[БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] Завершив классификацию, мы переходим к таблице умножения, или к композиции, как угодно называйте в этой группе. Теперь мы уже спокойно, кстати, используем теоретико-групповую терминологию, ну, потому что, совершенно ясно, наверное, каждому из вас, даже не надо здесь проверять, что множественное движение прямой образует группу, и множество движений окружности тоже образует группу, потому что с композициями тут все понятно. Ну кстати, чтобы строго говоря, для того чтобы это доказать, нам нужна матрица композиций, нам нужно показать, что композиции таких и таких будут такие, то есть внутри если мы берем два движения и делаем их композицию, то получается то же движение, сохраняющее этот объект. Хотя нет, это и так очевидно: если оба сохраняет, то и композиция сохраняет. Так что это понятно. Потом, обратный, конечно: если вы делаете какое-то движение, которое объект сохраняет, а потом возвращаете всё на место, понятно, что вы не могли этот объект куда-то еще сдвинуть, он тоже, так сказать, должен остаться на месте. Здесь определенная, маленькая, есть, такая я чуть-чуть обманываю, когда говорю, что это очевидно. Это на самом деле отдельное утверждение, но мне не хочется его доказывать, я оставлю его в качестве упражнения. Преобразование, обратное к преобразованию, сохраняющему расстояние, тоже является преобразованием, сохраняющим расстояние, и обратное к сохраняющему объект будет преобразованием, сохраняющим этот объект. Ну, вот, по крайней мере, среди движений. То есть, если точки не склеиваются, то это будет так. И наконец, тождественное преобразование служит нейтральным элементом этой группы, тоже ясно, что аксиома соответствующая выполнена. Итак, давайте нарисуем таблицу композиций в этой группе. Начнем с поворотов и закончим отражениями. Уже знаем содержание вот этой клетки — это поворот на двойной угол от m к l. Также очевидно здесь что? Если вы совершаете два поворота, это же поворот относительно одного и того же центра, у нас обруч, у нас поворот обруча — это всегда поворот относительно его воображаемого центра. Поэтому два поворота с одним центром — это просто поворот на суммарный угол, и все. Между прочим, повороты относительно разных центров — это весьма непростая задача, очень красивая, и мы ее будем решать. То есть, если мы рассмотрим уже движение плоскости и повороты относительно разных точек, там будет совсем все не так просто. А здесь все очевидно. Два поворота будут давать поворот на суммарный угол, и в частности мы видим, что здесь от порядка ничего не зависит, что поверни на φ, и потом на ψ, что поверни на ψ, а потом на φ будет поворот на суммарный угол. И иногда он будет равен 360 °. Ну, скажем, поворот на 100 ° и поворот на 260 ° друг друга дополняют до тождественного преобразования, то есть обратны друг другу в этой группе. И нам интересно, что живет здесь, и мы сейчас это поймем. Итак, чему же равна композиция Sₘ ∘ Rψ вот в этом вот порядке? А также композиция Sₗ ∘ Rφ вот в этом порядке? Ну, давайте посмотрим. Может, угадаем какую-нибудь неподвижную точку, и тогда все ясно станет. Потому что я уже даже не провожу соответствующие рассуждения, которые доказывают, что ни в том и ни в другом случае не может получиться тождественного преобразования. Это в точности так же, как было с прямой. И вообще, в любой группе, внимание, в любой группе, если есть элемент второго порядка, что это значит? Знаете, что такое элемент второго порядка? h ∘ h = e. То есть это элемент, который сам себе обратен. Ну e не считается элементом второго порядка, а считается элементом первого порядка, он уже равен e как бы. Элемент второго порядка — это отличный от нейтрального элемент, композиция которого с самим собой равна e. То из того, что h ∘ g = e ⇒ g = h. В любой группе, то есть смотрите, мы уже начинаем использовать какие-то факты, которые могут быть доказаны про любое множество элементов, удовлетворяющих групповым аксиомам. И у нас даже целая неделя будет про некоторое такое знакомство с абстрактными теоремами про группы и конкретными воплощениями в каких-то группах, даже не обязательно из геометрии взятых. То есть будет такой фундаментальный теоретико-игровой ликбез. Ну или не очень фундаментальный. Вот одно из утверждений про любую группу. Вот у вас есть элемент второго порядка, и есть его композиция с каким-то еще элементом e. Тогда, смотрите, тогда g должен быть элементом, который нейтрализует h. В принципе в теории групп доказывается, что такой элемент единственный, но давайте просто проверим это. Домножим, ибо после домножения на h вот это равенство превращается в такое: h ∘ h ∘ g = h ∘ e. Это по определению нейтрального элемента h равняется, а это после вот такой расстановки скобок дает e ∘ g = g. Вот и все, вот доказательство полное. В любой группе верен этот факт. Поэтому, в частности если бы в какой-то из этих двух (да, в другую сторону также доказывается абсолютно, просто справа надо домножать на h) в какой-то из этих двух выражений оказалось равным тождественному преобразованию Id, то тогда Rᵠ будет равен Sₘ, потому что Sₘ — элемент второго порядка. Два отражения, выполненные один за