Разработанный МФТИ курс отличается тем, что все основные конструкции и принципы теории вводятся непосредственно на основе разбираемых "с нуля" конкретных этюдов. Каждый этюд начинается с понятной непрофессионалу проблемы. В одних случаях это просто "детская игра", в других - формализованное жизненное наблюдение, в третьих - обобщённая социальная закономерность. Сюжет затем разворачивается, исходя из логики содержащегося в нём конфликта, и сам порождает тот или иной принцип разрешения конфликта, который окончательно строго формализуется в виде решения игры. Этюдов всего рассмотрено чуть более десяти, и они в совокупности покрывают основные формальные конструкции базовой теории игр. В нескольких отступлениях приведены формулировки теорем существования игровых решений с набросками доказательств.
Экономика обмена: существование равновесия
Loading...
Do curso por Moscow Institute of Physics and Technology
Теория игр
38 classificações
Na lição
Классические модели Курно и Бертрана. Монополистическая конкуренция
Эта неделя посвящена приложениям теории игр в классических моделях экономика.
Conheça os instrutores
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
кафедра дискретной математики МФТИ
Итак, кульминация.
Теорема.
Вальрас
сформулировал.
Эрроу, Дебре доказали в 1951 году.
Вальрас в 1880 году сформулировал,
Эрроу и Дебре доказали в 1951.
Пусть рынок обмена таков,
что все предпочтения
игроков непрерывны,
строго выпуклы и
строго монотонны.
А кроме того,
придется наложить одно чисто техническое условие, которое, которое ну как бы оно...
его очень легко в реальности соблюсти.
Кроме того, ω, равный сумме ωi,
> 0 по всем координатам, то есть, иными словами, нет ни одного товара-фантома,
который выписан в списке товаров, но ни у кого нигде его нет вообще на этом рынке.
Это чисто техническое условие, которое нужно математикам,
для того чтобы доказать теорему,
но любой нормальный физик или экономист скажет: ну а зачем о нем вообще говорить?
Ну понятно, что если нет бананов ни у кого, то не надо их и называть.
Но вот, значит, на всякий случай все-таки скажем, что математически это означает,
что сумма векторов имеет положительные компоненты все.
Тогда: 1)
Существует равновесие Вальраса,
[БЕЗ СЛОВ] то есть существует такой набор цен,
что весь этот процесс торговли осуществим, и в конце последнему, так сказать,
затребовавшему достанется ровно то, что останется, и он ровно это запросит.
Это первое.
2) Распределение, которое получится в результате,
то есть то, что они сами себе выберут, исходя из этих цен — в силу строгой
выпуклости там не будет неоднозначности, там каждый выберет строго один,
вот четко один набор будет максимизировать его отношения предпочтений,
это уже техническая вещь, которую каждый может доказать.
Значит, равновесное распределение,
равновесное распределение
удовлетворяет всем условиям T1,
T3, и T3' (sic!),
как говорится.
Кондиционную устойчивость можно здесь обеспечить.
Итак, равновесие а) существует, б) удовлетворяет всем вообще
мыслимым условиям устойчивости при любых начальных данных.
Эта теорема настолько поразила экономистов, что вот в этом году,
вот в 1951 году, было объявлено о конце экономической теории.
Было сказано: все,
экономика полностью завершена как наука, осталось только найти это равновесие.
Значит, тут нужно очень горькую пилюлю, придется сейчас привнести.
То есть до этого все очень сладко,
сладкая даже история доказательства этой теоремы, которая...
доказательство это — одно из самых красивых вообще достижений современной
математики, доказательство этой теоремы.
Происходило оно так: Вальрас пытался его доказать с помощью,
с помощью, так сказать, поправки цен.
Вот, допустим у нас есть некоторые цены, возьмем какие-то начальные цены.
Посмотрим, вот если провести эту процедуру (1-й, 2-й, 3-й, 4-й),
которая была в предыдущих сюжетах, то на 4-м шаге какие-то товары окажутся здесь в
избытке, а каких-то не достанется, то есть каким-то людям чего-то не достанется.
Они захотят что-то, но им не достанется.
Так вот, посмотрим, на какие товары оказался дефицит,
и поднимем на эти товары цены.
Ну понятно, да, то есть очень естественная идея — мы берем исходный вектор цен,
и на какие-то товары будет дефицит, но некоторые, наоборот, будут в избытке.
Мы опускаем цену на те, которые были, значит, в избытке остались,
и поднимаем цену на те, на которые был дефицит.
Ну чуть-чуть поднимаем, такую запускаем как бы систему дифференциальных
уравнений возвращения в точку равновесия, то есть если мы не в равновесии,
мы запускаем в ту сторону, которую мы понимаем как направление к равновесию,
и надеемся на то, что в результате мы к равновесию придем.
Значит, Вальрас на этой основе построил некоторое доказательство — ему нужно было
по ходу этого доказательства применить теорему Брауэра,
но казус был в том, что к этому моменту она еще не была изобретена.
Более того, дошло до, дошло до абсурда, можно сказать, или до трагиабсурда.
