נסתכל על
הצמצום של הפונקציה המקורית, טנגנס,
לקטע מינוס פאי חלקי 2 פאי חלקי 2.
נשחק עם גודל האותיות: T בקפיטל, T בגדול, יהיה הצמצום
של הפונקציה טנגנס המקורית לקטע הפתוח, מינוס פאי חלקי 2 פי חלקי 2.
למעשה אחרי שמחקתי את יתר הגרף
של הפונקציית טנגנס מה שמונח לפנינו זה בדיוק הצמצום הזה,
קרי הגרף של הפונקציה טנגנס בגדול.
בצורה כזו, עבור כל ערך של
המשתנה T נוכל למצוא, עבור כל ערך של המשתנה
Z, נוכל לבחור או למצוא ערך אחד ויחיד של
המשתנה T כך שהטנגנס שלו באמת מתאים לZ.
אז אם נזכור לרגע את הערכים שקיבלנו,
כאשר T היה שווה ל0,
הטנגנס של 0 למשל חישבנו שווה ל0.
כאשר T היה שווה לפאי חלקי 6, הטנגנס
היה הZ שורש של 3 חלקי 3.
כאשר הT היה פאי חלקי 4, הערך של
המשתנה Z היה 1.
כאשר T היה שווה לפאי חלקי 3, הערך של Z היה שורש של 3.
בצורה אנלוגית: עבור מינוס פאי חלקי 6 הערך
המתאים של Z הוא מינוס שורש של 3 חלקי 3.
בשביל מינוס פאי חלקי 4 האורך, הערך של Z הוא מינוס 1.
בשביל מינוס פאי חלקי 3 האורך, הערך של Z הוא מינוס שורש של 3.
במילים אחרות, מה שכרגע החזרתי זה איך אנחנו מפיקים
את Z כטנגנס, בגדול, של המשתנה T.
אם נתבונן משמאל לימין, מה שיש לנו כאן
זה טבלה של ערכים של הפונקציית טנגנס בגדול.
מה שנוכל לעשות זה ללכת ברוורס.
באופן כללי הפונקציה טנגנס מוגדרת
בקטע פתוח מינוס פאי חלקי 2 פאי חלקי
2 כפי שהזכרנו וממצה את מלוא
הערכים של R, של המספרים הממשיים.
בכיוון השני נוכל להגדיר את הפונקציה ההפוכה הידועה בשם ארק טנגנס.
בהינתן ערך של Z נוכל בהתבוננות משמאל
לימין לקבל את הערכים של הפונקציה ארק טנגנס.
גאומטרית, אם נתבונן על מעגל
היחידה, כפי שאמרנו, אם נבחר ערך כלשהו על
ציר הZ, כל מה שעלינו לעשות זה לחבר את
הנקודה עם הראשית והנקודה על מעגל
היחידה או ליתר דיוק על מחציתה המזרחית
של מעגל היחידה, אם נמדוד את האורך המרחק
על המעגל מהראשית, על המעגל, עד אותה
נקודה, אם זו
Z, המרחק מA עד
הנקודה זו T, זה מה שיהיה הארק
טנגנס של Z.
איך ייראה הגרף של הפונקציה ארק טנגנס?
בואו נזכור לרגע מהו הקשר בין הגרף של פונקציה לבין הגרף
של הפונקציה הפוכה אם נרצה לשרטט את שני הגרפים על אותו ציור.
אם אנחנו משרטטים הן
את הגרף של הפונקציה והן את הגרף של הפונקציה ההפוכה באותה מערכת
צירים, אז האחד הוא שיקוף של השני ביחס לאלכסון הראשי.
על כן, הגרף של הפונקציה ארק טנגנס, יהיה סימטרי ביחס
לאלכסון הראשי של הגרף בצבע כחול המופיע לפניכם.
אז הבא נבצע את הפרוצדורה הזו לגבי הפונקציה טנגנס.
אם פה יש לנו פאי חלקי
2 יחידות, פה זה האלכסון
הראשי, אז גם פה
יהיו לנו פאי חלקי 2 יחידות.
נמשיך באלכסון הראשי, אז גם פה