В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Угловая скорость твердого тела. Распределение скоростей точек твердого тела
Loading...
Do curso por Moscow Institute of Physics and Technology
Кинематика
15 classificações
Na lição
Пространственное движение твердого тела
Conheça os instrutores
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
В прошлый раз мы говорили с вами о задаче ориентации твердого тела,
учились связывать положение твердого тела, начальное — с конечным,
некоторыми матрицами поворота или другими средствами.
А теперь давайте вернемся к кинематическим задачам и посмотрим, как описывается,
ну например, распределение скоростей точек твердого тела.
Я напомню, что у нас с твердым телом в кинематике происходит.
У нас есть неподвижная прямоугольная декартова система координат xyz,
и в ней твердое тело произвольной формы совершает какое-то движение.
И мы делаем следующее: мы берем какую-то точку этого тела в качестве полюса,
пусть она называется буквой O.
И допустим, нас интересует скорость или вообще
движение некоторой другой точки этого тела, вот я ее здесь обозначу.
Радиус-вектор интересующей нас точки — R,
радиус-вектор точки O — R с индексом o.
И соединяет точку O с интересующей нас точкой вектор r.
Мы, естественно, писали,
что радиус-вектор R — это радиус-вектор точки O + r.
Дальше мы с вами это дифференцировали и получали соотношение для скоростей.
То есть скорость интересующей нас точки — это скорость точки O + r с точкой.
Вот в этот момент мы оставили задачу кинематики на прошлой неделе и сказали:
ну понятно, давайте заморозим этот полюс и научимся искать r с точкой.
Ну точнее, мы научились искать r, ну и r с точкой по таким же правилам мы,
наверное, сможем пересчитать.
Итак, мы ушли на прошлой неделе от задачи общей к задаче о движении
твердого тела с неподвижной точкой.
Я это здесь еще раз напомню.
У нас был неподвижный базис i1,
i2, i3, в нем поворачивалось твердое тело,
с которым был связан базис e: e1,
e2, e3.
Вот, допустим, точка, отмеченная нами, здесь находится, вот ее радиус-вектор.
И мы говорили, что радиус-вектор этот в разложении по неподвижному
базису обозначается буквой r, в разложении по подвижному базису,
связанному с телом, обозначается буквой ρ.
И мы получили, что они связаны через матрицу направляющих косинусов
вот так: r — это матрица направляющих косинусов — * ρ.
А теперь мы начинаем говорить о скоростях.
И чтобы это сделать, давайте продифференцируем вот это соотношение.
Мы получим, естественно,
r с точкой = произведение A на ρ, A на ρ с точкой.
Произведение мы дифференцируем, то есть получается
A с точкой * ρ + A * ρ с точкой.
И тут в каждом слагаемом есть о чем поговорить.
Ну во-первых, что такое A с точкой?
Может быть, не каждый день приходится дифференцировать матрицу.
Имеется, естественно, в виду,
что мы берем каждый элемент этой матрицы и дифференцируем,
то есть получается, мы считаем здесь 9 производных для матрицы 3 x 3.
Каждый элемент продифференцировали, сложили обратно в матрицу,
получили A с точкой.
Ну и давайте ρ с точкой посмотрим, что такое.
ρ — это у нас вектор от начала координат к этой точке в подвижном базисе e.
Но, конечно же, вектор ρ не меняется — он двигается вместе с базисом e,
и координаты этой точки в базисе, связанном с телом, остаются неизменными.
Поэтому второе слагаемое у нас — 0, и остается только это.
И здесь я хочу вернуться к вектору r от вектора ρ.
Для этого я должен вектор ρ выразить через вектор r.
Пользуясь ортогональностью матрицы A, я могу написать,
что A с точкой у меня осталась, а вместо ρ я пишу: A транспонированная * r.
Вот такое у меня соотношение для скорости фактически r с точкой.
A с точкой * A транспонированная — это некоторая матрица 3 x 3,
которую я давайте обозначу буквой Ω, омега большое.
Вот, Ω — A с точкой * A транспонированная.
И теперь давайте посмотрим, что же это за матрица Ω у нас получилась.
[ШУМ] Для
этого давайте вспомним, что мы знаем про ортогональные матрицы.
Ну например: то,
что A * A транспонированная — это единичная матрица.
И давайте это соотношение продифференцируем.
Казалось бы, бессмысленное занятие, но это дифференцирование даст нам
какие-то сведения о той матрице, которую мы обозначили буквой Ω.
Итак, дифференцируем произведение матриц,
получаем A с точкой * A транспонированная + A *
A транспонированная с точкой = 0.
E — матрицы констант дифференцируются в 0.
Переносим второе слагаемое направо,
получаем: A с точкой * A транспонированная — а это,
собственно, то сочетание букв, которое мы обозначили Ω — = −A
* A с точкой транспонированная.
