בשיעור היום נעסוק בשאלה מה ניתן ללמוד מגרף של פונקציה. כפי שהערנו, הדרך הנוחה ביותר לייצג פונקציה בדרך כלל, ודאי כשאין נוסחה סגורה שמייצגת אותה, היא על ידי גרף, תיאור חזותי. ואנחנו רוצים להיכנס לתיאור החזותי הזה לפרטי פרטיו ולנסות לדון בכל אותם דברים, לא בכולם, בחלק גדול מן הדברים, שאפשר להסיק מן התיאור החזותי. לפניכם תיאור של גרף שעסקנו בו המתאר את הטמפרטורה בירושלים כפונקציה של הזמן בשבוע נתון בחודש אוקטובר 2013. והנה גרף אחר של פונקציה שנתונה בצורה אנליטית על ידי הנוסחה 8 פעמים סינוס x חלקי 1 ועוד x בריבוע. אני יכול להיכנס לתוכנה ששרטטה את הגרף הזה ולהזיז את הנקודה הכחולה. ובכן, מהם הדברים שמעניינים אותנו כשאנחנו מתבוננים בגרף? עמדו כבר על תחום, טווח ותמונה. דבר ראשון אנחנו רוצים לדעת עבור איזה ערכים הפונקציה מוגדרת, ומהי תמונתה, מהי קבוצת הערכים שהיא מקבלת. בדוגמה שלפנינו, אנחנו יכולים להשתכנע שלפחות בתחום שמופיע בתמונה, בין מינוס 9 ל-9 בערך היא מוגדרת בשביל כל ה-x. והטווח שלה שם, סליחה, התמונה שלה שם, היא כל המספרים בין מינוס 3.5 אולי ופלוס 3.5, כל אותם ערכים של y שהנקודה הכחולה מקבלת כאשר היא נעה על פני הגרף. הדבר הבא שאנחנו יכולים לראות בקלות מן הגרף הוא מתי הפונקציה היא חיובית או שלילית. למשל, בנקודה הנתונה כאשר x הוא 1.7 הפונקציה חיובית. לעומת זאת, אם אנחנו נטייל ונעבור את הערך פאי, למשל בנקודה 3.6 הערך הוא שלילי. בקיצור, כל עוד הגרף מעל ציר x הפונקציה חיובית. כאשר היא מתחת לציר x היא שלילית. אנחנו יכולים לנסות לפתור בצורה גרפית את המשוואה f של x שווה 2, או במקום 2 אתם יכולים להציב כל ערך אחר. בדרך הבא אנחנו פשוט צריכים להסתכל מתי הגרף של הפונקציה חותך את הישר y שווה 2. שימו לב, שהגרף של הפונקציה מתאר את התלות בין y ו-x הנתונה על ידי y שווה fx, אם אנחנו רוצים ש-f של x יהיה שווה 2, אנחנו רוצים שבו-זמנית y יהיה גם שווה ל-f של x וגם ל-2, ולכן אנחנו צריכים להתבונן בחיתוך של הגרף עם הציר האופקי y שווה 2. זה קורה בנקודה כאן, בערך בנקודה 1.7. ואחר כך זה קורה פעם שנייה, או קודם לכן יותר נכון, זה קורה פעם שנייה כאן. אני לא יכול להביא את הנקודה בדיוק אל החיתוך, אבל אתם יכולים לדמיין. אנחנו יכולים לשאול היכן יש ל-f של x מקסימום או מינימום? זו שאלה שיש לה הרבה פעמים חשיבות פיזיקלית. אנחנו מתארים איזושהי תופעה ואנחנו רוצים לדעת מתי הערך הנמדד גדול ביותר או קטן ביותר. קל לראות מן הגרף שהמקסימום מתקבל בערך ב-0.7 והמינימום בערך במינוס 0.7. הגרף מראה לנו גם מהם הערכים של הפונקציה באותן נקודות. שאלה נוספת היא מהי מגמת הפונקציה? האם היא עולה או יורדת? אנחנו אומרים שפונקציה עולה בתחום מסוים של ההגדרה שלה, בואו נאמר בקטע מסוים, אם