אני רוצה שתקבלו את הרושם שההגדרה של ווייל באמת מעניקה לנו
הרבה חופש פעולה עם העניין הזה של הסימטריה,
אני מעונין לנצל את החופש הזה ולהרחיב עוד יותר את פעולות הסימטריה שניתן לעשות,
כי בסופו של דבר מסתבר שכל הפעולות האלה באות לידי ביטוי גם בפיזיקה.
נסתכל על ריצוף של חדר אמבטיה, כזה שעשוי מאריחים ריבועיים,
לכל אריח יש צורה של ריבוע ופשוט מניחים את האריחים האלה זה ליד זה בשורה,
בצורה מאוד משעממת שחוזרת על עצמה ואחריה עוד שורה של אריחים ועוד שורה וכך הלאה.
בתמונה אנחנו רואים רק קטע קטן, כי זה לא חדר מאוד גדול,
אבל עקרונית בדמיון אנחנו יכולים להמשיך את זה לכל הכיוונים ולחשוב על
איזשהו מישור אין סופי שמרוצף כולו באריחים ריבועיים,
למבנה כזה אנחנו קוראים מבנה מחזורי, כי הוא חוזר על עצמו במרווחים קבועים.
המרווחים האלה מגדירים אוסף נוסף של פעולות סימטריה
מעבר לסיבובים ולמראות שגם הם מצויים כאן.
את הריצוף הזה כולו אפשר להזיז מרחק של אריח אחד ימינה וזאת תיהיה פעולת סימטריה.
כל אריח יתפוס את מקומו של זה שהיה מימינו והריצוף כולו יראה כאילו לא עשינו כלום.
אבל את הפעולה הזו כמובן נוכל לבצע כמה פעמים שנרצה,
בהנחה שהריצוף הוא אכן אין סופי וכך נקבל אין סוף פעולות סימטריה,
כמה צעדים שאנחנו רוצים ימינה או שמאלה וגם קדימה או אחורה.
זה כבר מאוד שונה מהמראה שאיתה התחלנו, אבל עדיין עונה להגדרה המורחבת של ווייל.
שימו לב שבריצוף יש גם אין סוף נקודות שסביבן אפשר
לבצע רבע סיבוב במרכזו של כל אריח ובפינות של כל האריחים.
מסתבר שאפילו דבורים יודעות לרצף, אם כי בסימטריה קצת שונה,
בריצוף שבחדר האמבטיה ההזזות הסימטריות יצרו משהו שאנחנו
קוראים לו סריג ריבועי, מעין רשת שעשויה ריבועים ריבועים.
שימו לב לסימטריה של חלת הדבש, כאן יש לנו מבנה אחר שעשוי ממשושים,
אם נחבר בדמיון את מרכזי כל המשושים הללו נייצר סריג של משולשים,
שיתאר את ההזזות שאנחנו יכולים לבצע על חלת הדבש מבלי שאף אחד ישים לב.
כרגיל בהנחה שחלת הדבש היא באמת אין סופית.
מסתבר שלא רק דבורים, אלא גם אטומים בחומרים מוצקים עשויים להסתדר במבנים כאלה
שיש להם סריג של אין סוף הזזות סימטריות, מוצקים כאלה נקראים גבישים מחזוריים.
בתמונה כאן ניתן לראות צילום במכשיר שנקרא מיקרוסקופ מנהור סורק, זה
מכשיר שמאפשר לסרוק משטחים של חומרים מוצקים ולייצר ממש תמונה של האטומים שמרכיבים אותם.
כאן אנחנו רואים משטח של אטומי סיליקון, צורן בעברית,
בגביש שנקרא סיליקון קרביד, שמכיל צורן ופחמן,
שימו לב שהאטומים מסודרים בדיוק כמו התאים בחלת הדבש.
כמובן שסימטריה כזאת מופיעה הרבה גם באמנות,
ניתן למצוא דוגמאות מחזוריות בפסיפסים עתיקים, בעיטורי מסגדים אסלאמיים
וכמובן שבשטיחים ואריגים, בכל תרבויות העולם העתיקות והמודרניות.
אבל אולי הידועים מכולם הם ציוריו של האמן ההולנדי M.C.
Escher, כאן רואים ציור של דגים וציפורים,
שוב תמשיכו את הציור הזה בדמיונכם עד אין סוף לכל הכיוונים: ימינה,
שמאלה, למעלה ולמטה, תחברו בקווים ישרים נניח את ראשי הציפורים
ותקבלו סריג ההזזות שמתארות את הסימטריות של הציור.
מסתבר שהרבה מאוד מתמטיקה חבויה בתוך הציורים
המחזוריים הללו של אשר וישנן תבניות שאשר גילה באופן
אמפירי דרך הציורים שלו הרבה לפני שהמתמטיקאים ידעו על קיומן.
אז בואו נסכם איזה פעולות סימטריה ראינו עד עכשיו,
דיברנו על: שיקוף במראה, דיברנו על סיבוב של גוף סביב איזשהו ציר,
אנחנו הסתכלנו רק על עצמים דו מימדיים כך שציר הסיבוב
פשוט יצא מהמסך, אבל אפשר כמובן לסובב גופים גם בשלושה מימדיים,
צריך רק לבחור סביב איזה כיוון במרחב לבצע את הסיבוב.
דיברנו על הזזות ודיברנו על שילוב של החלפות של צבעים עם כל הפעולות האלה.
כמובן שניתן לשלב את הפעולות האלה מעבר למה שכבר שילבנו.
לדוגמה, הברגה של בורג היא שילוב של סיבוב והזזה קדימה,
אם ניקח בורג ורק נסובב אותו סביב הציר שלו, אז אפשר יהיה לחוש
בכך שהבורג הסתובב, סיבוב לבד זה לא פעולת סימטריה של בורג.
אבל אם בנוסף לסיבוב גם נזיז את הבורג קדימה, נקבל פעולת סימטריה.
אגב הסימטריה הזו של הבורג היא בדיוק הסימטריה שיש למולקולת הדי.אן.יי,
שעשויה זוג גדילים מחוברים ומסולסלים ובתנאי שאנחנו לא יודעים
להבחין בין המרכיבים הכימיים לאורך המולקולה שנושאים את הקוד הגנטי.
ניתן גם לשלב הזזה עם שיקוף במראה, בואו נסתכל על דוגמה
שמשלבת את שתי הפעולות הללו יחד עם החלפה של צבעים.
אם נחבר כאן את מרכזי האריחים האדומים נקבל סריג של
מלבנים שמתאר את כל אין סוף ההזזות שנוכל לבצע.
שימו לב שפעולה של חצי סיבוב במרכז או בפינה של כל מלבן גם היא סימטריה.
אבל מה יקרה אם נבצע שיקוף במראה אנכית?
מיד אנחנו נראה שזו לא פעולת סימטריה כי האריחים הצהובים הם תמונת
ראי של האריחים האדומים אבל לא של עצמם.
אם כך, נשלב את השיקוף בהחלפה של הצבעים.
האם זה מספיק כדי לייצר פעולת סימטריה?
מסתבר שעדיין לא.
אנחנו נוכל לחזור למצב ההתחלתי רק אם בנוסף לשיקוף ולהחלפת
הצבעים נבצע גם הזזה של חצי מצלע המלבן כלפי מעלה.
פעולת הסימטריה כאן מורכבת משילוב של שלוש פעולות שונות שכל
אחת מהן כשלעצמה לא מהווה סימטריה אבל כולן ביחד כן.
[אין_קול] [אין_קול]