אבל אליהם יתווספו אלה החדשים שנולדו.
כמה כאלה יהיו?
האם כל Fn הזוגות שהיו בחודש ה-N יילדו?
אכן התשובה היא לא, ראינו את זה בדוגמאות האלה,
כי תמיד יש זוגות בני יומם שעדיין לא יכולים להתרבות.
כמה יהיו בשלב ה-N כאלה שלפחות
בני חודש כך שהם יכולים להתרבות?
התשובה היא שכל אלה שלפחות בני חודש בשלב ה-N היו כבר בשלב ה-N פחות אחד,
כך ש- Fn פחות אחד מספר
זוגות הארנבים בחודש ה-N פחות אחד,
הם עדיין כיוון שהם לא מתים הם כולם ולכן עדיין קיימים גם בחודש מספר N,
והם אלו שיכולים אז להתרבות ולכן הם אלה שתורמים
לתוספת בין החודש ה-N לחודש ה-N ועוד אחד.
מה שקיבלנו כאן היא נוסחה רקורסיבית
לתיאור סדרת פיבונאצ'י.
שימו לב להבדל הגדול בין הנוסחה הרקורסיבית הזאת
לנוסחאות הרקורסיביות שהכרנו בהקשרים של סדרות חשבוניות והנדסיות.
בשתי הדוגמאות ההן איבר היה נקבע לפי האיבר שקדם לו.
במקרה זה, איבר נקבע לפי שני איברים, האיברים שקדמו לו.
אם כן תזכרו גם שנוסחה
רקורסיבית כזאת עדיין לא קובעת באופן יחיד סדרה.
בהקשר של סדרות החשבוניות וההנדסיות היינו צריכים לציין
במפורש גם מה הוא האיבר הראשון בסדרה.
פה מכיוון שכל איבר בסדרה נקבע לפי שני איברים שקודמים לו,
כדי שהסדרה תהייה מוגדרת היטב עלינו לציין לא רק מה הוא
האיבר הראשון, אלא גם מה הוא האיבר השני,
ואז באמצעות הנוסחה הרקורסיבית נוכל למצוא את האיבר השלישי,
וכן הלאה, הרביעי, החמישי ואת כל איברי הסדרה.
במקרה שלפנינו שני האיברים הראשונים הם 1 ולכן,
סדרת פיבונאצ'י מוגדרת באמצעות
הנוסחה הרקורסיבית הזאת שקושרת בין איבר לבין
שני האיברים שקדמו לו ומציינת במפורש את שני האיברים הראשונים בסדרה.
כעת נוכל, מבלי לצייר עיגולים מלאים וריקים להמשיך ולמצוא את איברי הסדרה.
אז האיבר השלישי בסדרה,
אם לא ציינתי זאת, השתמשתי פה באות F לציון איברי הסדרה...
האות הראשונה בשמו של פיבונאצ׳י.
האיבר השלישי בסדרה במקרה זה שזה סכום האיבר הראשון ועוד האיבר השני אלה 1 ו-1,
אלה מההתחלה של הסדרה שלנו ולכן הוא באמת שווה ל-2 כפי שראינו
האיבר הרביעי שווה לסכום שני האיברים שקודמים לו.
האיבר החמישי, 5 שווה לסכום שני האיברים שקודמים לו.
8 זה 3 ועוד 5 אם כן ברגע שהבנו את המבנה האיבר הבא
שצריך להיות שווה לסכום שני האיברים שקודמים הוא 13
האיבר הבא יהיה 8 ועוד 13,
21 וכן הלאה מהו האיבר ה-100?
בסדרת פיבונאצ׳י
הוא שווה לסכום האיבר ה-99 והאיבר ה-98 וכדי
למצוא את אלה צריך למצוא באופן רקרוסיבי לחזור אחורה עד לאיברים הראשונים הנתונים.
נתקלנו בסיטואציה הזאת גם בסדרות הקודמות ובכל המקרים האלה
מה שעשינו היה לעבור מהיצוג הרקורסיבי ליצוג מפורש,
לנוסחה מפורשת שתאמר לנו כפונקציה של N מהו ערכו של האיבר ה-N בסדרה.
זאת אומרת מטרתנו היא לקבל ביטוי מפורש ל-FN כפונקציה של N שאז נציב N
שווה 100 ונמצא מהו האיבר ה-100 בסדרת פיבונאצ׳.
אלא שאם נתחיל קצת לשחק עם איברים הסדרה נגלה שמה שהיה די קל,
מאוד שקוף, במקרה של סדרות חשבוניות והנדסיות נראה פה הרבה יותר מסובך.
לא ברור ואני מציע לכולכם לנסות קצת ולשחק עם זה לא ברור,
מה יהיה ביטוי לאיבר הכללי בסדרה.
בואו רגע נסכל שוב על האיברים הראשונים בסדרה.
הסדרה מתחילה מ-1.
1, 2, 3, 5, 8 13, 21, 34.
שימו לב תמיד כל איבר אני מסתכל על השניים שקודמים ואני מסכם אותם,
55, 89 ו-144 אני אעצור כאן.
1 הדברים שאנחנו רואים זה
שהסדרה גדלה כמובן כל איבר גדול מקודמו.
אבל גם שיעור הגידול הולך וגדל.
מבחינה מסוימת זה מזכיר לנו קצת את הסדרה ההנדסית.
ואתם יכולים לתהות האם באמת
יש מנה קבועה בין שני איברים עוקבים.
תבדקו, פשוט תסתכלו על המנה בין איברים עוקבים.
תראו שהמנה אינה קבועה.
אבל בגלל הדמיון לסדרה הנדסית,
אני רוצה רגע לתהות קצת יותר לעומק בשאלה האם ייתכן?
שהאיבר ה-N של סדרה כדוגמת סדרה
פיבונאצ׳י יהיה שווה כמו במקרה של סדרה
הנדסית לביטוי מהצורה A כפול Q בחזקת N פחות 1.
לו זה היה נכון.
כן, היינו צריכים להציב את הביטוי
הזה בנוסחת הרקורסיה והיינו
רואים שאכן מקבלים שיוויון בשני אגפים.
בואו רגע נבדוק את זה.
אם זה הביטוי הכללי לאיבר ה-N אז כמובן שהאיבר ה-N
ועוד 1 שווה האיבר ה-N פחות 1 שווה ל-A כפול Q
בחזקת N שווה ל-AQ בחזקת N פחות
2 וכדי שהביטוים
המפורשים האלה יקיימו את נוסחת הרקורסיה הרי שצריך
להתקיים ש-AQ בחזקת N יהיה שווה ל-Q,
A בחזקת N פחות 1 ועוד A בחזקת QN פחות
2 מה שאני עושה פה זו טכניקה שמשתמשים בה לא מעט
במתמטיקה לנסות לנחש מבנה של פתרון ולראות האם הוא אכן
קונסיסטנטי קיים פתרון מהצורה הזאת.
שימו לב שבמשוואה הזאת בהנחה ש-A שונה מאפס הרי שהוא
מתבטל ובאותו אופן בהנחה
ש-Q שונה מאפס אז גם אפשר לצמצם Q בחזקת
N פחות 2 ולהישאר עם המשוואה הבאה Q בריבוע
שווה ל-Q ועוד 1 זו משוואה
ריבועית שאתם כמובן יודעים לפתור
ואם אכן נפתור אותה נגלה שיש לה שני פתרונות