באותו קטע ככל ש-x גדל גם הפונקציה גדלה. ככל שאנחנו מתקדמים קדימה, אנחנו עולים במעלה ההר. למשל, בין מינוס 0.7 לפלוס 0.7, בקטע שבין המינימום למקסימום, הפונקציה עולה די מהר. אחר כך היא מתחילה לרדת, מגיעה לנקודת שפל מסוימת ועולה שוב. בואו נתבונן רגע באותה נקודת שפל. נקודת השפל הזאת אינה מינימום של הפונקציה. יש נקודה אחרת שראינו קודם שבה הפונקציה מקבלת ערך קטן יותר, אבל זהו מה שאנחנו קוראים מינימום מקומי. מהתבוננות בגרף אנחנו יכולים גם למצוא מקסימום או מינימום מקומיים. נקודה x נקראת מינימום מקומי אם יש סביבה מסוימת שלה, יש סביבה שאפשר לזוז בה ימינה או שמאלה, אולי מעט מאוד אבל כמות מסוימת, מרחק מסוים, שבסביבה הזאת הערך של הפונקציה הוא הנמוך ביותר. כן, בדוגמה שלפנינו אם אנחנו זזים קצת שמאלה, הפונקציה מטפסת, ואם אנחנו זזים ימינה מאותו שפל היא מטפסת, אומנם לא הרבה אבל מטפסת, ועל כן הנקודה הזאת היא מינימום מקומי. יש עוד דברים שניתן ללמוד על גרף של פונקציה מהתבוננות בה, עוד דברים בעלי אופי טכני. בואו נראה אותם בדוגמה של טמפרטורה. אולי נחזור מהר על הדברים הללו. כן, למזלנו באותו חודש, באוקטובר, הטמפרטורה היתה מעל האפס. הפונקציה היתה חיובית. אם אנחנו שואלים מתי הטמפרטורה היתה 20, אנחנו יכולים לקרוא את זה על ידי התבוננות בחיתוך בין הגרף של הטמפרטורה והישר y שווה 20. כן, במקרה שלנו אנחנו נתעניין בטמפרטורה 20, לא 2. את מגמת העלייה והירידה קל מאוד להסביר במונחים של השתנות הטמפרטורה ביום. בין שעות הבוקר עד שעות הצהריים בכל יום היא עולה. אחרי זה לקראת ערב היא יורדת. ומתישהו עם הנץ החמה ביום שלמחרת היא שוב מתחילה לעלות, וכן הלאה. המקסימום בגרף שלפנינו התקבל ביום חמישי ה-10.10 בצהריים. היו עוד הרבה מקסימומים, או כפי שקוראים להם מקסימה, מקומיים. בכל יום בצהריים התקבל מקסימום מקומי. למשל, ביום שני ה-14.10 בצהריים התקבל מקסימום מקומי שאני מצביע עליו כאן. קצת לפניו וקצת אחריו הטמפרטורה היתה יותר נמוכה, אבל זהו אינו המקסימום בכל אותו שבוע. עוד דבר שאפשר ללמוד מן הגרף הזה הוא על מחזוריות מסוימת. הגרף הזה הוא לא בדיוק מחזורי, אבל הוא קרוב להיות מחזורי. כולנו יודעים שהשתנות הטמפרטורה במשך שבוע נתון, אלא אם כן ישנן תופעות אקלימיות קיצוניות, היא פחות או יותר מחזורית וחוזרת על עצמה מדי 24 שעות. כל הדברים שדיברנו עליהם עד עכשיו ואשר רשומים על הלוח, אלו הם דברים בעלי אופי טכני. והאמת היא שבבית ספר תיכון עסקתם בסוג כזה של ניתוח פונקציות די הרבה. בדקתם מקסימום ומינימום, אולי בעזרת נגזרות. דיברתם על עלייה וירידה. ולא הבנתם בדיוק, אולי כן הבנתם, אבל לא תמיד מבינים בשביל מה זה טוב. בואו ניכנס לרגע לנעליו של איש מדעי הטבע שרוצה להפיק קצת יותר מהתבוננות