קורס זה עוסק במתמטיקה של בית ספר תיכון מנקודת מבט מתקדמת. מטרתו העיקרית היא לחשוף סטודנטים לעתיד לאופן שבו מתמטיקאים רואים מקצוע זה, ובכך להכין אותם ללימודי מתמטיקה ברמת אוניברסיטה.
טריגונומטריה 5 - הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות
Loading...
Do curso por Hebrew University of Jerusalem
Invitation to Mathematics הזמנה למתמטיקה
47 ratings
Na lição
הפונקציות הטריגונומטריות
ביחידה זו נלמד את המשמעות הגאומטרית של פונקציות הסינוס והקוסינוס, נראה מספר זהויות שימושיות, נחקור כמה תכונות של פונקציית הטנגנס ונסיים בהצגת הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות
Conheça os instrutores
Raz Kupferman
Mathematics
Itamar Cwik
Mathematics
Ehud de Shalit
Mathematics
בואו נציג את הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות.
בואו נחשוב לרגע, פונקציות טריגונומטריות הפוכות.
הפונקציות הטריגונמטריות מטבען הינן פונקציות מחזוריות, אז
איך ייתכן שהן תהיינה הפיכות?
הרי פונקציה הפיכה, יש לה את הסגולה שמבדילה ערכים
שונים של המשתנה הבלתי תלוי באמצעות ערכים שונים של המשתנה התלוי.
אבל הפונקציות הטריגונומטריות, למשל, פונקציית
טנגנס, שחלק מהגרף
מצויר לפנינו, לערך מסוים של המשתנה
Z נוכל למצוא אין סוף ערכים של T,
כך שהטנגנס של T יהיה אותו Z שאנחנו חשבנו עליו מראש.
אז זה חסר משמעות לחשוב על פונקציה הפוכה של פונקציה טריגונומטרית.
אבל מה שנוכל לעשות זה, לפעול בצורה כזו: בואו נתבונן בציור.
מה עכשיו אנחנו רוצים לעשות זה בהינתן
ערך כלשהו של הטנגנס, גובה
כלשהו על ציר הZ, אנחנו רוצים
למצוא מספר T,
כך שהטנגנס של T יהיה בדיוק אותו
ערך והציור הזה ממחיש רעיון אפשרי אחד:
אם נצטמצם לנקודות בקטע
בין מינוס פאי חלקי 2 לפאי חלקי 2
על מעגל היחידה,
ורק לערכים אלה,
עבור ערכים אלה, אחרי
שנחשב את הטנגנס, נקבל את כל הערכים
האפשריים של ציר הZ רק פעם אחת.
אם כך, מה שנוכל לעשות זה לפעול
כדלקמן: במקום לעבוד עם מלוא הפונקציה,
נסתכל על
הצמצום של הפונקציה המקורית, טנגנס,
לקטע מינוס פאי חלקי 2 פאי חלקי 2.
נשחק עם גודל האותיות: T בקפיטל, T בגדול, יהיה הצמצום
של הפונקציה טנגנס המקורית לקטע הפתוח, מינוס פאי חלקי 2 פי חלקי 2.
למעשה אחרי שמחקתי את יתר הגרף
של הפונקציית טנגנס מה שמונח לפנינו זה בדיוק הצמצום הזה,
קרי הגרף של הפונקציה טנגנס בגדול.
בצורה כזו, עבור כל ערך של
המשתנה T נוכל למצוא, עבור כל ערך של המשתנה
Z, נוכל לבחור או למצוא ערך אחד ויחיד של
המשתנה T כך שהטנגנס שלו באמת מתאים לZ.
אז אם נזכור לרגע את הערכים שקיבלנו,
כאשר T היה שווה ל0,
הטנגנס של 0 למשל חישבנו שווה ל0.
כאשר T היה שווה לפאי חלקי 6, הטנגנס
היה הZ שורש של 3 חלקי 3.
כאשר הT היה פאי חלקי 4, הערך של
המשתנה Z היה 1.
כאשר T היה שווה לפאי חלקי 3, הערך של Z היה שורש של 3.
בצורה אנלוגית: עבור מינוס פאי חלקי 6 הערך
המתאים של Z הוא מינוס שורש של 3 חלקי 3.
בשביל מינוס פאי חלקי 4 האורך, הערך של Z הוא מינוס 1.