другим, относительно одной и той же прямой, приводят к тождественному преобразованию. Поэтому из того, что это равно Id, следует, что это равно этому. Ну, и соответственно, это было бы равно этому. Понятно, что поворот и отражение — это разные вещи, у одного нет неподвижных точек, у другого — есть. Значит, этот случай отпадает. Значит, каждый из них — это либо поворот, либо отражение. Чем они отличаются? Наличием или отсутствием неподвижных точек. Поэтому, если мы найдем хотя бы одну неподвижную точку в каждом случае, то мы уже сто процентов неумолимо можем утверждать, со 100%-ной строгостью, что это будет отражением. Ну, конечно, так оно и будет, после моих намеков это, наверное, понятно. Вот прямая m, и вот поворот на некоторый угол ψ, вот такой вот угол ψ есть. Я ищу неподвижную точку. Где же мне ее найти? Мне нужно, чтобы отражение относительно прямой m и потом поворот вернули меня в исходную позицию. Ну, конечно, я беру и раскладываю этот угол ψ, я делаю таковым, чтобы m была его биссектрисой, то есть, чтобы она делила его пополам. Я вполне могу отложить угол ψ, вот туда вот повернув его назад, так что вот это вот ψ ⁄2 и это тоже ψ ⁄2. Кто мне мешает? Никто мне не мешает. Ну тогда и ясно, какая точка будет неподвижной — вот эта. То есть, когда я отразил от m, а потом повернул на угол ψ, я вернулся в эту точку. Как ее можно было бы назвать? Ну, теперь уже ясно, что это, соответственно, отражение, да? И осталось только назвать эту точку. Нам нужно назвать всю прямую, которая через нее проходит, а не одну эту точку, потому что отражение у нас относительно прямых. Ну так я ее так и назову. Sm + ψ ⁄2. Я складывал точки с векторами на прямой, а на окружности я складываю прямые с углами. Что такое прямая + угол? Это прямая, повернутая на соответствующий угол в положительном направлении. А прямая минус угол — наоборот. Ну вот, соответственно, здесь абсолютно аналогично, предлагаю самостоятельно убедиться, получится Sₗ − φ ⁄2, то есть здесь конструкция будет симметрична, но наоборот, вначале мы делаем поворот, потом отражение, и чтобы найти неподвижную точку, нужно будет наоборот в другую сторону отъехать от этой прямой — на угол φ ⁄2. Вот, собственно, и все. Давайте заполним окончательно таблицу. m + ψ ⁄2, а здесь — Sₗ − φ ⁄2. Таблица композиций движения окружности полностью завершена. Итого, давайте суммируем, что мы успели узнать. Мы успели узнать, что и для прямой, и для окружности возможна полная классификация движений, и она устроена достаточно просто. Для прямой у нас есть только параллельные переносы и отражения от точек, для окружности у нас есть повороты и отражения относительно прямых, проходящих через центр этой воображаемой окружности. Дальше. В каждом случае можно построить таблицу композиций, которая очень похожим образом выглядит на прямой для окружности, и в каждом случае совершенно понятно будет, что будет за преобразование на выходе, когда мы сделаем композицию двух или более, чем двух преобразований. Ну, если у нас есть таблица композиций для двух, понятно, что сделать для многих — это просто несколько раз повторить. Поэтому у нас есть такое как бы очень ручное знакомство с некоторыми двумя конкретными группами. Но хочется продолжить это ручное знакомство следующим путем. Вообще-то, группы обе не так уж просты. Группы уже бесконечны сразу, но, такие, непрерывные, то есть можно непрерывно параметр включить, скажем, поворот на какой-то угол, здесь угол — это параметр, который меняется непрерывно. Это то, что в математике высокой называют группой v. Это не конечные группы или дискретные, а группы, в которых элемент описывается некоторым количеством параметров. Внутри этой группы как-то происходит операция композиции, это какие-то уравнения на параметры. То есть, если мы взяли параметр, задающий один элемент, и набор параметров, задающие другой элемент, то при композиции получается какой-то третий набор параметров. Получается какая-то функциональная зависимость, ее надо выписать и изучать групповой закон. В общем-то, это сложно. Ну вот как раз этим мы тут и занимались. Но хочется пощупать что? Всегда интересен вопрос о конечных подгруппах. Вот, на самом деле, до сих пор в некоторых трудных таких группах преобразований не описаны все конечные подгруппы. Есть движения, но вот есть очень сложный вид преобразования, скажем, бирациональные преобразования, там конечные группы не описаны до сих пор. Это такая очень интересная деятельность, которая вовсю идет, фактически это исполнение Эрлангенской программы, только для очень сложных групп преобразований. Давайте для нашего простого случая поставим такую задачу: какие бывают конечные подгруппы в группах движений прямой и окружности? [ЗВУК] Что такое конечная подгруппа? Это какой-то конечный набор движений, такой, что внутри него, если вы берете любые два движения из этого набора, и компонуете их в любом порядке, вы опять оказываетесь внутри этого же самого набора. И вот я хочу сразу же, чтобы интересно было нам, не просто подряд там набирать какой-то материал, давайте решим эту задачу, она полностью решаема, 100 %, до конца. И в следующем сюжете мы решим эту задачу и для прямой, и для окружности.
