Этот краткий курс создан на основе лекций чл.-корр. РАН, проф. Ю.В.Петрова, которые читаются им на математико-механическом факультете СПбГУ для студентов старших курсов, желающих продолжить учебу в аспирантуре и подготовиться к соответствующим вступительным экзаменам. В курсе не ставится задача систематического изложения механики сплошной среды. Основная идея - помочь разобраться в ряде ключевых начальных понятий механики континуума, освоение которых зачастую вызывает у учащихся затруднения. Основными объектами, которые используются для описания формоизменения и силового взаимодействия в механике сплошных сред, являются тензоры деформации и напряжений. Обычно введение этих тензоров деформации Грина и Альманси связано с рассмотрением координатных систем отсчёта Эйлера и Лагранжа. Очень часто студенты ошибочно полагают, что эти тензоры являются одним и тем же тензором деформации, записанным в разных системах координат. Ещё более запутанная ситуация возникает с тензорами напряжений Пиола, Кирхгофа и тензором истинных напряжений. В данном курсе мы попробуем разобраться в этом вопросе, используя достаточно нестандартный подход, в котором будет чётко определены различия между всеми вышеперечисленными тензорами деформации и напряжений. Также обсудим, в каких ситуациях удобнее решать задачи теории упругости с помощью записи основных соотношений в терминах того или иного тензора деформации и напряжений. Кроме того, будут рассмотрены основные постановки задач теории упругости в напряжениях и перемещениях, и будут исследованы простейшие частные случаи для этих задач. На примере некоторых из них будет показано единство основополагающих принципов природы, распространяющихся на различные области механики и физики. Курс состоит из 13 уроков. Урок 1-4 посвящен элементам тензорной алгебры и геометрическому описанию деформации сплошных сред. Определяются тензоры деформации Грина и Альманзи, обсуждается их геометрический смысл. В последующих трёх уроках 5-7 приводятся различные способы описания напряжённого состояния в сплошных средах. Показываются отличия и особенности тензоров истинных напряжения, Пиола и Кирхгоффа друг от друга. В уроках 8-10 даются эмпирическое и энергетическое определения упругих сред и обсуждается постановка задачи механики для них в терминах поля перемещений. В уроках 11-13 показывается, как могут выглядеть основные уравнения механики сплошных сред в частных случаях. Также обсуждается единообразие принципов законов природы, описывающих совершенно разные физические явления.
3.3. Упругая среда. Закон Гука
Loading...
Do curso por Saint Petersburg State University
Введение в механику деформируемого твёрдого тела (Introduction to the mechanics of deformable solids)
5 classificações
Saint Petersburg State University
5 classificações
Na lição
Задача теории упругости в линейной постановке
Conheça os instrutores
Петров Юрий Викторовиччл.-корр. РАН, докт. физ.-мат. наук, профессор
математико-механический факультет
Волков Григорий АлександровичКандидат физико-математических наук, доцент
математико-механический факультет
[МУЗЫКА] Разберём
геометрический смысл недиагональных
компонент введённых тензоров деформации.
Итак, смысл γ₁₂
или ε₁₂ Предположим,
что у меня есть пара единичных ортов соответственно осей
один и два i₁⁰ и i₂⁰,
то деформация, которая в результате
деформации переходит в вектора i₁ и i₂.
При этом, у меня происходит координатное
преобразование xi равняется ai плюс ui а₁ a₂
и a₃ Запишем выражение для
косинуса угла между векторами
i₁ и i₂.
Оно определяется следующим
отношением dr по da₁ скалярно
умножить на dr на da₂ в числителе.
А в знаменателе модули dr по da₁ умноженное
на модуль dr по da₂.
Всё это, применяя покомпонентное дифференцирование,
можно записать в следующем виде.
Это будет довольно длинное выражение с таким
вот числителем δi₁ плюс
dui по da₁ умножить
на δi₂ плюс dui по
da₂, а в знаменателе будет два корня перемножаться.
Первый корень такой, это корень квадратный из единицы
плюс du₁ по da₁ в квадрате
плюс du₂ по da₁ в
квадрате и плюс du₃
по da₁ в квадрате.
И второй корень.
du₁ по da₂
в квадрате плюс единица
плюс du₂ по da₂ в квадрате
и плюс du₃ по da₂ в квадрате.
Это второй корень квадратный.
Элементарное преобразование.
Мы можем переписать это выражение в следующем виде.
В числителе у нас появится du₁ по da₂
плюс du₂ по da₁ плюс
dui по da₁ dui по da₂.
Напоминаю, что по повторяющемуся индексу i у нас происходит суммирование.
А в знаменателе у нас будет, соответственно, два корня опять.