בשביל מינוס פאי חלקי 3 האורך, הערך של Z הוא מינוס שורש של 3.
במילים אחרות, מה שכרגע החזרתי זה איך אנחנו מפיקים
את Z כטנגנס, בגדול, של המשתנה T.
אם נתבונן משמאל לימין, מה שיש לנו כאן
זה טבלה של ערכים של הפונקציית טנגנס בגדול.
מה שנוכל לעשות זה ללכת ברוורס.
באופן כללי הפונקציה טנגנס מוגדרת
בקטע פתוח מינוס פאי חלקי 2 פאי חלקי
2 כפי שהזכרנו וממצה את מלוא
הערכים של R, של המספרים הממשיים.
בכיוון השני נוכל להגדיר את הפונקציה ההפוכה הידועה בשם ארק טנגנס.
בהינתן ערך של Z נוכל בהתבוננות משמאל
לימין לקבל את הערכים של הפונקציה ארק טנגנס.
גאומטרית, אם נתבונן על מעגל
היחידה, כפי שאמרנו, אם נבחר ערך כלשהו על
ציר הZ, כל מה שעלינו לעשות זה לחבר את
הנקודה עם הראשית והנקודה על מעגל
היחידה או ליתר דיוק על מחציתה המזרחית
של מעגל היחידה, אם נמדוד את האורך המרחק
על המעגל מהראשית, על המעגל, עד אותה
נקודה, אם זו
Z, המרחק מA עד
הנקודה זו T, זה מה שיהיה הארק
טנגנס של Z.
איך ייראה הגרף של הפונקציה ארק טנגנס?
בואו נזכור לרגע מהו הקשר בין הגרף של פונקציה לבין הגרף
של הפונקציה הפוכה אם נרצה לשרטט את שני הגרפים על אותו ציור.
אם אנחנו משרטטים הן
את הגרף של הפונקציה והן את הגרף של הפונקציה ההפוכה באותה מערכת
צירים, אז האחד הוא שיקוף של השני ביחס לאלכסון הראשי.
על כן, הגרף של הפונקציה ארק טנגנס, יהיה סימטרי ביחס
לאלכסון הראשי של הגרף בצבע כחול המופיע לפניכם.
אז הבא נבצע את הפרוצדורה הזו לגבי הפונקציה טנגנס.
אם פה יש לנו פאי חלקי
2 יחידות, פה זה האלכסון
הראשי, אז גם פה
יהיו לנו פאי חלקי 2 יחידות.
נמשיך באלכסון הראשי, אז גם פה
יהיו לנו מינוס פאי חלקי 2 יחידות, אז
הקטע הזה
יהפוך להיות הקטע הזה.
ותחום ההגדרה של הפונקציה הולך
להיות כל ציר הZ, אז אנחנו הופכים את היוצרות.
כאן נמקם את ציר הZ
במלוא הדרו.
והערכים שאנחנו נקבל עבור המשתנה
הפעם, התלוי T, ינועו בין מינוס
פאי חלקי 2 לפאי חלקי 2.
מינוס פאי חלקי 2 לפאי חלקי 2.
אז איך יראה הציור?
אם ״בחתונה״ הזו טנגנס של פאי חלקי 4 היה שווה
ל-1, כאשר נתבונן על זה בכיוון ההפוך פה יש לנו, Z
הפעם שווה ל-1, אז הציור המתאים, הסימטרי,
יהיה הציור הבא: מה שאנחנו צריכים זה כאן,
ערך של פאי חלקי 4, אז הנקודה הזו
הינה חלק מתחום מהגרף של הפונקציה
ההפוכה, גם הנקודה הזו מינוס פאי חלקי
4 אם פה יש לנו מינוס פאי
חלקי 4 היא תתאים
ל-1 אז פה יהיה לנו מינוס 1.
אז מה שנקבל זה משהו
זה משהו שפחות או יותר נראה כך.
זה הגרף של הפונקציה
R טנגנס וזה הגרף של הפונקציה טנגנס בגדול.
אז מהפרספקטיבה של הציור בצהוב הציר הזה משחק את התפקיד
של ערכי ה-Z והציר הזה משחק את התפקיד של ערכי ה-T.
להבדיל מהתפקיד בכחול שבשביל הפונקציה
טנגנס בגדול, הציר האופקי שיחק את התפקיד
של ה-T והציר האנכי את התפקיד של ציר ה-Z.