בגרף. ניקח את הדוגמא שמשורטטת כאן בשקף שלפניכם בדוגמא הזאת באותו ציור, באותה שקופית צוירו שני גרפים. בשניהם המשתנה הבלתי תלוי הוא זמן שבמקרה זה רץ על פני שנה ומתואר על ידי חודשים ינואר, פברואר, מרץ, אפריל, מאי, יוני, יולי אוגוסט, ספטמבר, אוקטובר, נובמבר ודצמבר. הגרף הראשון, הגרף הצהוב מתאר לא בדיוק על ידי גרף אלא על ידי דיאגרמת עמודות את הטמפרטורה. אני אגלה לכם סוד, מדובר בלונדון הוא מתאר את השתנות הטמפרטורה הממוצעת בלונדון כתלות בזמן, כתלות בחודשי השנה הטמפרטורה הממוצעת בינואר היא כ-5 מעלות הטמפרטורה הממוצעת באוגוסט היא כ-18 מעלות הגרף השני שמשורטט על פניו הוא הגרף הכחול והוא מתאר באותו מקום בלונדון את הקרינה הממוצעת, קרינת השמש הממוצעת שנמדדת ביחידות של קרינה, נדמה לי שזה וואט למטר מרובע, והגרף הזה הסקאלה שמתאימה לו רשומה מצד ימין, בניגוד לסקאלה של הטמפרטורה שרשומה מצד שמאל, שוב מראה כצפוי שקרינת השמש נמוכה בחורף בינואר, פברואר. עולה באביב מגיעה לאיזשהו שיא בחודשי הקיץ, ויורדת שוב בסתיו לקראת דצמבר. עד כאן הסתכלנו בגרפים האלה מבחינה טכנית, ראינו מגמה של עלייה וירידה מקסימום ומינימום. אבל מהשוואה בין שני הגרפים אפשר ללמוד דברים יותר עדינים. הדבר הראשון שאני רוצה להפנות את תשומת לבכם אליו הוא שההשתנות בטמפרטורה מפגרת אחרי ההשתנות בקרינה. אם תשימו לב להשתנות בין ינואר ופברואר, הקרינה בפברואר כבר התחילה לעלות היא כבר משמעותית יותר גדולה מהקרינה בינואר אבל הטמפרטורה נשארת אותו הדבר. רק במרץ הטמפרטורה מתחילה לעלות. אותו דבר במגמה הפוכה קורה בחודשי הקיץ. הקרינה באוגוסט כבר משמעותית יותר נמוכה מאשר הקרינה ביולי אבל הטמפרטורה עדיין אותו הדבר הטמפרטורה הממוצעת עומדת על כ-18 מעלות ורק בספטמבר, עם ירידה נוספת בקרינה, הטמפרטורה מתחילה לרדת. תופעה מעניינת שאפשר ללמוד מהתבוננות בגרפים. תופעה נוספת מלמדת אותנו שההשתנות בקרינה הרבה יותר חדה מאשר ההשתנות בטמפרטורה. צריך להיות זהיר באמירה הזאת. אני לא יכול להשוות תפוחים עם בננות. הטמפרטורה והקרינה מתוארים בסקאלות שונות על ידי גדלים שונים. למה אני מתכוון כשאני אומר את זה? מה שאני מתכוון הוא שאם הייתי מבצע את אותו ניסוי באותו קו רוחב במקום אחר. לא בלונדון אלא בלב סיביר, במקום שהוא מאוד מרוחק מן הים. אבל באותו קו רוחב, סביר להניח שהייתי מקבל בדיוק אותו גרף כחול, בדיוק אותו גרף המתאר את הקרינה. וזאת מפני שקרינת השמש בקו רוחב נתון בממוצע היא אותו דבר. קרינת השמש תלויה רק בזוית שבה קרני השמש מגיעות אל פני כדור הארץ. לעומת זאת האקלים בלב סיביר הוא הרבה יותר יבשתי. והתנודות בטמפרטורות הרבה יותר קיצוניות. בינואר הטמפרטורה יורדת למינוס עשר או מינוס עשרים מעלות וביולי ואוגוסט היא עולה הרבה