Давайте рассмотрим ещё один пример,
на котором будет наглядно продемонстрировано,
как игры с несовершенной информацией могут помочь
моделировать те или иные реальные жизненные ситуации.
Одно из самых известных сражений в истории Европы состоялось
18 июня 1815 года при Ватерлоо.
В этой битве сошлись Французская империя
и союзники: Великобритания, Пруссия,
Нидерланды и несколько других союзных государств.
Эта битва была проиграна войском Наполеона,
и одной из причин этого поражения стала нескоординированность
действий Наполеона и его маршала Груши.
Давайте чуть-чуть вспомним ход этого сражения.
За день до того, как произошла решающая битва,
Груши примерно с третью его армии,
которая на рисунке обозначена синей стрелочкой,
был отправлен Наполеоном в погоню за отступающей прусской
армией (маршрут отступления обозначен зелёной стрелочкой).
Однако прусской армии удалось уйти от погони.
Она собиралась соединиться с союзными британскими войсками
(этот путь обозначен лиловой стрелочкой).
Проблема для французской армии состояла в том, что Груши не знал о том,
что большая часть прусской армии уже далеко.
Поэтому он не знал, что делать.
Поняв, что прусские части уже на подходе к основным британским войскам,
Наполеон отправляет маршалу Груши записку с приказом возвращаться.
Если мы будем формализовывать эту ситуацию в виде игры,
то эта игра будет следующей.
Сначала ходит Наполеон.
Он решает, отправлять записку маршалу Груши с приказом возвращаться
или не отправлять её.
В случае, если Наполеон записку не отправляет,
то он просто отступает с поля сражения.
При этом Груши не знает, давать ли бой прусским полкам,
сосредоточенным около Вавра в момент, когда они подходят к британским войскам,
или же возвращаться к Наполеону: до него записка Наполеона пока ещё не дошла.
В случае, если Наполеон отправил эту записку,
после этого Груши решает,
давать ли сражение прусским войскам или нет.
И, наконец, после этого Наполеон принимает решение,
ждать маршала Груши или же отступать,
не зная точно, успела дойти его записка до Груши или не успела дойти.
Платежи игроков в этой модели устроены следующим образом.
Наполеону лучше всего в ситуации, в которой он записку отправляет,
маршал Груши возвращается, и французская армия снова объединяется.
Хуже всего Наполеону в ситуации, если он решает дождаться маршала Груши,
а тот на подмогу не приходит, давая сражение прусским войскам.
При этом отступить с поля сражения
для Наполеона при условии, что Груши дал бой прусским частям,
лучше, чем отступить при условии, что Груши решил вернуться.
Если же Наполеон решает не посылать записку, то его платежи будут такими же,
как и в случае, если он посылает записку, но затем решает отступить.
Платежи маршала Груши устроены так: ему лучше всего в ситуации,
в которой Наполеон информирует его об изменениях, то есть отправляет записку,
Груши решает вернуться, и Наполеон решает дождаться его.
То есть лучше всего в ситуации воссоединения французской армии.
Хуже всего для маршала Груши в ситуации, если он решает дать бой,
а Наполеон при этом ждёт его.
Если же Наполеон решил отступить,
то Груши лучше дать бой и,
по крайней мере, уничтожить некоторую часть союзных войск,
чем вернуться назад — туда, где сосредоточены основные британские войска.
Давайте рассмотрим дерево этой игры.
Оно представлено на ваших экранах.
В этой игре у Наполеона есть два информационных множества.
Первое информационное множество состоит из одной вершины,
оно соответствует самому началу игры.
В этой вершине Наполеон решает, отправить записку маршалу
Груши или не отправлять её.
Во втором информационном множестве Наполеон решает,
дожидаться маршала Груши или отступить с места сражения.
Таким образом, стратегия Наполеона должна подразумевать,
что ему делать в каждом из его двух информационных множеств.
Он должен выбрать своё действие в первом информационном множестве,
он должен выбрать своё действие во втором информационном множестве.
Поэтому любую стратегию Наполеона мы можем кодировать набором из двух букв.
Первая буква будет означать действие Наполеона в первом информационном
множестве, вторая буква будет обозначать действие Наполеона во втором
информационном множестве.
Таким образом, всего у Наполеона будет четыре возможные стратегии.
У маршала Груши есть всего одно информационное множество,
в котором ему принадлежит ход.
Поэтому у маршала Груши есть всего две стратегии: дать
бой или вернуться к основным французским войскам.
Эту игру мы можем записать в матричном виде.
Давайте выпишем по горизонтали стратегии Наполеона,
по вертикали — стратегии маршала Груши.
Получится матрица размера четыре на два.
Заполним платежи в этой матрице — они представлены на ваших экранах.
И теперь к этой матрице мы можем применить все те концепции
решения одновременных игр, про которые мы уже знаем.
Найдём все равновесия Нэша в этой игре.
Отмечаем оптимальные ответы маршала Груши при каждой фиксированной
стратегии Наполеона, отмечаем оптимальные ответы Наполеона
при каждой фиксированной стратегии маршала Груши, и получаем,
что в этой игре есть четыре равновесия Нэша — они выписаны на слайде.
Заметим, что в этой игре все четыре
равновесия Нэша являются в том числе и равновесиями Нэша,
совершенными на подыграх, потому что, вообще говоря,
в нашей игре всего лишь одна подыгра — это подыгра, совпадающая со всей игрой.
Ни одна другая часть дерева подыгрой не является.
В действительности
в битве при Ватерлоо не было сыграно ни одно из равновесий Нэша.
Игроки сыграли профиль стратегий,
в котором Наполеон отправил записку до маршала Груши,
тот дал бой прусским частям,
а при этом Наполеон остался его ждать.
Таким образом, со стратегической точки зрения,
ситуация сложилась для французской армии очень неудачная: и Наполеон,
и маршал Груши получили отрицательные платежи.
Груши получил записку от Наполеона слишком поздно и уже вступил в сражение при Вавре.
Наполеон ждал Груши и продолжал атаковать британские войска.
В итоге он был разгромлен объединившейся британско-прусской армией.
Заметим, что если бы Наполеон и Груши играли в игру с совершенной информацией,
то в равновесии Нэша, совершенном на подыграх,
Наполеон бы отправил записку, Груши вернулся бы на место,
и Наполеон дождался бы его — французская армия объединилась бы,
и за счёт этого они получили бы более высокие платежи.
Несовершенство информации привело к тому,
что игроки не смогли выбрать те действия,
которые позволили бы им добиться лучших платежей.