Теперь обе части этого равенства возьмем и транспонируем.
Получим: (A с точкой * A транспонированная)
транспонированная = −
A * A с точкой транспонированная, и все это произведение мы транспонируем.
Вот здесь я скобки хочу раскрыть.
И напоминаю, что при этом у нас порядок умножения матриц меняется ну и они
транспонируются, то есть получается A с точкой * A транспонированная.
То есть в силу наших обозначений мы получаем, что Ω транспонированная = −Ω.
Таким образом, Ω — это кососимметрическая матрица, как математики говорят.
Ну то есть давайте напишем, как она выглядит.
Ω — это матрица 3 x 3.
На диагонали, в силу вот такого равенства, у нее могут стоять только 0.
Никакое другое число само себе со знаком «−» не равно,
а все остальные элементы давайте обозначим по-хитрому
— скажем, ωx, ωy, ωz.
И здесь расставим два минуса из тех соображений,
о которых я сейчас чуть позже расскажу.
И здесь ωx = −ωx с точностью до знака,
ωy с минусом — то же самое, и ωz — без минуса.
Вот, кососимметрическая матрица.
И сейчас мы с этой матрицей должны сделать что?
Мы должны ее умножить на r, чтобы получить r с точкой, то есть скорость.
В качестве вектора r давайте рассмотрим вектор с компонентами x, y, z.
И еще один вектор нас будет интересовать — вектор, составленный вот
из этих вот трех введенных нами обозначений, взятых в качестве компонент.
Будем называть его вектор ω: ωx, ωy, ωz.
Все обозначения введены, а сейчас немного арифметики.
Итак, что мы считаем?
Во-первых, произведение Ω *
r — это у нас 0, −ωz,
ωy, ωz, 0,
−ωx, −ωy,
ωx, 0 * x, y, z.
Умножаем матрицу на вектор-столбец,
получаем вектор-столбец, я надеюсь.
Что у нас здесь есть?
−ωz * y + ωy * z.
Дальше, ωz * x − ω,
ωz * x − ωx * z.
И третий компонент: −ωy * x + ωx * y.
Это мы умножили матрицу на вектор r.
А теперь давайте посмотрим на вот такое векторное
произведение: вектор ω * r.
Перепишу здесь эти два столбца: ωx,
ωy, ωz * x, y, z.
Считаю векторное произведение,
получаю: ωy *
z − ωz * y.
Обратите внимание: вот эти две компоненты у нас, кажется, совпали.
Если действительно совпали, то так и должно быть.
Следующий компонент векторного произведения: ωx * z с минусом +
ωz * x — тоже совпали.
И третий компонент векторного произведения: ωx *
y − ωy * x.
Полное совпадение матрицы умножить на вектор и векторного произведения.
И тогда я могу написать, что вот раньше у меня r с точкой
было ω * r,
а теперь это вектор ω * r векторно.
Вот к такой форме я и стремился.
На самом деле, вот все, что сейчас происходило,
можно положить в основу доказательства очень важной для нас теоремы,
которой мы будем неоднократно пользоваться в кинематических задачах.
Некоторые вообще считают, что вот та формула, которую мы получили,
она решает практически любую кинематическую задачу, ну,
если только еще какие-то геометрические соображения иногда привлекаются.
Итак, теорема.
Теорема Эйлера
о распределении скоростей
точек твердого тела.
Теорема такая: при произвольном движении твердого тела,
что бы с ним не происходило,
как бы оно не двигалось,
в любой момент времени,
[ШУМ] в
любой момент времени найдется,
причем единственным образом, существует единственный
вектор ω.
И действительно, мы его сейчас конструктивно построили из матрицы
направляющих косинусов, то есть мы демонстрируем вот этими выкладками,
которыми мы сделали его существование.
И в силу того, что у нас матрица направляющих косинусов определяется
единственным образом, а компоненты вектора ω через компоненты этой матрицы
выражаются, можно и единственность показать.
Итак, найдется единственный вектор ω, такой,
что скорости двух
любых точек твердого тела,
ну например A и B,
связаны в соотношение:
скорость точки B есть
сумма скорость точки A + тот
самый вектор ω * AB.
Радиус-вектор, соединяющий точку A — полюс, ту точку,
скорость которой стоит в правой части, с точкой B.
вот.
Эта формула и называется формулой Эйлера и составляет суть теоремы
о распределении скоростей точек твердого тела.
Ну замечу, что вот этот вектор ω, который существует единственный,
его принято называть угловой скоростью твердого тела — это будет нашим рабочим
определением в курсе.
А теперь, наверное, самое время разобрать какую-нибудь задачу,
где формула Эйлера активно применяется.
Explore nosso catálogo
Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.
O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.
© 2019 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.
