Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Подобия и линейные преобразования
Loading...
Do curso por Moscow Institute of Physics and Technology
Геометрия и группы
23 ratings
Na lição
Числа, преобразования и подобия
Conheça os instrutores
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
«Подобия и линейные преобразования».
[БЕЗ СЛОВ]
В линейной
алгебре изучаются преобразования, которые задаются матрицами.
Я хочу постепенно прийти к ним как к естественной и такой как бы
неотъемлемой (понятно, как именно получающейся) теме внутри геометрии групп.
Итак, я сейчас намечу несколько упражнений,
которые вы сами сделаете.
Значит, рассмотрим подобие.
Что такое вообще подобие?
Давайте дадим определение.
Подобие — это преобразование,
при котором все расстояния,
все расстояния,
меняющее в одно и то же число раз,
[БЕЗ СЛОВ]
число раз.
То есть вот скажем все расстояния удваиваются или все
расстояния сокращаются втрое.
Вот это всё пример о подобии.
Но вопрос о том, какие вообще бывают подобия — вопрос нетривиальный.
Их очень много.
По крайней мере, все движения — это уже подобия,
потому что расстояния просто не меняются.
Все гомотетии — это подобия.
В общем, подобий много разных других, потому что гомотетии — это лишь конкретные
подобия относительно точки исходной, которую мы назвали 0.
В принципе, можно взять, например,
какую-нибудь точку 5 и тоже растягивать в обе стороны там относительно неё.
Вообще говоря, подобий довольно много,
но тем не менее, можно провести полную классификацию.
Значит, упражнение № 1.
Любое подобие — это либо движение,
[БЕЗ СЛОВ]
либо гомотетия с центром в какой-то точке,
с центром в какой-то точке прямой.
Мы пока живем на прямой, мы еще не
покинули прямой и у нас уже довольно такая обширная группа преобразований.
Я сказал слово «группа».
Но, на самом деле...
упражнение № 2: группу образуют
все подобия (кроме тех,
которые все расстояния заменяют на 0,
то есть все точки фактически схлопывают в одну) образуют не все
подобия, подобия,
а лишь те, которые
домножают расстояние
на ненулевое число.
То есть которые меняют расстояние не в 0 раз.
А вот те, которые меняют в 0 – их тоже целый ряд, их много.
Смотрите, как их много, на самом деле, подобий,
которые всё схлопывают – ровно столько, сколько точек.
Это тоже, кстати, дополнение к упражнению 2,
что группа образует все подобия, кроме параметрического семейства,
однопараметрического семейства таких вот схлопываний в каждую точку.
Упражнение № 3.
Это мы начинаем выстраивать «мостик» к обычной линейной алгебре.
Упражнение № 3 такое.
Рассмотрим вектора.
Что такое вектора?
Вектора — это вот как бы мы рисуем вот такие вот стрелочки
и считаем две стрелочки одинаковыми, если параллельный перенос, который мы
произведем по этой стрелке, будет одним и тем же преобразованием прямой.
Иными словами,
если это два отрезка одинаковой длины и если направлены друг другу.
Векторы на прямой образуют группу по сложению.
Нулевым элементом этой группы, нейтральным элементом, служит вектор нулевой длины.
И довольно-таки понятно, что в общем-то эта группа — это то же самое,
что просто все вещественные числа.
То есть r — это множество всех векторов на прямой, то есть всех отрезков,
которые можно нарисовать с точностью до равенства отрезков,
нарисованных в разных местах одинаковой длины, одинакового направления.
Упражнение № 3 состоит в том, что любое
подобие задаёт
корректным образом (сейчас я объясню,
что это такое), определенное
преобразование векторов.
Что значит то, что я написал?
Это значит, что если в двух местах нарисован вектор и я посмотрел,
куда перешли концы там и там, при нашем подобии, то в обоих случаях
если вот этот вектор был равен вот этому, то в результате векторы тоже будут равны.
Ясно, что они будут одной длины.
Немножко повозиться надо с доказательством того,
что они будут одного направления — вот в этом и состоит упражнение.
Понятно, что из свойств подобия, они будут одной длины.
Вопрос: почему не могло быть так, что один поменял направление, а другой не менял?
Пожалуйста, оба могли поменять направление без проблем.
А вот один поменять/ другой не поменять – не могло, и вот это требуется доказать.
Упражнение № 3.
Упражнение № 4 так определенное в
упражнении № 3 преобразование,
преобразование –
линейно.
Мы строим «мост» в линейную алгебру.
Сумму векторов переводят в сумму, а произведение вектора на число,
то есть удлинение вектора переводят, соответственно,
в произведение полученного вектора на число.
На самом деле, в упражнении...
после этого станет ясно, что это за преобразование, на самом деле,
над векторами.
