[БЕЗ СЛОВ] Итак, последняя неделя.
Гомотопические группы [БЕЗ
СЛОВ] и
теорема Брауэра.
Откуда она взялась и зачем она будет нужна –
чуть позже увидим.
Первое наше построение называется фундаментальная группа.
Итак, рассмотрим произвольный какой-то X,
лежащий в RD.
Ну, проще всего считать, что это компактное множество,
хотя это совершенно не имеет никакого значения, на самом деле конструкция общая.
Поначалу лучше представлять себе какие-то обычные образы.
Какие-то сферы, прямые произведения сфер на что-нибудь, друг на друга, например.
То есть что-то, с чем вы уже привыкли иметь дело,
и теперь мы отмечаем вот в этом объекте X точку.
Рассмотрим X с отмеченной точкой –
точкой X0, раз и навсегда.
Вот X там какой-то, я не знаю, кто что видит здесь,
сферу, тор, что-нибудь, а вот X0.
И мы рассматриваем окружность
S1 тоже с отмеченной точкой.
Обозначим ее, например, O.
Точка O, с начала отсчета на окружности.
Так вот, давайте еще раз повторим:
отображения f1 : S1
→ X гомотопно
отображению f2 : S1 → X, если...
ну, во-первых, мы эти отображения будем рассматривать только переводящие O в X0,
то есть отметим, что вообще мы говорим о гомотопии вот таких отображений,
в связи с фундаментальной группой говорим о гомотопии только,
если f1(O) = f2(O) = X0,
а, кроме того, второе условие заключается в том, что существует
отображение F : S1 * [0, 1], то есть из цилиндра,
→ X такое,
что F в ограничении на нулевой срез, то есть на нижнюю окружность цилиндра,
это все надо видеть геометрически, иначе это совершенно нереально воспринимать.
Вот он цилиндр.
Вот нижний срез окружности, вот точка 0.
Вот эта вся сторона, так сказать, лежащая на грани,
она вся – точка 0 помноженная на отрезок [0, 1], и верхняя.
Так вот, при ограничении на 0 получается f1,
при ограничении на точку 1 этого отрезка...
Кстати, это точка O, давайте ее обозначим с черточкой, чтобы не путать с нулем.
Вот, поэтому у нас будет точка O и она должна переходить в X0, O с чертой.
И этот вот весь отрезок, соответственно, это прямое произведение точки O на [0, 1].
Значит, при ограничении на 1, будет f2.
И, кроме того, ∀t
F (O с чертой, t) = всегда X0.
То есть это получается,
что вот f1 как-то нарисовало окружность, вот f2 как-то нарисовало окружность.
Кстати, запросто может быть, что с самопересечениями,
это просто непрерывные отображения.
И вот гомотопия как бы переводит вот это вот сюда, всегда стартуя отсюда
и заканчивая здесь на любом t-том срезе этого цилиндра.
Всегда стартует вот отсюда и вот так как-то обходит, и непрерывна, да,
и F – непрерывна.
F непрерывна.
Значит, вот строгое определение гомотопности
двух отображений с отмеченными точками.
Так вот, утверждение основное: множество
классов отображений
S1 → X с отмеченными точками,
образует группу.
Она называется фундаментальной группой X.
Называется фундаментальной группой пространства X.
Обозначение: Π1(X).
Ну, раз Π1, значит будет Π2, Π3 и так далее.
Будет обязательно.
Что же это за группа?
Нам нужно, во-первых,
определить в ней нейтральный элемент, а во-вторых, научиться...
Извините, во-первых, нам нужно научиться брать композицию двух
отображений, точнее двух классов отображений.
То есть мы хотим научиться именно внутри классов брать композицию: взяли
отображение из одного класса – взяли отображение из другого.
Взяли композицию так, как мы сейчас ее определим, и мы хотим,
чтобы попало в один и тот же третий класс, независимо от того,
какие именно представители этих первых двух классов взяты.
Дальше я укажу на конкретный такой, нейтральный элемент,
ну он там будет очевидным, будет понятно, какой именно элемент нейтральный.
И на то, как нужно брать обратное.
Это все практически в уме.
Это надо проверять, конечно все, но я просто буквально в уме, вот я объясняю,
что мы реально делаем.
Что мы делаем, например, чтобы взять композицию?
Мы проходим вначале по отображению f1, а потом по отображению f2.
Просто подряд вот так берем и проходим.
Вот у нас есть отображение и окружности в X,
мы ускоряемся в 2 раза и строим, вот у нас окружность,
мы должны ее отобразить, как бы учтя и f1, и f2, взяв композицию.
Что мы делаем?
Мы за это время с вдвое быстрой скоростью завершаем вот этот путь.
То есть противоположная точка окружности тоже перейдет в отмеченную точку.
А за оставшееся время мы вот это проходим – вот раз, и два.
И вот такой пробег двух подряд отображений окружности в X будет композицией.
Теорема, которую нужно доказывать – но она, в принципе,
не очень трудная, это можно просто руками все построить – состоит в том,
что если я взял f1 с волной, которая гомотопна f1 и f2 с волной,
которая гомотопна f2, то когда я прошел эти f1 с волной и f2 с волной подряд,
получилось отображение гомотопное f1 и f2.
Поэтому это отображение определено именно на классах.
Это действительно является операцией на множестве всех классов.
Теперь: какой элемент претендует на то, чтобы быть нейтральным?
Ну, в общем, очевидно: это когда вся окружность просто живет в точке X0.
То есть она никуда не движется, мы не рисуем петлю,
а просто сидим все время в X0.
Ну тождественное отображения S1 в X0, полностью тождественное.
Вся окружность вместе с точкой O с чертой переходит в точку X0.
Ну действительно, если мы постояли здесь половину пути,
а потом прошли f1, то это такое простое упражнение показать, что это то же самое,
что мы прошли f1, в смысле, что такие два отображения гомотопны друг другу.
Ну и в обратном порядке тоже.
И последнее: это как взять...
ну, во-первых, ассоциативность надо проверить,
это тоже не очень сложное упражнение, и, наконец, обратное отображение строится
так: вот если мы проходили вот в этом направлении окружность,
то обратное каждой точке будет ставить соответствие то,
что у прямого отображения было в этой точке.
То есть как бы он проходит окружность в обратном направлении,
просто вот эту петлю...
У нас было f1 – вот она вот как-то там шла,
а f1 в −1 будет идти в обратную сторону.
И фокус-мокус такой, что если мы взяли композицию,
то мы ее можем постепенно стянуть,
доходя до все меньшего и меньшего момента.
В общем, в конце концов, мы просто будем в точке, мы как бы стали ленивые,
вот мы прошли туда и обратно, а потом решили пройти туда,
но не до конца и повернули назад.
Потом решили вообще полокружности пройти и так далее.
В конце концов, вот такое непрерывное семейство отображений привело f * f в
−1 в тождественное отображение в X0.
Поэтому действительно f и f в −1, то как я построил,
это обратные друг другу отображения.
Не сами отображения, а классы этих отображений будут обратными.
Вот это вот такой минимальный срез информации про наше множество X,
а именно: как устроена его фундаментальная группа.
И часто этого вполне достаточно уже, чтобы различить множество,
например в случае сферы и тора.
Но есть и более высокие группы: не Π1, а Π2, Π3 и так далее.
Они называются гомотопическими группами высших порядков и сейчас я вкратце
расскажу про них, а также про забавную ситуацию,
которая сейчас в математике в связи с ними сложилась.
