В прошлый раз мы говорили с вами о задаче ориентации твердого тела, учились связывать положение твердого тела, начальное — с конечным, некоторыми матрицами поворота или другими средствами. А теперь давайте вернемся к кинематическим задачам и посмотрим, как описывается, ну например, распределение скоростей точек твердого тела. Я напомню, что у нас с твердым телом в кинематике происходит. У нас есть неподвижная прямоугольная декартова система координат xyz, и в ней твердое тело произвольной формы совершает какое-то движение. И мы делаем следующее: мы берем какую-то точку этого тела в качестве полюса, пусть она называется буквой O. И допустим, нас интересует скорость или вообще движение некоторой другой точки этого тела, вот я ее здесь обозначу. Радиус-вектор интересующей нас точки — R, радиус-вектор точки O — R с индексом o. И соединяет точку O с интересующей нас точкой вектор r. Мы, естественно, писали, что радиус-вектор R — это радиус-вектор точки O + r. Дальше мы с вами это дифференцировали и получали соотношение для скоростей. То есть скорость интересующей нас точки — это скорость точки O + r с точкой. Вот в этот момент мы оставили задачу кинематики на прошлой неделе и сказали: ну понятно, давайте заморозим этот полюс и научимся искать r с точкой. Ну точнее, мы научились искать r, ну и r с точкой по таким же правилам мы, наверное, сможем пересчитать. Итак, мы ушли на прошлой неделе от задачи общей к задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой. Я это здесь еще раз напомню. У нас был неподвижный базис i1, i2, i3, в нем поворачивалось твердое тело, с которым был связан базис e: e1, e2, e3. Вот, допустим, точка, отмеченная нами, здесь находится, вот ее радиус-вектор. И мы говорили, что радиус-вектор этот в разложении по неподвижному базису обозначается буквой r, в разложении по подвижному базису, связанному с телом, обозначается буквой ρ. И мы получили, что они связаны через матрицу направляющих косинусов вот так: r — это матрица направляющих косинусов — * ρ. А теперь мы начинаем говорить о скоростях. И чтобы это сделать, давайте продифференцируем вот это соотношение. Мы получим, естественно, r с точкой = произведение A на ρ, A на ρ с точкой. Произведение мы дифференцируем, то есть получается A с точкой * ρ + A * ρ с точкой. И тут в каждом слагаемом есть о чем поговорить. Ну во-первых, что такое A с точкой? Может быть, не каждый день приходится дифференцировать матрицу. Имеется, естественно, в виду, что мы берем каждый элемент этой матрицы и дифференцируем, то есть получается, мы считаем здесь 9 производных для матрицы 3 x 3. Каждый элемент продифференцировали, сложили обратно в матрицу, получили A с точкой. Ну и давайте ρ с точкой посмотрим, что такое. ρ — это у нас вектор от начала координат к этой точке в подвижном базисе e. Но, конечно же, вектор ρ не меняется — он двигается вместе с базисом e, и координаты этой точки в базисе, связанном с телом, остаются неизменными. Поэтому второе слагаемое у нас — 0, и остается только это. И здесь я хочу вернуться к вектору r от вектора ρ. Для этого я должен вектор ρ выразить через вектор r. Пользуясь ортогональностью матрицы A, я могу написать, что A с точкой у меня осталась, а вместо ρ я пишу: A транспонированная * r. Вот такое у меня соотношение для скорости фактически r с точкой. A с точкой * A транспонированная — это некоторая матрица 3 x 3, которую я давайте обозначу буквой Ω, омега большое. Вот, Ω — A с точкой * A транспонированная. И теперь давайте посмотрим, что же это за матрица Ω у нас получилась. [ШУМ] Для этого давайте вспомним, что мы знаем про ортогональные матрицы. Ну например: то, что A * A транспонированная — это единичная матрица. И давайте это соотношение продифференцируем. Казалось бы, бессмысленное занятие, но это дифференцирование даст нам какие-то сведения о той матрице, которую мы обозначили буквой Ω. Итак, дифференцируем произведение матриц, получаем A с точкой * A транспонированная + A * A транспонированная с точкой = 0. E — матрицы констант дифференцируются в 0. Переносим второе слагаемое направо, получаем: A с точкой * A транспонированная — а это, собственно, то сочетание букв, которое мы обозначили Ω — = −A * A с точкой транспонированная. Теперь