Добрый день! Итак, мы закончили говорить о кинематике точки, и настало время заняться чем-то более глобальным и серьезным. Давайте теперь посмотрим на более интересный объект, чем простая точка, и тоже начнем говорить о его кинематике. Это займет у нас гораздо больше времени, чем точка, потому что и степеней свободы больше, и уравнений больше разных и красивых придется написать. Но начинаем. Итак, сегодня мы говорим о кинематике тела, даже не кинематике тела, а кинематике твердого тела, твердого тела. Давайте его схематично изобразим. Опять начинаем с того, что у нас есть прямоугольная декартова система координат, неподвижная. И в ней совершает произвольное движение некоторый объект, который мы сейчас определим. Как-то так его механики рисуют, твердое тело. Под твердым телом в механике понимают некую совокупность материальных точек, совокупность состоит из более, чем одной точки. Причем эта совокупность такова, что попарные расстояния между точками сохраняются. Твердое тело — совокупность материальных точек, таких, что расстояние между любыми двумя сохраняется. Твердое тело — это, в общем, модель любого более-менее значимого в механике объекта. Если мы, говоря о точке, имели в виду объекты, размерами которых можно пренебречь, то теперь у нас вполне полноразмерный механический объект, и мы сегодня начнем заниматься его движением. Ну давайте смотреть. Для начала в этом твердом теле, совершающем произвольные движения, можно выбрать произвольным образом полюс, ну скажем, вот здесь. Назовем этот полюс A. Радиус-вектор этого полюса в прямоугольной декартовой системе координат OA назовем R с индексом A. Далее выберем произвольную точку в этом теле, не будем даже ее отмечать какой-нибудь буквой. Поставим точечку, и соединим эту точку с началом системы координат — радиус-вектор R. А также проведем вектор из точки A в выбранную точку тела — r. Поскольку мы говорим о кинематике, нас по-прежнему интересуют скорости и ускорения всех точек твердого тела, а также связи между скоростями и ускорениями. Ну давайте смотреть. Как видно из рисунка, радиус-вектор произвольной точки тела складывается из радиус-вектора точки A и r. Это что касается положения точки. Далее. Если мы это соотношение продифференцируем, мы получим выражение, которое связывает скорость произвольной точки тела со скоростью точки A и, здесь я напишу, r с точкой. Да, просто почленно дифференцируем это равенство, получаем здесь по определению скорость, здесь — по определению скорость точки A, и здесь r с точкой я оставил в таком виде. Дифференцируем второй раз, получаем похожее соотношение, но для ускорений. Ускорение произвольной точки есть ускорение точки A + вторая производная радиус-вектор r по времени. Теперь давайте посмотрим на все эти соотношения, в них, как мы видим, аддитивно входят радиус-вектор точки A, скорость точки A и ускорение точки A — в качестве первых слагаемых. И вторыми слагаемыми являются радиус-вектор r, его производные по времени. Выходит из этих формул, что мы можем на время отложить движение точки A. Что такое «движение точки»? Движение точки — это то, что мы уже прошли, вы решили соответствующие практические задания, вы все про это знаете. Давайте рассматривать более интересную часть. Зафиксируем на время движение точки A и будем смотреть, как ведут себя все остальные точки тела. А потом просто добавим этот радиус-вектор, эту скорость и это ускорение к получившимся соотношениям. Итак, без потери общности мы будем рассматривать задачу о движении твердого тела с неподвижной точкой A. Вот я его перерисую, это твердое тело. Вот здесь у него неподвижная точка. С этой неподвижной точкой свяжем неподвижную прямоугольную декартову систему координат. Орты этой системы я буду обозначать сегодня буквами i: i1, i2, i3. И дальше свяжем с телом еще одну систему координат. Значит, если система координат i1, i2, i3 — неподвижна, как у нас обычно было, то базис, который я нарисую сейчас, e1, e2, e3 — это базис, который движется вместе с телом. Вот эта точка у тела, точка A, неподвижна, система координат с базисом i1, i2, i3 неподвижна тоже, базис e жестко связан с телом и пытается перемещаться вместе с ним. Базис i1, i2, i3 я обозначу буквой I: i1, i2, i3. Выбор буквы тут связан с тем, что система координат — инерциальная, как мы говорим. А базис, с телом связанный, обозначу буквой E: e1, e2, e3 — все векторы. И теперь мы будем смотреть на движение этого тела, даже не столько на движение, сколько на перемещение. Сегодня нас будет интересовать способ задания ориентации твердого тела. Под ориентацией мы будем понимать вот