בואו נראה איך אנחנו
יכולים לפעול בצורה דומה לגבי הפונקציה סינוס והפונקציה קוסינוס.
בואו נטפל תחילה בפונקציה סינוס.
אז כפי שאמרנו, לגבי הפונקציה טנגנס אין לנו כל
אפשרות למצוא פונקציה הפוכה של הפונקציה סינוס,
אבל הפעם מה שאנחנו נרצה לעשות זה הדבר הבא:
אנחנו מחפשים איזשהו צמצום,
איזשהו תחום בשביל ערכי T,
כך שממצים רק פעם אחת את כל הערכים של הסינוס.
להזכירכם אנחנו רואים את הסינוס כהיטלים על ציר
ה-Y, על כן היינו רוצים לראות או לבחור תחום
בשביל ערכי T כך שנעבור על כל הגבהים הפעם בין
מינוס 1 ל-1 על ציר ה-Y רק פעם אחת.
האמת היא שאנחנו במצב מאוד דומה למה שקרה עם
הפונקציה טנגנס, אלא שהפעם אנחנו יכולים לקחת את מה?
את מלוא הקטע מינוס פאי חלקי 2 עד פאי חלקי 2, כולל שני הקצוות.
בואו נסתכל על זה בציור.
הבה נשרטט את הגרף של הפונקציה סינוס.
אנחנו נעוות קצת את הפרופורציות על מנת שהציור
יראה יותר יפה.
זה יהיה גובה 1, זה יהיה גובה מינוס 1.
אז אם פה זה 1 ופה זה 1
פה זה 2, אז פחות או יותר
כאן יהיה פאי חלקי 2.
אם כאן פאי חלקי 2 אז כאן סדר
גודל של מינוס פאי חלקי 2.
אז מה שאנחנו יכולים לפעול זה בצורה אנלוגית.
מגדירים את הפונקציה סינוס בגדול כצמצום של
הפונקציה סינוס בקטן לקטע הסגור:
מינוס פאי חלקי 2 פאי חלקי 2.
ובאותו קטע אנו משרטטים את הגרף
של הפונקציה שכמובן
הינו חלק מהגרף של הפונקציה סינוס.
אז הפונקציה סינוס
בגדול, לוקחת ערכים בקטע: מינוס פאי חלקי
2 פאי חלקי 2 ומחזירה לנו ערכים ממשיים.
אלא מה, נזכור שהתמונה של הפונקציה סינוס בגדול
לא יכולה להיות שונה מהתמונה של הפונקציה סינוס בקטן ובחרנו
למעשה תחום בשביל הפונקציה סינוס בגדול כך שאנחנו נמצה את מלוא
הגבהים בין מינוס 1 לבין 1.
ואז נוכל להגדיר בצורה
אנלוגית לאיך שהגדרנו את הפונקציה R טנגנס, את הפונקציה R
סינוס בעבור כל ערך בין מינוס
1 ל-1 נקבל ערך בין מינוס פאי חלקי 2 פאי חלק 2.
אילו היינו כותבים את הערכים של T כאן
הפונקציה סינוס היתה מפיקה עבורנו ערכים
של Y הפונקציה R סינוס פועולת בדיוק בכיוון השני.
אז גאומוטרית הפעם הבנייה הינה כזו: אם אנחנו
מתמקדים על איזשהו גובה על ציר ה-Y מה אנחנו עושים?
פונים מזרחה עד שאנחנו חותכים או
פוגשים את המחצית המזרחית של מעגל היחידה מודדים
את מידת הזווית המתאימה והנקודה T או
המידה של הנקודה T הסינוס
של T יהיה בדיוק ה-Y שקיבלנו.
זה יהיה ה-R סינוס של ה-Y.
במקום לכתוב טבלה בואו
נראה חלק מהערכים ישירות על הציור של מעגל היחידה.
למשל, מהו R סינוס של חצי?
אם בחרנו גובה חצי, פונים ימינה ונפגוש כמובן את הנקודה כך ש-T שווה לפאי חלקי 6.
מהו R סינוס של מינוס שורש של 3 חלקי 2?
אומנם שורש של 3 חלקי 2 לא מופיע על הציור מופיע שורש של 3 חלקי 2.