обе части этого равенства возьмем и транспонируем. Получим: (A с точкой * A транспонированная) транспонированная = − A * A с точкой транспонированная, и все это произведение мы транспонируем. Вот здесь я скобки хочу раскрыть. И напоминаю, что при этом у нас порядок умножения матриц меняется ну и они транспонируются, то есть получается A с точкой * A транспонированная. То есть в силу наших обозначений мы получаем, что Ω транспонированная = −Ω. Таким образом, Ω — это кососимметрическая матрица, как математики говорят. Ну то есть давайте напишем, как она выглядит. Ω — это матрица 3 x 3. На диагонали, в силу вот такого равенства, у нее могут стоять только 0. Никакое другое число само себе со знаком «−» не равно, а все остальные элементы давайте обозначим по-хитрому — скажем, ωx, ωy, ωz. И здесь расставим два минуса из тех соображений, о которых я сейчас чуть позже расскажу. И здесь ωx = −ωx с точностью до знака, ωy с минусом — то же самое, и ωz — без минуса. Вот, кососимметрическая матрица. И сейчас мы с этой матрицей должны сделать что? Мы должны ее умножить на r, чтобы получить r с точкой, то есть скорость. В качестве вектора r давайте рассмотрим вектор с компонентами x, y, z. И еще один вектор нас будет интересовать — вектор, составленный вот из этих вот трех введенных нами обозначений, взятых в качестве компонент. Будем называть его вектор ω: ωx, ωy, ωz. Все обозначения введены, а сейчас немного арифметики. Итак, что мы считаем? Во-первых, произведение Ω * r — это у нас 0, −ωz, ωy, ωz, 0, −ωx, −ωy, ωx, 0 * x, y, z. Умножаем матрицу на вектор-столбец, получаем вектор-столбец, я надеюсь. Что у нас здесь есть? −ωz * y + ωy * z. Дальше, ωz * x − ω, ωz * x − ωx * z. И третий компонент: −ωy * x + ωx * y. Это мы умножили матрицу на вектор r. А теперь давайте посмотрим на вот такое векторное произведение: вектор ω * r. Перепишу здесь эти два столбца: ωx, ωy, ωz * x, y, z. Считаю векторное произведение, получаю: ωy * z − ωz * y. Обратите внимание: вот эти две компоненты у нас, кажется, совпали. Если действительно совпали, то так и должно быть. Следующий компонент векторного произведения: ωx * z с минусом + ωz * x — тоже совпали. И третий компонент векторного произведения: ωx * y − ωy * x. Полное совпадение матрицы умножить на вектор и векторного произведения. И тогда я могу написать, что вот раньше у меня r с точкой было ω * r, а теперь это вектор ω * r векторно. Вот к такой форме я и стремился. На самом деле, вот все, что сейчас происходило, можно положить в основу доказательства очень важной для нас теоремы, которой мы будем неоднократно пользоваться в кинематических задачах. Некоторые вообще считают, что вот та формула, которую мы получили, она решает практически любую кинематическую задачу, ну, если только еще какие-то геометрические соображения иногда привлекаются. Итак, теорема. Теорема Эйлера о распределении скоростей точек твердого тела. Теорема такая: при произвольном движении твердого тела, что бы с ним не происходило, как бы оно не двигалось, в любой момент времени, [ШУМ] в любой момент времени найдется, причем единственным образом, существует единственный вектор ω. И действительно, мы его сейчас конструктивно построили из матрицы направляющих косинусов, то есть мы демонстрируем вот этими выкладками, которыми мы сделали его существование. И в силу того, что у нас матрица направляющих косинусов определяется единственным образом, а компоненты вектора ω через компоненты этой матрицы выражаются, можно и единственность показать. Итак, найдется единственный вектор ω, такой, что скорости двух любых точек твердого тела, ну например A и B, связаны в соотношение: скорость точки B есть сумма скорость точки A + тот самый вектор ω * AB. Радиус-вектор, соединяющий точку A — полюс, ту точку, скорость которой стоит в правой части, с точкой B. вот. Эта формула и называется формулой Эйлера и составляет суть теоремы о распределении скоростей точек твердого тела. Ну замечу, что вот этот вектор ω, который существует единственный, его принято называть угловой скоростью твердого тела — это будет нашим рабочим определением в курсе. А теперь, наверное, самое время разобрать какую-нибудь задачу, где формула Эйлера активно применяется.
