Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
El plano real
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Do curso por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
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Na lição
Números y funciones
Conjuntos de números, el conjunto de los números reales, valor absoluto, subconjuntos de números, el plano real y distancias en el plano, funciones reales y su representación gráfica, la función inversa, comportamiento de una función.
Conheça os instrutores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Hola de nuevo! En este tema, vamos a estudiar el plano
real, un concepto muy sencillo pero de gran importancia en matemáticas.
El plano real nos permitirá representar puntos, sistemas de referencia, de la
misma manera como utilizamos sistemas de referencia en nuestra vida real.
Todos conocéis el Google Maps, o conocéis cartas de navegación o cartas de
aviación. pues todo ello no es más que un sistema
de referencia que Utilizamos para situar puntos.
Vamos pues a empezar este segundo tema con una descripción de los sistemas de
coordenadas que se utilizan en matemáticas.
Vamos a empezar por definir un sistema de coordenadas rectangulares.
Todos habréis visto representaciónes de la tierra mediante un mapamundi como el
que podéis ver en este dibujo. Básicamente, contiene una serie de líneas
horizontales, y una serie de líneas verticales que permiten situar cualquier
punto de la tierra. Un mapamundi no es más que la proyección
de la esfera terrestre mediante un plano que pasa tangencialmente por su
superficie. Estos sistemas de coordenadas se han
venido utilizando regularmente tanto la navegación aérea como la navegación
marítima, y últimamente son muy usuales en navegadores GPS, etc.
Vamos a ver cómo se puede establecer un sistema de coordenadas.
Vamos a tomar el conjunto de los números reales, y los vamos a representar con una
recta infinita, tomando un punto inicial como el punto cero.
A la derecha, a intervalos regulares indicaremos los puntos uno, dos, tres, y
así sucesivamente, y a la izquierda indicaremos los puntos menos uno, menos
dos, menos tres, y menos cuatro. A continuación, vamos a añadir otra recta
vertical y que se corta con la recta interior en el punto cero.
De esta manera, tendremos dos rectas, de manera que hacia la derecha tendremos los
puntos uno, dos, tres, y cuatro, hacia la izquierda los puntos menos uno, menos
dos, menos tres, y menos cuatro, hacia arriba uno, dos, tres, cuatro, y así
sucesivamente, y hacia abajo menos uno, menos dos, menos tres, menos cuatro, y
así sucesivamente. Mediante estas dos rectas que se cortan
perpendicularmente podemos establecer un sistema de referencia.
Este sistema de referencia se llama "ejes de coordenadas".
El eje horizontal se llama "eje x" o "eje de abscisas".
El eje vertical se denomina "eje y" o "eje de ordenadas".
El punto donde se intersectan las dos rectas se llama "origen de coordenadas".
Estas dos rectas dividen el plano en cuatro regiones separadas.
La primera región se llama "primer cuadrante".
Siguiendo el sentido antihorario - es decir, contrario a las agujas del reloj,
tendremos el segundo cuadrante. A continuación, tenemos el tercer
cuadrante y finalmente tenemos el cuarto cuadrante.
¿Para qué sirve un sistema de coordenadas rectangulares como el que hemos
definido?. Pues básicamente para poder determinar la
posición de puntos. Veamos el siguiente ejemplo: aquí hemos
dibujado en azul un punto del plano. Si queremos indicar en dónde se halla
este punto, deberemos indicarle cuál es su posición respecto a ambos de ejes de
coordenadas. En este caso concreto, podemos observar
que este punto se halla a dos unidades del eje del axis, o eje de ordenadas, y
tres unidades del eje de abscisas, o eje de las equis.
Por tanto, indicaremos que este punto es el punto "dos, tres" indicando con el
primer número real su distancia al eje de ordenadas, y con el segundo número real
su distancia al eje de abscisas. A continuación, vamos a realizar un
simple ejercicio para recordar cómo se representan puntos en un sistema de
referencia. Tomamos por ejemplo el punto P sub-uno de
coordenadas "tres, uno". Entonces, representamos valor el tres
sobre el eje de abscisas y el valor uno sobre el eje de ordenadas.
Juntamos estos dos puntos y obtenemos la situación del punto P sub-uno.
A continuación, vamos a representar el punto P sub-dos.
En este caso representamos sobre el eje de abscisas el valor menos dos, y sobre
el eje de ordenadas el valor cuatro. De nuevo, juntamos estos dos puntos y
obtenemos la posición del punto P sub-dos.
Repitimos el mismo procedimiento con el punto P sub-tres.