אילו שאלנו מהו R סינוס של שורש של 3 חלקי
2, היינו מקבלים את הערך T שווה לפאי חלקי 3.
ברור שמשיקולי סימטריה אילו היינו שואלים מהו
ה-R סינוס של מינוס שורש של 3 חלקי 2, המידה
שהיינו מקבלים T שווה למינוס פאי חלקי 3.
אם כך, איך יראה הגרף של הפונקציה
R סינוס אילו, שוב, היינו משרטטים
את שני הגרפים סינוס ו-R סינוס על אותו ציור?
אז כמו שפעלנו לגבי הפונקציה R טנגנס מה
שאנחנו צריכים לעשות זה לשרטט גרף שהוא סימטרי ביחס
לאלכסון הראשי של הציור שהיה לנו.
אז הפעם מה שנקבל, זה יראה משהו כזה:
נמתח לשני הכיוונים את הישר של האלכסון
הראשי אם פה זה גובה, פה זה אורך.
פאי חלקי 2 אז פה יהיה פאי חלקי 2.
עד לכאן זה מינוס פאי חלקי 2.
הווה אומר שזה גובה מינוס פאי חלקי 2.
ואז הגרף של הפונקציה ההפוכה
יראה בלבוש כזה.
זה צריך להיות סימטרי.
הנקודה הזו הופכת להיות
הנקודה הזו, הנקודה הזו, היא עצמה.
הנקודה הזו הופכת להיות הנקודה הזו.
אז הגרף נראה בצבע כזה.
זה הגרף של הפונקציה R סינוס.
וכפי שאמרנו גם כן לגבי הפונקציה טנגנס ו-R
טנגנס בבואנו לחשוב על הגרף בירוק, הפונקציה R סינוס
אז המשתנה התלוי הוא ציר ה-Y,
ותחום ההגדרה של הפונקציה R סינוס הוא הקטע מינוס 1, 1.
התמונה הופכת להיות, במקרה הזה ערכים של T בין
מינוס פאי חלקי 2 שאנחנו רואים אותם על מעגל היחידה.
ומה לגבי הפונקציה קוסינוס?
אז הפעם מה שאנחנו מחפשים זה מה?
ערכי הפונקציה קוסינוס נעים על ציר ה-X בין מינוס 1 ל1.
ומה שעכשיו אנחנו מחפשים זה קטע של ערכים של T אשר ממצים
רק פעם אחת, עוברים רק פעם אחת על כל הערכים בין מינוס 1 ל-1.
בחירה אפשרית אחת הינה הבחירה הבאה: לוקחים
את כל הערכים של T הנעים בין: T שווה
ל-0 עד ל-T שווה לפאי.
באופן אנליטי מה שאנחנו עושים זה
מגדירים את הפונקציה קוסינוס בגדול,
כצמצום של הפונקציה קוסינוס בקטן
לקטע אפס פאי.
בצורה כזו מה
שנקבל זה זיווג בין הקטע
אפס פאי על ציר ה-T לבין הערכים
בין מינוס 1 ל-1, הפעם על ציר ה-X.
נכניס T כלשהו בין 0
לבין פאי, נתבונן על ההטלה על ציר ה-X ונקבל
את הערך שמקצה הפונקציה קוסינוס בגדול.
בכיוון השני נקבל את מה שנגדיר כפונקציה R קוסינוס.
החץ הפעם הולך לכיון השני.
בואו נחשוב על מעגל היחידה אם הפעם
אנחנו נחשוב על איזשהו ערך בין מינוס 1 ל-1,
להבדיל מהמקרה הקודם שכדי לחשב את הערך של הפונקציה R
סינוס, מיקמנו את הערך על ציר ה-Y, הפעם נמקם אותו על ציר ה-X.
אם למשל אנחנו חושבים על שורש 2 חלקי
2, מהו ה-R קוסינוס של שורש 2 חלקי 2?
נפנה צפונה עד שנחתוך את המחצית העליונה
של מעגל היחידה ובנקודה אשר נמצא את החיתוך,
המידה תתן לנו בדיוק מה-R קוסינוס שחיפשנו.
ואומנם עבור שורש 2 חלקי 2 ה-T המתאים הוא T שווה לפאי חלקי 4.
באופן סימטרי אם היו נותנים לנו מינוס שורש 2
חלקי 2 על אף העובדה, שוב, שזה לא מופיע בציור.
