Остатки как факторгруппа. Процесс факторизации. [БЕЗ СЛОВ] Рассмотрим уже введенную группу по сложению из целых чисел. Циклическая группа бесконечного порядка, единицы образующей. Если складывать единицы между собой, а также «минус единицы» между собой, −1 обратной к 1, противоположное относительно сложение, то получатся все числа целые. И давайте зададимся вопросом о том, как выглядят подгруппы в этой группе? Мы уже один раз решали такую задачу, только мы искали конечные подгруппы. Конечные подгруппы в группе Z вы не найдете. Ну, кроме 0, конечно. Если вы возьмете один 0, это подгруппа, но это совершенно тривиальная подгруппа. Группа из одного элемента... она есть, но чего о ней говорить... вот, его сам с собой складывай, обратно бери, – все он сам будет. А вот нетривиальных нет, потому что как с теми переносами, помните? Ну возьмем какое-нибудь число, которое могло бы здесь лежать, например число 3. Ну тогда 3 + 3 тоже лежит. 3 + 3 + 3 лежит ну и так далее, будет бесконечное количество элементов уже. Если хоть один есть, то и бесконечное количество есть. Поэтому интересный вопрос такой: какие бесконечные подгруппы есть внутри целых чисел? Ну и вот тут уже вполне себе плодородная почва есть, например все целые числа. Подгруппа? Ну, конечно, подгруппа... 0 там? Там. Обратное есть для каждого? Конечно! «Минус» он самый: 6, −6; 4, −4. Сумма четных четная? Четная. Вопросов никаких нет. Значит это подгруппа. Какие еще? Все кратные 3. Не правда ли? Ну конечно, если два числа делятся на 3, то сумма тоже делится на 3. Если число делится на 3, то «минус это число» тоже делится на 3. Ну, чтобы проверять, что это подгруппа, достаточно просто проверить, что два числа такого вида при сложении дают число такого же вида, и что противоположное будет такого же вида. Ну и вообще, все кратные какого-то фиксированного m всегда будут подгруппы. Вот это все подгруппы Z. Утверждение, точнее, упражнение. Ну я сейчас намекну, как его решать. Других нет. Других подгрупп просто нет. То есть, любая подгруппа, если она нетривиальная, то есть не является одним нулем, обязательно совпадает с одной из вот этих, то есть является множеством всех кратных какого-то определенного числа. Намек на доказательство: рассмотрите в этой подгруппе самый левый элемент. Ну, если кроме нуля хоть что-то входит, то... ну если, например, вот здесь есть элемент, то понятно, что ему противоположный есть тогда, по условию того, что это подгруппа. Ну, значит, один из них – в положительной части. Ну вот в этой положительной части рассмотрите самый левый элемент подгруппы H, такой, что вот здесь уже ничего нет. Ну, понятно, если не пустое множество, в нем всегда есть минимальный элемент, ну в натуральных числах, это одна из аксиом построения натуральных и действительных чисел. Поэтому у вас есть какой-то самый маленький элемент в этой подгруппе H. Тогда, конечно, есть и все кратные ему элементы. Ну вот утверждение, что никаких других нет. Потому что если бы был какой-то еще, то смотрите: вот разница между этим и ближайшим слева кратным тоже должна была лежать в подгруппе, но она по построению, понятно, это остаток при делении и он будет меньше по размеру, чем этот. В общем, я рекомендую каждому человеку провести строго это рассуждение. Это упражнение, я пишу: упражнение на деление с остатком. Итак, вот это весь список подгрупп Z. Прекрасно. А теперь смотрите, такая конструкция возникает. Рассмотрим любую из них. Ну, для примера, я не знаю, возьмем какое-нибудь число, 12. Вот m = 12. И будем действовать так: будем брать какой-нибудь элемент не в этой подгруппе, то есть не внутри вот этого вот множества: −24, −12, 0, 12, 24 и так далее. Вот наша подгруппа H и мы берем какой-нибудь элемент, который не лежит в ней. Ну, например, 3. И делаем вот так: 3 + H. «Плюс» такой вот специальный делаю, потому что это такая сумма, она называется, на самом деле, сумма Минковского. Это означает, что я 3 складываю со всеми элементами отсюда. И получаю новое подмножество: −21, −9, 3, 15 и так далее. Что это за множество такое? Это множество всех, дающих остаток 3. Просто множество всех, которые дают остаток 3. Хорошо. А если я рассмотрел вот такое: 4 + H? Ну это, понятно, множество всех, дающих остаток 4 при делении на 12. Ну и как бы этот трюк, понятно, можно проделать дальше для любого остатка. Но иногда будет одно и то же. Вот смотрите, например, 15 + H =... Если вы начнете смотреть, чему это равно, что вы тогда получите? Ну, что-то мне подсказывает, что вы должны получить то же самое, что здесь. Ну и в самом деле... Просто сдвинутое немножко будет множество. 15 − 12 – это что такое? Это 3, значит оно здесь возникло. 15 − 24 = −9. 15 + 0 = 15. То есть 15 + H окажется поэлементно совпадающим с 3 + H. Поэлементно, то есть вот такая сумма Минковского и такая. Это просто одно и то же множество. Хорошо, вопрос: а сколько вообще таких разных множеств можно настругать? Ну, более-менее ясно, что ровно 12 и можно. А именно: сама подгруппа, 1 + H; 2 + H и так далее, плоть до 11 + H, он же −1 + H. То есть получаются такие подмножества. Все эти подмножества лежат в целых числах. Более того, они в объединении образуют все целые числа целиком, то есть целые числа – это объединение всех этих множеств, и они не пересекаются попарно. Число, которое дает остаток 2 при делении на 12, не может одновременно давать остаток 10 при делении на 12, это понятно. Так вот, конструкция факторизации, это когда мы пытаемся превратить вот это множество, в данном случае конечное, в группу, объявив нейтральным элементом вот эту саму подгруппу H, и складывая вот здесь все по Минковскому. То есть, например, что такое [2 + H], если я вот это вот складываю, например, с [7 + H]? Я должен каждый элемент из вот этой вот серии остатков сложить с каждым элементом отсюда. Но понятно, что если я складываю число, которое дает остаток 2 при делении на 12 с числом, которое дает остаток 7, то я всегда получаю число, дающее 9 при делении на 12, поэтому на самом деле операция определена просто на классах. То есть, класс такой + класс такой = всегда будет какой-то новый класс, какой-то еще класс, ну может и не новый, если 0 прибавлять, то не новый, а так, значит, какой-то класс. И для каждого класса есть тот, который его и нейтрализует. То есть, если мы H объявили нейтральным, то какой класс нейтрализует, например 2 + H? Нужно сложить его с 10 + H, конечно. Если число давало остаток 2 и число давало остаток 10, то в сумме всегда делится на 12, поэтому это равно H. Ассоциативность наследуется из операции над числами, обратный построили, чего еще нам надо? Да ничего, это группа. Вот эта группа называется факторгруппой. То есть факторгруппа – это вот такая вот конструкция всегда. Всегда такая, но просто иногда... вот если операция в группе была коммутативной, то тогда факторгруппа устроена очень просто, ровно так, как я описал. Если она была некоммутативной, то ситуация сложнее. И не любая подгруппа даст вам факторгруппу. Для того чтобы по некоторой группе можно было построить факторгруппу, должны быть выполнены некоторые дополнительные условия. И тем не менее, я хочу вам привести конкретные примеры, два конкретных примера, когда факторгруппу можно построить несмотря на то, что группа, из который мы исходили, некоммутативна.
