Добрый день. Итак, за последние несколько занятий мы с вами превзошли кинематику точки, научились ориентировать твердое тело, научились считать скорость и ускорение, точнее распределение скоростей и ускорения в твердом теле, и сейчас мы перестанем на некоторое время штурмовать новые вершины теоретико-механической мысли и сделаем небольшой перерыв. Возьмем паузу и разберем частный случай того, о чем мы уже поговорили. Мы с вами писали формулы Эйлера и Ривальса для распределения скоростей и ускорения точек твердого тела в самом общем случае, то есть мы умеем решать любые кинематические задачи, связанные с распределением скоростей и ускорений. А теперь давайте посмотрим на не любую, но важную в технических приложениях задачу о плоскопараллельном движении твердого тела. Речь вот о чем. Давайте как всегда обозначим заголовок — плоскопараллельное движение. У нас есть твердое тело, как обычно причудливой формы, вот так мы его рисуем, и сегодня мы говорим, что оно движется так, что существует некоторая плоскость α… α — это плоскость. Такая, что скорость любой точки тела компланарно, как говорят математики, этой самой плоскости α. Вот где-то внизу я ее обозначу, вот эту плоскость α. Вот какая-то точка i, ее скорость параллельна попросту говоря этой самой плоскости. Вот, такое движение тела называется плоскопараллельным. Что мы тогда делаем? Ну давайте без ограничения общности введем в систему координат так, что оси x и y совпадают с плоскостью α. Ну, то есть плоскость oxy системы координат у нас и будет являться плоскостью α. oxy и z куда-то наверх. Что дальше? Дальше мы возьмем и как всегда напишем формулу Эйлера. В кинематике, собственно, с нее начинается любое рассуждение. Для двух каких-то точек твердого тела мы знаем, что мы можем написать такое соотношение для их скоростей. Скорости двух точек связаны вот таким вот образом. Умножить на радиус-вектор от точки i к точке j. Дальше. Обозначим буквой n единичный вектор, нормальный к плоскости α. Ну то есть это орт оси z в наших обозначениях. И на этот самый вектор n возьмем и скалярно умножим формулу Эйлера справа. Что мы получим? Поскольку плоскость α устроена так, что ей компланарны вектора скорости Vi и Vj, то скалярное произведение этих двух векторов на вектор нормали к плоскости α естественно даст 0, и останется у нас (ω * rij, n) = 0. Такое смешанное произведение дает 0. Смешанное произведение, как вы возможно помните, перестановочно, то есть я могу сделать циклическую перестановку, унести n вперед и получить n * ω и потом скалярно на rij есть 0. И дальше я начинаю думать, что же мне здесь дает 0. Ну скорей всего не вектор rij, потому что i и j — любые точки твердого тела. Поскольку вектор выбирается произвольно, то 0 видимо здесь вылезает из первого компонента смешанного произведения, то есть n * ω. [БЕЗ_ЗВУКА] Если n * ω = 0, то какие у меня варианты? Либо модуль какого из этих векторов ноль, но не n, потому что n — единичный вектор. То есть либо ω по модулю ноль, либо n и ω — коллинеарные векторы. Ну в случае ω = 0 — это поступательное движение. Интересный случай, но не слишком. Значит, ω = 0 — поступательное движение. Что у нас в плоскопараллельном движении происходит, если оно еще и поступательное? Ну просто все точки тела с одинаковой скоростью куда-то устремляются и это можно считать так же, как движение одной точки. То есть эту задачу мы уже решили, когда говорили о кинематике точки. Это нам сейчас не очень интересно. А во всех остальных случаях в плоскопараллельном движении видимо приходится считать, что угловая скорость движения перпендикулярна плоскости α, плоскости движения. Дальше. Если мы подумаем, что у нас происходит с угловым ускорением. Угловое ускорение… Угловое ускорение, это у нас по определению dω / dt, то есть производная вектора угловой скорости по