מה שהיינו צריכים לעשות זה לפנות צפונה ולאתר את הנקודה שמתאימה.
נשאיר לצופה שמלווה אותנו בנאמנות עד רגע זה
להשתכנע שהנקודה המתאימה היא פאי חלקי 4 ועוד פאי חלקי 4
ועוד פאי חלקי 4, קרי R קוסינוס של מינוס שורש
2 חלקי 2 יהיה שלוש פעמים פאי חלקי 4.
איך יראה הגרף של הפונקציה R קוסינוס?
אנחנו נשאיר לצופה
לשרטט באותו ציור הן את הגרף של הפונקציה קוסינוס
בגדול והפונקציה R קוסינוס, אבל נרשה
לעצמנו להלביש את הציור של הפונקציה
R קוסינוס גם על הציור הזה אומנם בצבע אחר
תוך כדי התבוננות של כמה ערכים.
למשל R קוסינוס של 0 יפנה
צפונה יהיה פאי חלקי 2.
במילים אחרות אם ה״אינפוט״ שלנו הפעם בין מינוס 1 ל-1 הוא
אפס, הערך שהפונקציה R קוסינוס תקצה הוא
פאי חלקי 2.
אם הערך שאנחנו מכניסים או שואלים מהו R קוסינוס של
1, מחפשים את ה-1 על ציר ה-X, הזווית המתאימה היא T שווה ל-0.
לכן, אם נכתוב X
שווה ל-1 אז ה-R קוסינוס הוא 0.
מה קורה אם נשאל מהו R קוסינוס של מינוס 1?
R קוסינוס של מינוס נוכל להגיע תוך
טיול של T שווה לפאי יחידות.
על כן, אם הכנסנו X שווה למינוס 1 מה
שאנחנו נקבל הפעם זה את
הגובה פאי
למעשה הגרף של הפונקציה R קוסינוס
יראה דומה לציור שעכשיו אני ציירתי.
בואו נחשוב לרגע על הקשר בין שלושת הגרפים האלו.
הציור האדמדם היה
הציור של הפונקציה סינוס בגדול.
הציור הירקרק,
סימטרי שלו ביחס לאלכסון הראשי הוא הציור של R סינוס.
והציור הסגלגל הוא הגרף של הפונקציה R קוסינוס.
בואו נחשוב לרגע האם אנחנו יכולים לזהות סימטריה כלשהי או
קשר גאומטרי בין הגרף של הפונקציה R סינוס לגרף של הפונקציה R קוסינוס.
בואו נחשוב לרגע, הציור הזה מזמין את
החשיבה הבאה, אני יכול לשחזר את הגרף
של הפונקציה R קוסינוס, גאומטרית על כל פנים
בצורה כזו: נקח את הגרף של הפונקציה R סינוס
ונשרטט את הציור הסימטרי
ביחס
לציר האופקי.
הציור הירקרק הופך להיות הציור שכרגע קיווקותי.
אני מקווה שהצופה ישתכנע שאם הייתי מרים את הציור
המקווקו הייתי מקבל את הציור של הפונקציה R קוסינוס.
אז הגאומטריה מזמינה
את הקשר הבא:
ש-R קוסינוס של מספר בין מינוס 1 ל-1, ניתן
לחישוב בצורה כזו: נחשב קודם כל את הערך
של הפונקציה R סינוס,
מה המשמעות של היפוך הגרף?
זה לעבוד במקום הפונקציה, לעבוד עם מינוס הפונקציה.
לכן אנו עובדים עם הפונקציה מינוס R סינוס.
אבל עלינו להרים את הציור המקווקו על מנת למצות
או להגיע לציור של הגרף של הפונקציה R קוסינוס בכמה יחידות פאי חלקי 2.
במילים אחרות ה-R קוסינוס של מספר, הציור על
כל פנים, מזמין אותנו לחשוב שהוא שווה לפאי חלקי
שתיים יחידות מינוס R סינוס של אותו מספר.
אנחנו נשאיר
לתרגיל את ההנמקה מדוע זה נכון.
בואו נפרד ברגע זה מהפונקציות הטריגונומטריות
ומהפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות וניתן
את הבמה לכניסתו של העולם הקסום בפרק הבא של
המספרים המורכבים.
Explore nosso catálogo
Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.
O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.
© 2018 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.