что: пусть у нас есть некоторое начальное положение тела, начальное положение. Мы будем считать, что в начальном положении базис I — вот он имеет какой-то вид начальный. И с этим же видом базиса I совпадает базис E. Есть конечное положение тела. Базис I остается на месте, потому что мы договорились, что он неподвижный, а базис E «уезжает» вместе с телом. И наша задача — в том, чтобы научиться описывать положение нового базиса E, сдвинутого относительно исходного положения, через орты старого базиса. Ну давайте посмотрим, что мы можем сделать. Пускай у нас есть какой-то вектор к некоторой точке твердого тела, и мы будем говорить «вектор AB», AB. И мы будем говорить, что разложение этого вектора по базису I обозначается буквой r, разложение по базису I. Разложение по базису E будем обозначать буквой ρ. И давайте попробуем взять и связать два этих разложения. Сделаем это так: давайте сначала запишем координаты ортов базиса E в базисе I. Орт e1. Орт, напоминаю, — единичный вектор, соответственно, если мы хотим узнать составляющую вектора e1 в разложении по базису i1, i2, i3, мы должны посчитать проекцию этого вектора на соответствующие направления. Итак, проекции вектора e1 на базисные орты: косинус угла между e1, i1, косинус угла между e1, i2, косинус угла между e1, i3. Длина вектора — единична, соответственно, проекции на i1, i2, i3 — вот такие косинусы. То же самое можно написать для вектора e2, и то же самое можно написать для вектора e3. Вектор e2 состоит из трех косинусов, вектор e3 — его компонентами тоже являются косинусы. Значит, e2: cos(e2i1), cos(e2i2), cos(e2i3). e3: cos(e3i1), cos(e3i2), cos e3i3). И, наконец, мы близки к тому, чтобы связать разложение вектора AB по базису E и I. Сделаем это так. Ну напишем, что, скажем, вектор ρ, он имеет в базисе e какие-то координаты: ρ1e1 + ρ2e2 + ρ3e3. Подставляя вместо e1, e2, e3 соответствующие столбцы, мы легко увидим, что вектор r и вектор ρ связаны через матрицу преобразования от одного базиса к другому A. Причем столбцами этой матрицы являются орты e1, e2 и e3. То есть вот эти самые косинусы, которые я сейчас написал, которые были координатами ортов e1, e2 и e3 в базисе I, они являются столбцами в матрице A. cos e1i1, cos e1i2, cos e1i3, cos e2i1, cos e2i3, cos e3i3. Здесь e2, конечно. Третий столбец: cos e3i1, cos e3i2, cos e3i3. Матрица перехода от одного базиса к другому. В силу вот таких обстоятельств ее возникновения, эта матрица называется матрица направляющих косинусов. [БЕЗ СЛОВ] В задачах ориентации она у нас возникнет еще не раз и не два. Перед тем как закончить свой рассказ о матрице направляющих косинусов, давайте я сформулирую два ее свойства, которые нам понадобятся уже для работы с самым первым примером, который вам скоро предстоит разобрать. Ну для начала смотрите. Свойства матрицы направляющих косинусов. Для начала смотрите, по построению. Базис E состоит из единичных векторов, поэтому ei * ej, скалярное произведение ортов, как известно, либо 0, либо 1. Если орты разные, то здесь получается 0, если ei, скажем e1 умножаются на e1, получается 1. Я пишу известный вам символ Кронекера-Капелли. Поскольку это так, то A транспонированное * A, в силу вот этих равенств, или то же самое, A * A транспонированное, есть единичная матрица. То есть полученная нами матрица направляющих косинусов является так называемой ортогональной матрицей. A — ортогональна. Математики под этим понимают матрицу, столбцы которой есть ортонормированный базис. Ну, собственно, у нас так и было по построению. Столбцами матрицы A были базисные векторы, поэтому A, конечно же, ортогональна. Но нельзя не подчеркнуть, что это первое из важных свойств, которые нам нужны. И второе свойство. Матрица A, мы можем ее рассматривать как некоторую матрицу, которая задает преобразование. Оставим на секунду задачу о повороте тела, пускай у нас есть только базис I, и вектор AB в нем. Что получится, если мы подействуем матрицей A на некоторый вектор AB, который у нас обозначен буквой r? Ну давайте посморим, что получится. Отметим, что r' транспонированное * r', подставим сюда (A * r) транспонированное (A * r). Раскрываем транспонирование, меняя порядок. Получаем r транспонированное A транспонированное A * r, то есть r транспонированное * r. Таким образом видно, что это преобразование сохраняет модуль вектора. Итак, можно сказать, что еще одно важное для нас свойство матрицы A состоит в том, что матрица A задает линейное преобразование трехмерного евклидового пространства в себя, сохраняющая длину всех векторов. На этом мы сейчас закончим, можно переходить к примеру.
