В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Плоскопараллельное движение
Loading...
Do curso por Moscow Institute of Physics and Technology
Кинематика
16 classificações
Na lição
Плоскопаралелльное движение
Conheça os instrutores
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Добрый день.
Итак, за последние несколько занятий мы с вами превзошли кинематику точки,
научились ориентировать твердое тело, научились считать скорость и ускорение,
точнее распределение скоростей и ускорения в твердом теле,
и сейчас мы перестанем на некоторое время штурмовать новые вершины
теоретико-механической мысли и сделаем небольшой перерыв.
Возьмем паузу и разберем частный случай того, о чем мы уже поговорили.
Мы с вами писали формулы Эйлера и Ривальса для распределения скоростей и ускорения
точек твердого тела в самом общем случае, то есть мы умеем решать любые
кинематические задачи, связанные с распределением скоростей и ускорений.
А теперь давайте посмотрим на не любую, но важную в технических приложениях
задачу о плоскопараллельном движении твердого тела.
Речь вот о чем.
Давайте как всегда обозначим заголовок —
плоскопараллельное движение.
У нас есть твердое тело,
как обычно причудливой формы, вот так мы его рисуем, и сегодня мы говорим,
что оно движется так, что существует некоторая плоскость α… α — это плоскость.
Такая, что скорость любой точки тела компланарно,
как говорят математики, этой самой плоскости α.
Вот где-то внизу я ее обозначу, вот эту плоскость α.
Вот какая-то точка i,
ее скорость параллельна попросту говоря этой самой плоскости.
Вот, такое движение тела называется плоскопараллельным.
Что мы тогда делаем?
Ну давайте без ограничения общности введем в систему координат так,
что оси x и y совпадают с плоскостью α.
Ну, то есть плоскость oxy системы координат у нас и
будет являться плоскостью α.
oxy и z куда-то наверх.
Что дальше?
Дальше мы возьмем и как всегда напишем формулу Эйлера.
В кинематике, собственно, с нее начинается любое рассуждение.
Для двух каких-то точек твердого тела мы знаем,
что мы можем написать такое соотношение для их скоростей.
Скорости двух точек связаны вот таким вот образом.
Умножить на радиус-вектор от точки i к точке j.
Дальше.
Обозначим буквой n единичный вектор,
нормальный к плоскости α.
Ну то есть это орт оси z в наших обозначениях.
И на этот самый вектор n возьмем и скалярно умножим формулу Эйлера справа.
Что мы получим?
Поскольку плоскость α устроена так,
что ей компланарны вектора скорости Vi и Vj, то скалярное произведение
этих двух векторов на вектор нормали к плоскости α естественно даст 0,
и останется у нас (ω * rij,
n) = 0.
Такое смешанное произведение дает 0.
Смешанное произведение, как вы возможно помните, перестановочно,
то есть я могу сделать циклическую перестановку,
унести n вперед и получить n * ω
и потом скалярно на rij есть 0.
И дальше я начинаю думать, что же мне здесь дает 0.
Ну скорей всего не вектор rij, потому что i и j — любые точки твердого тела.
Поскольку вектор выбирается произвольно, то 0 видимо здесь вылезает из
первого компонента смешанного произведения, то есть n * ω.
[БЕЗ_ЗВУКА] Если
n * ω = 0, то какие у меня варианты?
Либо модуль какого из этих векторов ноль, но не n, потому что n — единичный вектор.
То есть либо ω по модулю ноль,
либо n и ω — коллинеарные векторы.
Ну в случае ω = 0 — это поступательное движение.
Интересный случай, но не слишком.
Значит, ω = 0 — поступательное движение.
Что у нас в плоскопараллельном движении происходит, если оно еще и поступательное?
Ну просто все точки тела с одинаковой скоростью куда-то устремляются и это
можно считать так же, как движение одной точки.
То есть эту задачу мы уже решили, когда говорили о кинематике точки.
Это нам сейчас не очень интересно.
А во всех остальных случаях в плоскопараллельном движении видимо
приходится считать, что угловая скорость движения
перпендикулярна плоскости α, плоскости движения.
Дальше.
Если мы подумаем, что у нас происходит с угловым ускорением.
