[БЕЗ СЛОВ] Итак,
предположим, что у некоторого движения
окружности вовсе нет неподвижных точек, ни одной.
Тогда рассмотрим любую точку A.
Она куда-то перешла.
Обозначим это что-то куда-то через gA, вот gA.
Что я теперь делаю?
Независимо от того, где эта gA, я могу провести биссектрису этого угла.
Сравнить с рассмотрением в предыдущей теме,
где я просто отмечал точку в середине между двумя.
Эту биссектрису я называю l и теперь я записываю,
что g — композиция с Sl.
Так?
Вначале g, а потом Sl g перевела в gA каким-то образом,
а Sl вернула назад по построению просто gA в A, значит, сохраняет A.
Сохраняет точку A.
Отсюда можно сделать вывод, что мы находимся
в условиях леммы о гвоздях, поэтому либо это Id, либо это отражение.
Отсюда пишем: либо Sl * g = Id,
либо Sl * g = S какого-то там m.
m или r.
Давайте так и напишем m, какая разница?
Ну вот смотрите теперь, что мы имеем.
Первый случай невозможен.
Почему?
Случай 1.
Sl * g = Id.
Из этого следует очень быстро, что g — это и есть Sl.
Потому что я просто слева домножаю и то, и другое на Sl,
как уже очень много раз делал.
Домножаю слева левую и правую часть равенства.
Правая часть сразу даёт Sl, левая часть теперь уже практически сразу даёт g.
Мы уже привыкли к этому трюку.
Sl сокращается, потому что отражение взаимно обратно к себе самому,
и получается, что g = Sl.
Невозможно.
Почему невозможно?
Так как Sl имеет неподвижные точки,
неподвижные точки.
А по условию мы рассматриваем случай, когда у g неподвижных точек нет.
Значит, g не может совпадать с Sl, потому что иначе у него есть неподвижные точки.
А значит имеет место второй случай.
Отсюда обязательно случай 2.
Sl * g = Sm.
Ну и отсюда почти сразу домножаем на Sl
ещё раз обе части этого равенства.
Я уже быстрее стал это делать, чем раньше.
Мы скоро все научимся быстрому выполнению операций в группах.
Слева после вот такой вот расстановки скобок получается g,
справа после обращения к нашей таблице умножения
композиции получается R * 2∠.
И теорема полностью доказана, то есть опять при
доказательстве мы воспользовались одним фрагментом таблицы композиций,
который нам помог завершить доказательство, потому что в этом случае
при образовании без неподвижных точек обязана быть композиция двух отражений.
Но композиция двух отражений, как мы уже знаем, является поворотом,
следовательно она должна быть поворотом.
А значит теорема классификаций полностью доказана.
Любое движение окружностей является либо поворотом на некоторый угол, в том числе
и на нулевой, то есть Id, либо отражением относительно какой-то там прямой.
Других движений окружности нет.
В следующем сюжете мы завершим таблицу композиций
и обсудим вопрос так называемых конечных подгрупп.