Primero, representamos el valor menos uno sobre el eje de abscisas, y a
continuación el valor menos dos sobre el eje de ordenadas.
En su intersección tendremos la posición del punto P sub-tres.
Seguimos con el punto P sub-cuatro que tiene por coordenadas uno punto cinco y
menos dos punto cinco. Representamos sobre el eje de abscisas el
punto uno punto cinco, y sobre el eje de ordenadas el punto menos dos punto cinco.
Juntamos estos dos puntos y obtendremos la posición del punto P sub-cuatro.
Finalmente, el punto P sub-cinco tiene por coordenadas cero y tres.
El valor cero del eje de abscisas se corresponde con este punto, y el valor
tres del eje de ordenadas se corresponde con este punto.
En este caso pues, éste será el punto P sub-cinco, y ésta es la forma de
representar puntos en un sistema de coordenadas.
Observemos que el punto P sub-uno está en el primer cuadrante, el punto P sub-dos
está en el segundo cuadrante, el punto P sub-tres está en el tercer cuadrante, y
el punto P sub-cuatro está en el cuarto cuadrante.
Situado un punto en el plano, por ejemplo el punto P "dos, tres", cada punto viene
determinado por dos números reales. En este caso, el número dos y el número
tres. El primer valor, el número dos, se llama
la abscisa del punto, y el segundo valor, en este caso el valor tres, se llama la
"ordenada del punto". Ambos valores se denominan las"
coordenadas del punto". A continuación vamos a establecer una
correspondencia entre puntos del plano y pares de números reales.
Definimos el conjunto "R súper dos", también definido como "R por R" como el
conjunto de pares de números reales. Es decir, estará formado por todos
aquellos conjuntos; por todo aquel conjunto de pares de números reales.
Por ejemplo, el par "dos, tres"; no confundir con el número decimal "dos
punto tres" o por ejemplo, el par "menos raíz de dos, menos uno", o el par "pi,
menos cuatro". Cualquier par de números reales lo
podemos ver como un punto del plano. Por ejemplo, el par "dos, tres" lo
podemos ver como el punto de coordenadas "dos coma tres", y inversamente el punto
de coordenadas "dos coma tres" forma un par de números reales.
Así mismo, el par menos raíz de dos, menos uno lo podemos ver como el punto Q
del plano de coordenadas, menos raíz de dos, menos uno, y de la misma manera, el
par de números reales "pi, menos cuatro" lo podemos interpretar como el punto del
plano "pi, menos cuatro", y recíprocamente, dado el punto del plano R
de coordenadas "pi, menos cuatro", lo podemos ver como un par de números
reales. Por tanto podemos concluir que existe una
correspondencia entre puntos del plano y pares de números reales.
A cada punto del plano le corresponden dos coordenadas, que a su vez es un par
de números reales, y cada par de números reales lo podemos interpretar como las
coordenadas de un punto del plano. Algunos puntos del plano merecen una
especial atención. Son esos puntos que están situados sobre
los ejes de coordenadas. En este dibujo podemos haber unos
ejemplos. El primero de ellos está formado por
todos aquellos puntos que se encuentran sobre el eje de abscisas.
Por ejemplo, en este caso está señalado el punto que se halla a distancia dos del
origen de coordenadas. Este punto tiene por coordenadas "dos
coma cero". Otro punto que está en el eje de abscisas
es el punto que corresponde a la abscisa menos tres, y sus coordenadas se
corresponden con el par de números "menos tres, cero".
De manera parecida tenemos los puntos que se hallan sobre el eje de ordenadas.
Por ejemplo este punto que se halla en la ordenada "menos cuatro", y se corresponde
con el par de números reales "cero, menos cuatro".
Así mismo, el último punto que se halla sobre el eje de ordenadas es el punto de
ordenada uno, que se corresponde con el par de números reales "cero, uno".
Especial atención merece el punto que se halla a la vez sobre ambos ejes de
ordenadas. Este es el punto origen de ordenadas y
tiene por coordenadas el par de números reales "cero coma cero".
Por tanto, debemos recordar que cuando queremos situar un punto que se halla
sobre los eje de coordenadas, aunque corresponda a una sola abscisa o a una
sola ordenada, siempre está representado por un par de números reales.
Todos los puntos que se hayan sobre el eje de abscisas tienen un par de números
reales que se corresponden a un valor de abscisa, y cero de valor de ordenada.
Mientras que todos los puntos que se hallan sobre el eje de ordenadas tienen
un valor cero de abscisa y un valor distinto de cero de ordenada; excepto
como hemos indicado anteriormente, el origen, que ambas coordenadas son ceros.
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