Единица плюс два du₁ по da₁
плюс du₁ по da₁ в квадрате
плюс du₂ по da₁ в квадрате
плюс du₃ по da₁ в квадрате.
Это у меня будет один квадратный корень.
Ну и аналогичный корень единица плюс два du₂ da₂ плюс..
Я напишу здесь: и так далее, и так далее...
Аналогичный корень, он совершенно аналогичен первому,
будет стоять вот здесь, что дальше даёт нам возможность записать,
что два γ₁₂ делённое на
корень квадратный из единицы плюс 2γ₁₁ которое
умножется на корень из единицы плюс два γ₂₂.
Если мы теперь введём угол φ₁₂,
который равен разнице между π пополам, между углом,
который имели орты до деформации,
и текущим углом i₁ i₂.
Я нарисую, как это происходило.
i₁⁰ i₂⁰.
Орты имели угол,
равный 90°, между собой.
В результате деформации они перешли в новое положение и
стали занимать положение i₁ и i₂,
то тогда
синус φ₁₂ — это есть косинус угла
между i₁ и i₂.
И это всё определяется выражением два γ₁₂ поделить
на корень из единица плюс два γ₁₁ умножить на корень из единица плюс два γ₂₂.
Ну и если γ₁₁ γ₂₂
и γ₁₂ представляют собой величины малые по сравнению с единицей,
то тогда можно заключить что φ₁₂ приблизительно равняется два γ₁₂.
Здесь очень важно, что мы установили
смысл недиагональной компоненты тензора Грина.
Этот смысл сводится к тому, что компонента
представляет собой величину, на которую изменяется угол между волокнами.
Если у нас в нашем случае в первоначальном состоянии волокна
имели угол 90°, то изменение этого угла,
которое определяется значением φ₁₂,
в случае малых удлинений,
сдвигов и сдвигов практически совпадает с
величиной изменения этого угла.
Аналогичную формулу можно получить и для компоненты тензора Альманси.
И я думаю, что это будет хорошим упражнением для вас,
если вы попробуете получить аналогичное выражение самостоятельно.
Сделаем выводы.
Таким образом, тензор деформации Грина — это тензор, определяющий изменение длины
волокон и углов между ними относительно начального недеформированного состояния.
Тензор деформации Альманси — это тензор, который определяет изменения длин
волокон и углов между ними относительно их конечного, деформированного состояния.
Запишем ещё раз наше координатное преобразование.
xi равняется ai плюс
ui от a₁ a₂ и a₃.
И заметим, что xi — это
прямоугольная декартова система координат,
которая располагается вне среды.
[БЕЗ_ЗВУКА] Вот
я нарисую её здесь сейчас.
Это x₁ x₂ и x₃
— прямоугольная декартова система координат.
И в этой системе координат у нас была материальная точка,
которая характеризовалась радиус-вектором a,
которая в результате деформации переместилась и стала занимать
положение x, [БЕЗ_ЗВУКА]
получив при этом перемещение,
которое мы обозначаем как вектор u.
При этом мы предполагаем что якобиан нашего преобразования
отличен от нуля, то есть имеет место взаимнооднозначное соответствие
межу точками среды в деформированном и в недеформированном состоянии.
Предполагается, что это преобразование может быть обращено
и записано в следующем виде.
ai равняется xi минус компонента
вектора ui от
x₁ x₂ и x₃.
[БЕЗ_ЗВУКА] Перепишем ещё раз
полученный нами результат о связи тензоров Грина и Альманси с вектором перемещения.
Я вот сейчас запишу эти две формулы, которые мы выше с вами получили.
γij равняется
½ dui по daj
плюс duj по dai
плюс dun по dai умножить
на dun по daj Здесь по повторяющимся индексам n имеется ввиду суммирование.
Для тензора Альманси мы имели ½
dui по dxj плюс
duj по dxi минус dun
по dxi dun по dxj.
При этом мы видим, что в наших формулах фигурируют разные наборы координат.
Мы здесь имеем дело с набором координат
ai и с набором координат
xi во втором случае, в случае тензора Альманси.
Первый набор называется координатами Лагранжа.
[БЕЗ_ЗВУКА] Второй
набор называется координатами Эйлера.
Координаты Лагранжа
определяют начальные положения материальных точек среды до деформации.
И в процессе перемещения материальной точки её лагранжевые
координаты не изменяются.
При таком подходе, который называется лагранжевым,
для описания деформации удобнее применять первый тензор, тензор Грина.
А, напротив, координаты Эйлера — это
текущие координаты, задающие положение материальной точки в процессе деформации.
При их использовании, а в этом случае говорят об эйлеровом подходе,
удобнее записывать полидеформации при помощи тензора Альманси,
при помощи второго тензора εij.
Explore nosso catálogo
Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.
O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.
© 2018 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.
