Давайте я сформулирую следующее, вероятно, чуть более сложное правило.
Хотя, в общем, ну, так.
Для обычного начинающего оно тоже является достаточно простым утверждением.
И можно догадаться, на самом деле, как оно называется.
Ну, конечно, не очень прозорливый человек мне, наверное,
сейчас скажет: это правило вычитания.
Но нет. Это, конечно, не правило вычитания.
Это правило умножения.
Следующая основная операция,
которая бывает в арифметике после сложения — это, конечно, умножить.
И, соответственно, в комбинаторике второе, чуть-чуть более содержательное правило,
нежели то, которое мы только что обсудили, — это правило умножения.
Правило умножения.
Давайте начнем его с тех же самых «пусть», с которых мы начинали правило сложения.
То есть у нас по-прежнему есть два множества объектов.
Пусть А — первое множество объектов, которое состоит из n элементов.
Ну, вот, если как-то проще, для начала, себе это по-другому представлять,
считайте, что это множество букв русского алфавита, каковых, повторяю, 33 штуки.
Ну и B — это, соответственно, второе множество объектов,
которое состоит, соответственно, из m этих самых объектов.
Из m-элементов.
И для простоты можете представлять в голове своей, что это — какое-то,
не какое-то, а просто множество цифр.
Так, для примера.
Ну вот есть какие-то 2 абстрактных множества объектов, вообще говоря.
Теперь, что мы делаем?
Мы говорим следующее: давайте сперва извлечем какой-нибудь объект
из множества А.
Ровно один.
Извлечем, запомним и вслед за ним извлечем какой-нибудь объект из множества B.
То есть у нас получится такая последовательность из двух объектов,
первый из которых выбран из множества А, второй из которых выбран из множества В.
Спрашивается: сколькими способами можно организовать такую последовательность?
Каково количество способов один за другим выбрать объекты?
Сначала первый — отсюда, второй — отсюда.
Ну, слушатели, конечно, уже догадались.
Раз правило называется правилом умножения, то, естественно, количество,
которое здесь ищется — это есть произведение числа n и числа m.
И более или менее этот факт тоже очевиден.
Ну, давайте я его зафиксирую, а потом еще немножко прокомментирую.
Итак, количество способов выбрать,
выбрать сперва ровно
один объект из множества А,
а вслед за ним ровно один объект из множества В,
а вслед за
ним ровно один
объект из
В, равно n умножить на m.
И вот в этом, собственно, состоит правило умножения.
В этом, собственно, состоит правило умножения.
Ну, если кого-то по ходу дела еще не убедило вот
это вот рассуждение и ему (ей) не кажется, что это,
в общем, очевидно, ну, давайте я уж совсем подробно это как-то поясню,
чтобы было понятно, откуда произведение взялось.
Ну давайте прямо перебирать.
Вот можно сначала выбрать объект a1, потом вслед за ним поставить объект b1.
Дальше можно сперва выбрать объект a1, но вслед за ним поставить объект b2.
Ну, то есть, представляете себе вот так вот: a0, если в нашем примере.
Да? Дальше идет a1,
если в примере с буквами и цифрами работать.
Дальше идет a1b3.
Ну и так далее, вплоть до a1bm.
Такая вот строчка, в которой, в качестве первого объекта из множества
А (большое), выбран самый первый объект этого множества — а (маленькое) первое.
Ну, скажем, в случае букв русского алфавита, это просто буква «а».
А вслед за ней, а этой буквой «а»,
мы ставим каждую из имеющихся в нашем распоряжении цифр.
Ну, если множества объектов какие-то другие, то, соответственно,
делаем вот эту вот самую процедуру.
В следующую строчку этой таблицы рисуем такие последовательности,
которые начинаются с объекта А2.
Например, в случае русского алфавита, это будет буква b.
А вот вслед за ней можно поставить цифру 0, а в общем случае — какой-то объект b1.
Вслед за а2 можно поставить b2, можно поставить b3.
Ну и так далее, вплоть до b с индексом m.
Понятное дело, что вот здесь надо нарисовать такое здоровенное многоточие.
И последняя строчка, она будет начинаться,
разумеется, с последнего же объекта, которое принадлежит множеству А большое,
то есть а маленького с индексом n, а продолжаться она может чем угодно.
Аn b2, an b2, an b3 и так далее, an bm.
Ну и уже глядя на эту таблицу, я думаю, каждый из слушателей с очевидностью
убедится в том, что в этой таблице ровно n умножить m различных элементов.
И таким образом действительно последовательности,
которые можно составить из двух объектов, их получается n умножить на m штук.
Ну, я не знаю.
Может быть я зря уж так подробно жевал.
Может быть я кого-то усыпил по ходу дела, но что ж поделать.
Вот, все-таки, базовые вещи надо разбирать.
Просыпайтесь, пожалуйста, сейчас будет что-то более интересное.
Но прежде, чем будет что-то более интересное,
давайте рассмотрим чуть более общую ситуацию.
Вот вследствие с правилом умножения, давайте я так и напишу прямо.
Вследствие из того правила умножения, которое мы изучили.
Оно состоит в том, что, в принципе, можно рассматривать не два множества объектов,
а несколько: 3, 10, 25.
Сколько хотите.
И делать то же самое: из первого множества объектов извлекать 1 объект,
потом вслед за ним вставить какой-нибудь ровно один объект из второго множества.
Из 3-го, из 4-го, из 25-го и так далее.
Вот давайте это зафиксируем.
Скажем, пусть у нас есть множества А1, ...,