То есть это преобразование — это удлинение всех векторов ровно в такое количество
раз, в которое удлиняются длины, но со знаком,
то есть если подобие, например, растягивает
вектора и переворачивает их, то тогда вот это вот преобразование на векторах
там тоже нужно написать домножение на «минус» какое-то число (на −3).
А если вектора не меняли своего направления, то на +3.
То есть смотрите что получилось.
Получилась такая вот картина.
Получилась картина.
Вот все подобия прямой.
Вот все числа — просто R.
Они же все вектора.
Можно написать: все вектора.
Но в данном случае, на самом деле, нет,
я не хочу как раз на этом внимание фокусировать.
Просто вот это вещественные числа, причем не равные 0.
Вот R* — это все вещественные числа, не равные 0.
И каждому подобию ставится в соответствие число, не равное 0,
по следующему правилу: это коэффициент вот этого линейного преобразования.
Оно линейное преобразование для одномерного пространства всех векторов на
прямой, это просто умножение на какое-то число.
Значит, ну и если мы рассмотрим вообще все подобия,
то здесь даже бывает и 0, потому что могут подобия, которые все схлопываются, быть.
Но если мы рассмотрим все подобия, образующие вот эту вот группу, все,
я их называю «невырожденные» («невырожденные» – значит
не склеивающие точки), невырожденные подобия – они переводятся в R*,
то есть множество всех коэффициентов растяжения.
Каждому подобию ставится в соответствие коэффициент его растяжения.
Утверждение состоит в том, что это – гомоморфизм групп.
[БЕЗ СЛОВ] Это гомоморфизм групп!
Почему?
А вот почему.
Потому что очевидно,
что если мы произведем один за другим два подобия: одно растягивает в 5 раз,
другое — в 7, то в результате будет растягивать в 5 * 7, в 35 раз.
Значит, это гомоморфизм групп, где вот это рассматривается по умножению.
То есть это группа по умножению отличных от 0 чисел.
Композиция подобий соответствует, значит, вот этому.
Вот.
А какое у неё ядро,
у этого гомоморфизма?
Какие преобразования переходят в 1?
Хочется сказать: «Все движения».
Но, нет.
Движения, переворачивающие вектора,
не переходят в 1, им соответствует −1.
Они не меняют направление векторов, это «минус» вектор.
Это линейное отображение, заменяющее вектор на противоположный.
Поэтому преобразования,
которые переходят в тождественный элемент этой группы,
то есть в 1, – это движения, не меняющие ориентацию.
Иными словами, это параллельные переносы.
Поэтому здесь множество параллельных переносов
является подгруппой, переходящей в нейтральный элемент.
То есть оно допускает факторизацию.
Потому что смотрите, мы обсуждали,
что допускают факторизацию те подгруппы, допускают разбиение на классы,
мы на самом деле еще строго это не доказали, мы к этому постепенно идем.
Допускают разбиение на классы те подгруппы,
которые могут служить ядрами гомоморфизма.
У нас конкретный совершенно гомоморфизм.
Каждому подобию соответствует коэффициент растяжения.
Если мы выкинем подобия вырожденные, схлопывающие всё, то тогда у нас останутся
ненулевые коэффициенты растяжения и ядро — это все параллельные переносы.
Вот мы, так сказать, разложили по полочкам всё, что касается нашей прямой.
А почему всё вообще, что касается нашей прямой?
А потому что – упражнение № 5.
Упражнение № 5: доказать,
что любое линейное
преобразование прямой получается таким образом.
Получается из какого-то подобия путем вот
этого вот гомоморфизма.
Это, на самом деле, очевидно.
Взяли просто, собственно, то самое...
Что такое линейное преобразование прямой?
Оно удлиняет векторы и переворачивает.
Вы можете взять ровно то подобие, которое вот с этим центром 0,
которое реализует это линейное преобразование.
Все линейные преобразования – они, как бы,
подкласс наших подобий, потому что они 0 сохраняют на месте.
0 переводится в 0 при линейном преобразовании,
а при произвольном подобии необязательно.
Вот что такое множество всех линейных преобразований?
Это которые оставляют 0 на месте, а остальные точки растягивают,
сжимают или переворачивают.
Ну и, соответственно, у нас...
Фактически, мы что сделали?
Мы изучили всю группу преобразований,
которые прямую переводят в прямую и
реализуются линейным преобразованием, если мы рассмотрим вот этот вот гомоморфизм.
То есть если мы посмотрим, как эти преобразования действуют на векторах.
На самом деле, это максимальная группа,
которую только можно здесь изучить — это «аффинная группа прямой» так называемая.
Она более широкая, чем группа всех вообще линейных преобразований.
И каждое аффинное преобразование на множестве векторов действует линейно.
То есть в данном случае просто задает некоторый коэффициент растяжения.
Так, всё.
Мы готовы к переходу на плоскость.
Explore nosso catálogo
Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.
O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.
© 2018 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.