מעל עשרים קרוב לשלושים מעלות. הקייצים חמים, החורפים מאוד קרים. ולכן אם אנחנו משווים את זוג הגרפים הזה בלונדון וזוג הגרפים הזה בסיביר, באותו קו רוחב. נגיע למסקנה שההשתנות בטמפרטורה בלונדון יחסית הרבה יותר מתונה. שוב תובנה פיזיקלית, שאפשר להסיק מהתבוננות בגרפים. לתובנה הפיזיקלית הזאת יש כמובן הסבר שכל מי שלומד מדעי האטמוספירה מכיר אותו, והוא האפקט הממזג שיש לים. אם אנחנו הולכים לחוף הים בקיץ, אנחנו יודעים שהחול לוהט בצהריים וקריר ונעים בלילה. אבל טמפרטורת המים נשארת קבועה. מים מתקררים ומתחממים לאט מאוד בגלל האפשרות להתערבל ולזרום פני השטח, פני החול מתחממים ומתקררים מהר מאוד. אם אנחנו נמצאים קרוב לגוף מים גדול כדוגמת האוקיינוס האטלנטי, יש לעובדה שהטמפרטורה של המים באוקיינוס משתנה לאט, אפקט ממזג, האויר מעליהם מתמזג בעזרת המים הרוח, הבריזה, מסיעה את אותו אויר ללונדון והטמפרטורה לא משתנה בצורה קיצונית. לעומת זאת, בלב סיביר הרחק מכל ים האפקט הזה לא יהיה מורגש. הבאתי את הדוגמא הזו לא כדי ללמד אתכם מדעי האטמוספרה ולא כדי ללמד אתכם פיזיקה, אלא כדי להצביע על מה ניתן ללמוד מהתבוננות בגרפים. גרפים מאפשרים לנו לתאר בצורה ויזואלית גם פעולות על פונקציות. אחת הפעולות הפשוטות ביותר שאפשר לעשות על פונקציות הוא לחבר שתי פונקציות זו לזו. כלומר, אם אנחנו נותנים פונקציה F של X ומישהו אחר נותן לנו G של X, אנחנו יכולים מטעמים שונים להתבקש להסתכל בפונקציה החדשה X שלכל מחברת את שני הערכים. בואו נתבונן בדוגמא שבה הפונקציה הראשונה X היא הפונקציה הלינארית והפונקציה השנייה X ההיפרבולה אחד חלקי. הגרף של הפונקציה Y=X מתואר לפניכם בקו כחול חזק. קו ישר בזוית 45 מעלות. זהו הגרף של הפונקציה הראשונה. הגרף של הפונקציה Y=1/X מתואר על ידי קו תכלת. כמובן, הפונקציה הזאת לא מוגדרת באפס, האפס אינו בתחום הגדרתה, אבל פרט לאפס היא מוגדרת בכל מקום והגרף נתון על ידי אותה היפרבולה מפורסמת. מהו הסכום של שני הערכים? למשל באחת שתי הפונקציות מקבלות את הערך אחד וסכומם הוא הנקודה שתיים. בשתיים הפונקציה X מקבלת שתיים אחד חלקי X מקבל את חצי, הסכום הוא שתיים וחצי. הגרף האדום מתאר את החיבור של הגרף הכחול עם הגרף תכלת. בואו נראה את זה שוב בתוכנה שלנו. אני אסיע, X אזיז את הערכים של ובהתאמה אקבל שלושה ערכים: נקודה כחולה מתארת את הערך של הפונקציה הראשונה, נקודה תכלת את הערך של הפונקציה השניה וסכומם נותן לי את הנקודה האדומה. שימו לב מה קורה. ככל שאני זז קדימה ואחורה ה-X הוא כמובן אותו X והנקודה האדומה היא תמיד הסכום של הנקודה הכחולה והנקודה התכלת. כאשר ה X גדל מאוד X הפונקציה אחד חלקי שואפת לאפס, הערכים שלה קטנים מאוד ועל כן פונקציית הסכום הולכת ומתקרבת, נהיית אסימפטוטית, כפי שהזכרנו