В прошлый раз мы говорили с вами о задаче ориентации твердого тела,
учились связывать положение твердого тела, начальное — с конечным,
некоторыми матрицами поворота или другими средствами.
А теперь давайте вернемся к кинематическим задачам и посмотрим, как описывается,
ну например, распределение скоростей точек твердого тела.
Я напомню, что у нас с твердым телом в кинематике происходит.
У нас есть неподвижная прямоугольная декартова система координат xyz,
и в ней твердое тело произвольной формы совершает какое-то движение.
И мы делаем следующее: мы берем какую-то точку этого тела в качестве полюса,
пусть она называется буквой O.
И допустим, нас интересует скорость или вообще
движение некоторой другой точки этого тела, вот я ее здесь обозначу.
Радиус-вектор интересующей нас точки — R,
радиус-вектор точки O — R с индексом o.
И соединяет точку O с интересующей нас точкой вектор r.
Мы, естественно, писали,
что радиус-вектор R — это радиус-вектор точки O + r.
Дальше мы с вами это дифференцировали и получали соотношение для скоростей.
То есть скорость интересующей нас точки — это скорость точки O + r с точкой.
Вот в этот момент мы оставили задачу кинематики на прошлой неделе и сказали:
ну понятно, давайте заморозим этот полюс и научимся искать r с точкой.
Ну точнее, мы научились искать r, ну и r с точкой по таким же правилам мы,
наверное, сможем пересчитать.
Итак, мы ушли на прошлой неделе от задачи общей к задаче о движении
твердого тела с неподвижной точкой.
Я это здесь еще раз напомню.
У нас был неподвижный базис i1,
i2, i3, в нем поворачивалось твердое тело,
с которым был связан базис e: e1,
e2, e3.
Вот, допустим, точка, отмеченная нами, здесь находится, вот ее радиус-вектор.
И мы говорили, что радиус-вектор этот в разложении по неподвижному
базису обозначается буквой r, в разложении по подвижному базису,
связанному с телом, обозначается буквой ρ.
И мы получили, что они связаны через матрицу направляющих косинусов
вот так: r — это матрица направляющих косинусов — * ρ.
А теперь мы начинаем говорить о скоростях.
И чтобы это сделать, давайте продифференцируем вот это соотношение.
Мы получим, естественно,
r с точкой = произведение A на ρ, A на ρ с точкой.
Произведение мы дифференцируем, то есть получается
A с точкой * ρ + A * ρ с точкой.
И тут в каждом слагаемом есть о чем поговорить.
Ну во-первых, что такое A с точкой?
Может быть, не каждый день приходится дифференцировать матрицу.
Имеется, естественно, в виду,
что мы берем каждый элемент этой матрицы и дифференцируем,
то есть получается, мы считаем здесь 9 производных для матрицы 3 x 3.
Каждый элемент продифференцировали, сложили обратно в матрицу,
получили A с точкой.
Ну и давайте ρ с точкой посмотрим, что такое.
ρ — это у нас вектор от начала координат к этой точке в подвижном базисе e.
Но, конечно же, вектор ρ не меняется — он двигается вместе с базисом e,
и координаты этой точки в базисе, связанном с телом, остаются неизменными.
Поэтому второе слагаемое у нас — 0, и остается только это.
И здесь я хочу вернуться к вектору r от вектора ρ.
Для этого я должен вектор ρ выразить через вектор r.
Пользуясь ортогональностью матрицы A, я могу написать,
что A с точкой у меня осталась, а вместо ρ я пишу: A транспонированная * r.
Вот такое у меня соотношение для скорости фактически r с точкой.
A с точкой * A транспонированная — это некоторая матрица 3 x 3,
которую я давайте обозначу буквой Ω, омега большое.
Вот, Ω — A с точкой * A транспонированная.
И теперь давайте посмотрим, что же это за матрица Ω у нас получилась.
[ШУМ] Для
этого давайте вспомним, что мы знаем про ортогональные матрицы.
Ну например: то,
что A * A транспонированная — это единичная матрица.
И давайте это соотношение продифференцируем.
Казалось бы, бессмысленное занятие, но это дифференцирование даст нам
какие-то сведения о той матрице, которую мы обозначили буквой Ω.
Итак, дифференцируем произведение матриц,
получаем A с точкой * A транспонированная + A *
A транспонированная с точкой = 0.
E — матрицы констант дифференцируются в 0.
Переносим второе слагаемое направо,
получаем: A с точкой * A транспонированная — а это,
собственно, то сочетание букв, которое мы обозначили Ω — = −A
* A с точкой транспонированная.
Теперь обе части этого равенства возьмем и транспонируем.
