer le diamètre du faisceau lumineux, et si je déplace maintenant le point où je regarde mon faisceau lumineux donc en modifiant la valeur de z, vous voyez que j'ai effectivement une tache ici qui est plus petite que ce qu'on avait en sortie de l'échantillon. Donc on a en effet une manifestation de ce phénomène d'auto-focalisation. Alors néanmoins, on a diminué la largeur r m s du faisceau lumineux, mais, alors vous ne le voyez peut-être pas sur les couleurs, ça dépendra, mais en fait, ce qu'on observe ici, c'est qu'il y a, en plus de la tache centrale, il y a un anneau concentrique, qui provient du fait que le faisceau n'est plus un faisceau Gaussien, on a en fait un petit peu détérioré la qualité du faisceau, là on voit mieux que ses anneaux sont concentriques si je m'éloigne un peu du col du faisceau, vous le voyez ici, et donc, en fait, cette non-linéarité va faire que notre faisceau n'est plus Gaussien, on va détériorer un petit peu la qualité du faisceau, et c'est ce qui fait qu'en général, une règle quand on manipule des faisceaux lumineux est de s'assurer que l'intégrale b ne dépasse pas une valeur de cinq pour garder des faisceaux lumineux dont la qualité spatiale est correcte. Alors c'est d'autant plus important que si, au lieu d'avoir une Gaussienne parfaitement régulière, vous avez un faisceau qui est légèrement irrégulier, et bien vous allez avoir une auto-focalisation beaucoup plus chaotique, et vous allez réellement détériorer la qualité de votre faisceau lumineux, donc c'est un des effets secondaires néfastes de cette lentille de Kerr.