קודם בשיעור הקודם Y=X לפונקציה. הרבה פעמים התהליך הוא הפוך, הרבה פעמים נתונה פונקציה כמו הפונקציה האדומה ואתם מתבקשים לפרק אותה לסכום של שתי פונקציות. כאן צריך לתת לדמיון לפעול, אין דרך אחת לעשות את זה. דבר אחר שאנחנו יכולים ללמוד עליו בצורה גרפית... הוא שינוי משתנה. כאן דיברנו על סכום פונקציות. עכשיו אני רוצה לדבר על שינוי משתנה. בואו נסתכל על פונקציה f של x, אבל תרשו לי לחשוב על x כעל ציר זמן, כעל משתנה שמתאר זמן. ואם אני מכייל את השעון שלי אחרת, אני יכול להסתכל על פונקציה חדשה g של x שנתונה על ידי f של x ועוד 5 למשל. מה עושה הפונקציה g של x? בזמן אפס היא נותנת לי את f בזמן אפס ועוד 5, כלומר, 5. בזמן 1 היא נותנת לי את f בזמן 6. בזמן 2 היא נותנת לי את f בזמן 7. וכן הלאה. כלומר, הזזנו את משתנה הזמן 5 יחידות זמן קדימה, ועל ידי כך בעצם הזזנו את הגרף של f חמש יחידות זמן אחורה, מפני שכאשר x שווה אפס אנחנו נראה את אותה תמונה, או ליד x שווה אפס אנחנו נראה את אותה תמונה ש-f מראה לנו ליד 5. בואו נראה את זה בגרף שלפנינו, אותו גרף מפורסם של סינוס x חלקי 1 ועוד x בריבוע. או יותר נכון במקרה שלנו זה 8 סינוס x חלקי 1 ועוד x בריבוע. ואני עכשיו מתחיל להזיז את ציר ה-x. הגרף זז. כאשר ציר ה-x זז קדימה, אני מוסיף ל-x, אז הגרף זז אחורה. כאשר אני מחסיר מן ה-x, הגרף זז קדימה. דבר אחר שאנחנו יכולים לעשות הוא לעשות שינוי משתנה בציר ה-y. אנחנו יכולים להזיז את ה-y קדימה ואחורה. כמובן שבמקרה כזה הגרף יעלה ויירד. אותה תמונה תעלה ותרד במקום לזוז שמאלה וימינה. שינוי משתנה נוסף שאנחנו יכולים לעשות הוא להסתכל בפונקציה אחרת, בואו נקרא לה h של x, שנתונה למשל על ידי 3 פעמים f של x. במקרה זה שינוי המשתנה איננו ב-x, אלא ב-y. כלומר, הוא לא בתחום ההגדרה, אלא בטווח. ומה שאנחנו עושים, אנחנו לוקחים את התוצאה שהיתה לנו, את ה-y שהיה לנו, ומכפילים אותו פי 3, מנפחים פי 3. גם את השינוי הזה של המשתנה אפשר לראות בצורה גרפית די יפה. אם אנחנו מכפילים בגודל קטן מ-1, אנחנו מנמיכים את הפונקציה. אם אנחנו מכפילים בגודל גדול מ-1, אנחנו מגדלים את הפונקציה. הצורה הכללית שלה, מגמת העלייה והירידה, נשמרת, אבל המשתנה מתואר בסקאלה שונה. תופעה נוספת שאפשר לראות בגרפים בצורה נאה היא תלות בפרמטר. בואו נתבונן במשפחה של הפונקציות 4 פעמים סינוס ax חלקי 1 ועוד x בריבוע, כאשר a הינו פרמטר. שימו לב שלכל ערך נתון של a מתקבלת פונקציה של x. אם a הוא 1 זו הפונקציה פחות או יותר שטענו בה מקודם עד כדי הגורם הזה של 4. זו הפונקציה סינוס x חלקי 1 ועוד x בריבוע. אם a שווה 3, מדובר בסינוס של 3x חלקי אחד ועוד x בריבוע. אנחנו יכולים לשנות את a בצורה רציפה ולקבל משפחה של פונקציות התלויות בפרמטר. בואו