Получим: (A с точкой * A транспонированная)
транспонированная = −
A * A с точкой транспонированная, и все это произведение мы транспонируем.
Вот здесь я скобки хочу раскрыть.
И напоминаю, что при этом у нас порядок умножения матриц меняется ну и они
транспонируются, то есть получается A с точкой * A транспонированная.
То есть в силу наших обозначений мы получаем, что Ω транспонированная = −Ω.
Таким образом, Ω — это кососимметрическая матрица, как математики говорят.
Ну то есть давайте напишем, как она выглядит.
Ω — это матрица 3 x 3.
На диагонали, в силу вот такого равенства, у нее могут стоять только 0.
Никакое другое число само себе со знаком «−» не равно,
а все остальные элементы давайте обозначим по-хитрому
— скажем, ωx, ωy, ωz.
И здесь расставим два минуса из тех соображений,
о которых я сейчас чуть позже расскажу.
И здесь ωx = −ωx с точностью до знака,
ωy с минусом — то же самое, и ωz — без минуса.
Вот, кососимметрическая матрица.
И сейчас мы с этой матрицей должны сделать что?
Мы должны ее умножить на r, чтобы получить r с точкой, то есть скорость.
В качестве вектора r давайте рассмотрим вектор с компонентами x, y, z.
И еще один вектор нас будет интересовать — вектор, составленный вот
из этих вот трех введенных нами обозначений, взятых в качестве компонент.
Будем называть его вектор ω: ωx, ωy, ωz.
Все обозначения введены, а сейчас немного арифметики.
Итак, что мы считаем?
Во-первых, произведение Ω *
r — это у нас 0, −ωz,
ωy, ωz, 0,
−ωx, −ωy,
ωx, 0 * x, y, z.
Умножаем матрицу на вектор-столбец,
получаем вектор-столбец, я надеюсь.
Что у нас здесь есть?
−ωz * y + ωy * z.
Дальше, ωz * x − ω,
ωz * x − ωx * z.
И третий компонент: −ωy * x + ωx * y.
Это мы умножили матрицу на вектор r.
А теперь давайте посмотрим на вот такое векторное
произведение: вектор ω * r.
Перепишу здесь эти два столбца: ωx,
ωy, ωz * x, y, z.
Считаю векторное произведение,
получаю: ωy *
z − ωz * y.
Обратите внимание: вот эти две компоненты у нас, кажется, совпали.
Если действительно совпали, то так и должно быть.
Следующий компонент векторного произведения: ωx * z с минусом +
ωz * x — тоже совпали.
И третий компонент векторного произведения: ωx *
y − ωy * x.
Полное совпадение матрицы умножить на вектор и векторного произведения.
И тогда я могу написать, что вот раньше у меня r с точкой
было ω * r,
а теперь это вектор ω * r векторно.
Вот к такой форме я и стремился.
На самом деле, вот все, что сейчас происходило,
можно положить в основу доказательства очень важной для нас теоремы,
которой мы будем неоднократно пользоваться в кинематических задачах.
Некоторые вообще считают, что вот та формула, которую мы получили,
она решает практически любую кинематическую задачу, ну,
если только еще какие-то геометрические соображения иногда привлекаются.
Итак, теорема.
Теорема Эйлера
о распределении скоростей
точек твердого тела.
Теорема такая: при произвольном движении твердого тела,
что бы с ним не происходило,
как бы оно не двигалось,
в любой момент времени,
[ШУМ] в
любой момент времени найдется,
причем единственным образом, существует единственный
вектор ω.
И действительно, мы его сейчас конструктивно построили из матрицы
направляющих косинусов, то есть мы демонстрируем вот этими выкладками,
которыми мы сделали его существование.
И в силу того, что у нас матрица направляющих косинусов определяется
единственным образом, а компоненты вектора ω через компоненты этой матрицы
выражаются, можно и единственность показать.
Итак, найдется единственный вектор ω, такой,
что скорости двух
любых точек твердого тела,
ну например A и B,
связаны в соотношение:
скорость точки B есть
сумма скорость точки A + тот
самый вектор ω * AB.
Радиус-вектор, соединяющий точку A — полюс, ту точку,
скорость которой стоит в правой части, с точкой B.
вот.
Эта формула и называется формулой Эйлера и составляет суть теоремы
о распределении скоростей точек твердого тела.
Ну замечу, что вот этот вектор ω, который существует единственный,
его принято называть угловой скоростью твердого тела — это будет нашим рабочим
определением в курсе.
А теперь, наверное, самое время разобрать какую-нибудь задачу,
где формула Эйлера активно применяется.