времени. Производная, как мы с вами говорили, показывает, как у нас может меняться вектор ω, а по направлению, как мы понимаем, вектор ω не меняется, он все время коллинеарен вектору n. Вот. Значит, он может меняться только по модулю. Раз он моет меняться только по модулю, то и вектор ε тоже у нас коллинеарен вектору n. Итак, можно это сформулировать в качестве теоремы даже — в плоскопараллельном движении вектор угловой скорости и углового ускорения перпендикулярны плоскости, которой параллельны все скорости. Вот. Ну мы этот факт просто вот так оставим в подчеркнутом виде и начнем двигаться дальше. Что у нас дальше? Дальше нужно поговорить про то, как у нас в плоскопараллельном движении записываются формулы Эйлера и Ривальса, есть ли тут какие-то особенности. Ну для начала давайте договоримся, что раз движение плоскопараллельное, то, по идее, достаточно рассматривать движение некоторого сечения тела плоскостью, параллельной α. Вот каждое такое сечение каким-то образом движется, как пластина в своей плоскости. Поэтому чаще всего задачи про плоскопараллельное движение ставятся как-то так — есть плоскость xy и ось z — третья, и в плоскости xy совершает движение некоторая пластина. Это можно рассматривать как отдельную задачу и тогда говорят, что движение плоское, движение плоской пластины в ее плоскости, или можно вернуться к исходному рисунку и считать, что это некоторое сечение исходно нарисованного тела совершает движение вот плоскопараллельное. Итак, мы договорились, что у нас ω и ε в плоском движении коллинеарны оси z в такой постановке. К сожалению, формула Эйлера настолько проста и прекрасна, что упростить ее никак не получится. Вот она как была, что скорости двух любых точек связаны вот таким соотношением, так и осталась. Единственное, что, как вы увидите в практических занятиях, тут уже будет достаточно знать скорости двух точек твердого тела, чтобы определить угловую скорость полностью. Потому что у нас угловая скорость, когда мы покомпонентно будем все расписывать, имеет всего одну компоненту по оси z, и она благополучно из уравнения для одной пары точек найдется. Ну это вы на практических занятиях посмотрите. А что касается формулы Ривальса для ускорений, о полностью она выглядит так — ускорение точки j — это ускорение точки i + ε * rij + ω * ω * rij. Вот, она упрощается. Смотрите, за счет чего. Давайте вспомним, что у нас вращательное ускорение — это ε * rij, и осестремительное ускорение — это ω * ω * rij. Посмотрим на вот это удвоенное векторное произведение. Давайте я поставлю какие-то две точки здесь. Вот точки i, точка j, на картинке. Вот вектор rij соответственно. А вектор угловой скорости он направлен вдоль оси z перпендикулярно вектору rij. Вот. Что будет, если мы ω умножим на rij? Получится вектор, лежащий в плоскости рисунка. Вот ω * rij. И направленный перпендикулярно rij. Что будет если ω еще раз умножить на этот вектор? Он еще раз повернется на π / 2 и будет направлен против rij. Таким образом, мы получаем, что осестремительное ускорение упрощается до вот такого выражения — квадрат угловой скорости скалярно умножить на вектор rij, ну и минус, потому что направление поменялось. Вот. Теперь видно почему, собственно, это ускорение называется осестремительным. Видите, оно вот в таком написании формулы направлено от точки j к точке i, к оси или к выбранному полюсу. Осестремительное ускорение полностью оправдывает свое название. Ну а вращательное ускорение, ε * rij, оно направлено перпендикулярно rij, ну векторное произведение. Вот. И отвечает как бы за вращение вокруг полюса. Вот видимо из этого плоского движения такие два термина и пришли. Ну а теперь можно перейти к практическим занятиям и посмотреть, как в плоском движении с помощью преобразованных формул Ривальса и оставшейся формулы Эйлера решаются задачи.