נראה מה הפרמטר עושה לפונקציה שלנו בדוגמה הזאת. שוב אני משתמש באותה תוכנה נחמדה שנקראת Grapes. ואני מסתכל בפונקציה 4 סינוס ax חלקי 1 ועוד x בריבוע. הגרף שלה מתואר בכחול. תתעלמו לרגע מן הגרף האדום. אנחנו נחזור אליו עוד מעט. כאשר a שווה 1 הגרף הוא הגרף המתואר בכחול. אם אני מגדיל את ה-a, אנחנו מתחילים לקבל יותר ויותר תנודות. עכשיו a הוא 3. עכשיו a הוא 4. עכשיו a הוא 5, 6, 7, 8, 9. שימו לב שאנחנו מקבלים יותר ויותר תנודות הנובעות מן הסינוס, אבל הגרף מתסדר מתחת למעטפת אדומה, והמעטפת הזאת אינה אלא הגרף של הפונקציה y שווה 4 חלקי 1 ועוד x בריבוע. אם נסתכל על הפונקציה y שווה 4 חלקי 1 ועוד x בריבוע, הערך שהסינוס מקבל הוא לכל היותר 1, ולכן הערך של הפונקציה הזאת קטן או שווה מ-4 חלקי 1 ועוד x בריבוע. וכל אימת שהסינוס יקבל את הערך 1, הגרף הזה, הגרף הכחול, יפגוש את הגרף של הפונקציה הזאת, הגרף האדום. המפגשים הללו הולכים ונהיים יותר תכופים ככל שאנחנו מגדילים את a, או בלשון הפיזיקאים מגדילים את התדירות, מקטינים את אורך הגל. יש לנו כאן דוגמה נהדרת לתלות בפרמטר. אם הייתם רוצים לראות מה קורה כשאנחנו מקטינים את הפרמטר, באפס כמובן הפונקציה נעלמת. יכולתי להקטין אותו בפחות ולקבל פונקציה עוד יותר שטוחה. אנחנו מגיעים לסוף הפרק הזה, הפרק העוסק במה ניתן ללמוד מגרף של פונקציה. אני רוצה לדבר עכשיו על שאיפה לגבול כאשר x שואף לאינסוף. מדובר כאן בפונקציות שתחום ההגדרה שלהן כולל את כל המספרים הממשיים או לפחות את כל המספרים הממשיים הגדולים ממספר נתון. ואנחנו צריכים לחשוב על פונקציות כאלה שוב כעל פונקציות שתלויות בזמן ועל x כעל משתנה המתאר זמן. ומבחינה פיזיקלית לשאול את השאלה האם לפונקציה הזאת יש גבול? האם היא שואפת למשהו? זה כמו לשאול את השאלה האם המערכת שלנו מתייצבת בסופו של דבר סביב איזשהו שיווי משקל? האם הגודל הנמדד הולך ומתקרב לאיזשהו גודל שנוהגים לקרוא לו בפיזיקה גודל של שיווי משקל לאורך זמן? אבל מהי בדיוק אותה השאיפה לאינסוף? איך אנחנו מבטאים בצורה מתמטית מדויקת את העובדה שהפונקציה הולכת ומתקרבת לגבול מסוים? בואו נתבונן בגרף שלפנינו. הגרף שלפנינו מבצע עליות וירידות, תתעלמו לרגע מהרצועה הירוקה, ומתקרב לערך 4. הפונקציה שבחרנו כאן לחקור נתונה על ידי ביטוי אנליטי: 4 סינוס של 6x ועוד x בריבוע. 4 פעמים כל הביטוי הזה: סינוס 6x ועוד x בריבוע בסוגריים חלקי 1 ועוד x בריבוע. הסינוס אחראי כמובן לתנודות בגרף של הפונקציה. הערך הגדול ביותר שהוא יכול לקבל הוא 1, ועל כן המונה יהיה לכל היותר 4 פעמים המכנה, והפונקציה הזאת תהיה כל הזמן מתחת לערך 4. ואת זה רואים יפה מאוד בגרף. הערך הקטן ביותר שסינוס יכול לקבל הוא מינוס 1, ולכן המונה יהיה לכל הפחות 4 פעמים x בריבוע