Угловое ускорение… Угловое ускорение,
это у нас по определению dω / dt,
то есть производная вектора угловой скорости по времени.
Производная, как мы с вами говорили, показывает,
как у нас может меняться вектор ω, а по направлению, как мы понимаем,
вектор ω не меняется, он все время коллинеарен вектору n.
Вот. Значит,
он может меняться только по модулю.
Раз он моет меняться только по модулю,
то и вектор ε тоже у нас коллинеарен вектору n.
Итак, можно это сформулировать в качестве теоремы даже — в плоскопараллельном
движении вектор угловой скорости и углового ускорения перпендикулярны
плоскости, которой параллельны все скорости.
Вот. Ну мы этот факт просто вот так оставим в
подчеркнутом виде и начнем двигаться дальше.
Что у нас дальше?
Дальше нужно поговорить про то, как у нас в плоскопараллельном движении
записываются формулы Эйлера и Ривальса, есть ли тут какие-то особенности.
Ну для начала давайте договоримся, что раз движение плоскопараллельное, то,
по идее, достаточно рассматривать движение некоторого сечения тела плоскостью,
параллельной α.
Вот каждое такое сечение каким-то образом движется, как пластина в своей плоскости.
Поэтому чаще всего задачи про плоскопараллельное движение ставятся
как-то так — есть плоскость xy и ось z — третья,
и в плоскости xy совершает движение некоторая пластина.
Это можно рассматривать как отдельную задачу и тогда говорят,
что движение плоское, движение плоской пластины в ее плоскости,
или можно вернуться к исходному рисунку и считать, что это некоторое сечение
исходно нарисованного тела совершает движение вот плоскопараллельное.
Итак, мы договорились,
что у нас ω и ε в плоском движении
коллинеарны оси z в такой постановке.
К сожалению, формула Эйлера настолько проста и прекрасна,
что упростить ее никак не получится.
Вот она как была, что скорости двух
любых точек связаны вот таким соотношением, так и осталась.
Единственное, что, как вы увидите в практических занятиях,
тут уже будет достаточно знать скорости двух точек твердого тела,
чтобы определить угловую скорость полностью.
Потому что у нас угловая скорость, когда мы покомпонентно будем все расписывать,
имеет всего одну компоненту по оси z,
и она благополучно из уравнения для одной пары точек найдется.
Ну это вы на практических занятиях посмотрите.
А что касается формулы Ривальса для ускорений, о полностью она выглядит
так — ускорение точки j — это ускорение точки
i + ε * rij + ω * ω * rij.
Вот, она упрощается.
Смотрите, за счет чего.
Давайте вспомним, что у нас вращательное ускорение — это ε * rij,
и осестремительное ускорение
— это ω * ω * rij.
Посмотрим на вот это удвоенное векторное произведение.
Давайте я поставлю какие-то две точки здесь.
Вот точки i, точка j, на картинке.
Вот вектор rij соответственно.
А вектор угловой скорости он направлен вдоль оси
z перпендикулярно вектору rij.
Вот.
Что будет, если мы ω умножим на rij?
Получится вектор, лежащий в плоскости рисунка.
Вот ω * rij.
И направленный перпендикулярно rij.
Что будет если ω еще раз умножить на этот вектор?
Он еще раз повернется на π / 2 и будет направлен против rij.
Таким образом, мы получаем, что осестремительное ускорение упрощается
до вот такого выражения — квадрат угловой скорости скалярно
умножить на вектор rij, ну и минус, потому что направление поменялось.
Вот. Теперь видно почему, собственно,
это ускорение называется осестремительным.
Видите, оно вот в таком написании формулы направлено
от точки j к точке i, к оси или к выбранному полюсу.
Осестремительное ускорение полностью оправдывает свое название.
Ну а вращательное ускорение, ε * rij,
оно направлено перпендикулярно rij, ну векторное произведение.
Вот. И отвечает как бы за вращение вокруг
полюса.
Вот видимо из этого плоского движения такие два термина и пришли.
Ну а теперь можно перейти к практическим занятиям и посмотреть,
как в плоском движении с помощью преобразованных формул Ривальса и
оставшейся формулы Эйлера решаются задачи.
Explore nosso catálogo
Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.
O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.
© 2019 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.