Вальрас умер за несколько месяцев до доказательства теоремы Брауэра.
То есть он оставил доказательство теоремы существования равновесия и
сказал: все это верно по модулю того, что непрерывное отображение выпуклого
компакта в себя имеет всегда неподвижную точку.
Он умер, Брауэр доказал эту теорему через несколько месяцев, было на весь
мир объявлено, что экономическая система всегда допускает равновесие.
Но не тут-то было.
В доказательстве была найдена ошибка.
И проблема этой ошибки та же, что и проблема вообще с этим равновесием:
процесс сходимости, столь естественно построенный, никуда не идет.
В общем случае нельзя заставить его идти в равновесие, то есть равновесие,
как потом выяснили, существует, но у него очень серьезные проблемы с устойчивостью.
Ну хорошо, пока про существование — пришлось ждать до 1944 года,
когда была доказана теорема Какутани.
На основе этой теоремы Какутани о неподвижной точке многозначного
отображения Эрроу и Дебре в 1951 году полностью завершили
доказательство теоремы Вальраса.
Итак, в 1951 году на свет родилось сложнейшее — тут еще много-много имен,
тут еще Никайдо, Дебре, тут еще Никаидо по крайней мере,
Гейл должны быть вписаны в качестве имен авторов этого доказательства.
Давайте я впишу: Никайдо и Гейл, которые еще в наших лекциях появятся.
Было построено сложное многоступенчатое доказательство, которое,
значит, привело к тому, что действительно всегда существует равновесие Вальраса.
И было объявлено: все, ура экономической теории, теперь нужно
только изобрести компьютеры, которые смогут переварить всю эту информацию.
То есть собрать со всех миллионов жителей Земли информацию об их
предпочтениях на миллиардах существующих товаров, скинуть все это вместе,
посчитать математически равновесие, объявить и все.
Понятно, что эта схема — это чистейшей воды прекраснодушная блажь,
потому что собрать такой объем информации невозможно даже при сегодняшних условиях,
обработать ее никакой человек не может, даже если это собрать.
Может быть, это можно собрать, но обработать ее нельзя.
Предпочтения меняются, и это вообще удар под дых всей этой теории.
Неполная информация — еще один удар под дых этой теории,
потому что зачастую мы не знаем информацию о других.
А самый страшный удар под дых состоит в том,
что люди информацию намеренно искажают.
Потому что если от того, какую информацию ты сообщил, зависит равновесие, то человек
может попытаться просчитать, при каком равновесии ему будет лучше, и сообщить
такую информацию, которая приведет к этому хорошему равновесию — это теория стимулов,
это то, что мы в теории игр как раз проходили, это классическая теория игр.
И на этом основана современная поствальрасовская экономическая теория.
То есть на самом деле уже в 50-х,
60-х годах люди начали предъявлять претензии к этой концепции.
Равновесие при очень сильных
дополнительных ограничениях становится единственным и устойчивым.
А без них оно просто существует, где-то существует в пространстве,
к нему никак нельзя прийти.
То есть естественный для физиков вопрос — как прийти к равновесию?
— ну экономистов он как бы долгое, он не очень волновал,
потому что ну они, среди экономистов мало народу вообще понимает, что надо делать,
то есть как бы что в равновесие просто так нельзя взять и попасть,
что оно должно хотя бы в какой-то окрестности быть устойчивым, вот.
И некоторое количество ученых этим было озадачено,
и были получены несколько удручающих результатов о том,
что в общей ситуации нет сходимости, нет устойчивости и нет единственности.
Поэтому да, и, естественно, еще вся та критика, которую я огласил,
к самим основам этой концепции тоже применима.
То есть получается, что это, конечно, шикарный шаг,
это очень важный шаг экономической теории, но, в сущности,
с этого шага только начинается все настоящее, то есть когда мы начинаем
подвергать сомнению какие-то из основ теории обмена — про полную информацию,
про неизменные предпочтения, про что-то другое, про то,
как устроен рынок производства, наконец, здесь он весь скомкан.
Здесь, в теории Вальраса, речь идет только об обмене.
Конечно, есть отдельные главы теории Вальраса про конкурентное равновесие
в плане производства, и есть теория, так сказать,
конкурентного, конкуренции, совершенной конкуренции в области производства.
Но я даже излагать ее не буду,
потому что современные рынки совершенно иначе устроены.
Я не могу с ходу даже придумать вот, ну, достаточно большого количества рынков,
на которых присутствует совершенная конкуренция — это очень большая редкость.
Современные рынки устроены иначе, и как именно — мы посмотрим в следующих сюжетах.
Но даже в плане обмена к этой теории есть целый ряд вопросов.
Поэтому я прошу относиться к теории Вальраса, Никайдо, Гейла,
Эрроу и Дебре следующим образом: это удивительно красивая,
законченная ветвь в современной математике — первое.
Второе: она хорошо структурирует ум и настраивает людей на
правильное направление размышления об экономике.
Третье: так, как она написана,
она не имеет к реальной экономике никакого отношения.
Все.
Explore nosso catálogo
Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.
O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.
© 2018 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.