פחות 1, והמכנה הוא x בריבוע ועוד 1. אבל כאשר x מאוד גדול, x בריבוע פחות אחד מאוד קרוב ל-x בריבוע ועוד אחד. פלוס מינוס 1 זניחים ביחס ל-x בריבוע. ולכן הערך של הפונקציה יהיה קרוב מאוד ל-4. פרט ל-4 המונה והמכנה יהיו מאוד קרובים אחד לשני, וזה מה שאנחנו רואים. בואו ניזכר בתיאור שנתתי למושג השאיפה לגבול כאשר דיברתי על משפט המספרים הראשוניים ודיברתי על מושג iii. דיברתי שם על טוען ומאתגר. אם אני טוען שהגבול של הפונקציה הזאת כאשר x שואף לאינסוף הוא 4. מבחינה מתמטית אנחנו מציינים את זה עם חץ ו-4, ולמטה מזכירים לנו ש-x שואף לאינסוף. כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה עצמה שואפת לערך 4. אם אני טוען את זה, אני צריך להוכיח, לשכנע את לצופה שככל שאני לא ארצה, ככל שאני אקבע לעצמי מידת דיוק הולכת וגדלה, הפונקציה בסופו של דבר עבור אקסים מספיק גדולים תמצא בטווח בין 4 פחות אותה מידת דיוק ו-4 ועוד אותה מידת דיוק. מידת הדיוק הזאת מתוארת בשרטוט שלפניכם בעזרת רצועה ירוקה סביב 4. למשל, אם אנחנו מאפשרים מידת דיוק אחד, הפונקציה אמורה להיות בין 4 פחות 1 ו-4 ועוד 1, כלומר, בין 3 ו-5. ואכן, בהתחלה היא חורגת מן הרצועה הזאת, אבל בסופו של דבר אחרי הערך הזה, אחרי 2 ומשהו, היא נכנסת לרצועה ולא יוצאת ממנה. אני טוען, המאתגר מאתגר אותי במידת דיוק, כלומר בערך 1, ואני צריך לשכנע אותו שהטענה שלי נכונה ושהפונקציה נכנסה לרצועה. האם בכך תמה ההוכחה? לא. כל מה שהוכחתי הוא שהפונקציה משתוללת, מתנועעת, בתוך אותה הרצועה. המאתגר יאתגר אותי עכשיו עם ערך יותר נמוך של מידת דיוק, למשל 0.3, ועכשיו הרצועה נהיית צרה יותר, בין 3.7 ו-4.3, ועלי להראות באמצעים כלשהם, או אני מראה את זה בצורה ויזואלית, זה כמובן לא הוכחה מלאה, אבל זה די משכנע, שהגרף של הפונקציה נכנס לרצועה הצרה יותר. אומנם יותר מאוחר, כאן וכאן, הוא בולט. קודם לכן הוא היה ברצועה. עכשיו הוא עדיין מחוץ לה. אבל הוא נכנס ומתנועע בה. ואם אני אקטין את הרצועה עוד יותר ואקבע מידת דיוק של 0.1, אני אצטרך להראות שהחל מנקודה מסוימת ואילך הגרף של הפונקציה בין 3.9 ו-4.1, וכן הלאה. התהליך הזה של טוען ומאתגר הוא תהליך אינסופי, ובלימודיכם באוניברסיטה אתם תלמדו איך לבטא אותו בצורה מתמטית מדויקת בעזרת סמלים וכתיבה מדויקת. מה שרציתי להביא כאן הוא רק את הרעיון של השאיפה לגבול ואיך זה נראה בגרף. לסיום, מה למדנו? ראינו שגרף הוא אמצעי יעיל ביותר ללמוד על תכונות של פונקציה, אבל הערנו ושמנו לב שחלק מן התכונות האלה הן תכונות טכניות שאפשר לראות אותן בכל גרף שהוא, וחלק מן התכונות האלה, כמו בדוגמה של הטמפרטורה והקרינה בלונדון, הן תכונות יותר עדינות שתלויות בדוגמה שלנו וצריך הרבה ניסיון והתבוננות עין די חדה על מנת לעמוד עליהן.
